• observăm că în ambii membri avem o inimă \({❤}\); ambele au semnul plus, deci vom folosi operația inversă, adică scăderea
• scădem din ambii membri o inimă \({❤}\)

\({★ ★ + ❤ = ❖ ❖ ❖ ❖+ ❤ \, \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \; -❤}}\)

\({★ ★= ❖ ❖ ❖ ❖}\)

• observăm că în fiecare membru avem un număr par de obiecte, deci vom împărți ambii membri cu 2:

\({★ ★ = ❖ ❖ ❖ ❖ \; \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \; : \; 2}}\)

\({★ = ❖ ❖ }\)

• observăm că în ambii membri se scade aceeași cantitate (avem același scăzător), deci avem același descăzut în ambii membri: \({❤ ❤ ❤= ★}\)



sau



• adunăm în ambii membri \({❖ ❖}\); în fiecare membru avem câte două romburi care au același semn (semnul minus), deci vom folosi operația inversă, adică adunarea:



\({❤ ❤ ❤ - ❖ ❖ = ★ - ❖ ❖ \; \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \; + \; ❖ ❖}}\)

\({❤ ❤ ❤ - ❖ ❖ + ❖ ❖= ★ -❖ ❖ + ❖ ❖}\)

\({❤ ❤ ❤ = ★}\)

\({★ = ❤ ❤ ❤ }\)

• observăm că în primul membru sunt 6 steluțe, iar în al doilea membru sunt 3 romburi; în ambii membri avem multipli de 3, deci împărțim la 3:

\({★ ★ ★ ★ ★ ★ = ❖ ❖ ❖ \; \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \;: \; 3}}\)

\({★ ★= ❖}\)

• varianta 1:



\({★ ★= ❖}\)

\({★ ★= ❖}\)

\({★ ★ + ★ ★= ❖ +❖}\)

\({★ ★ ★ ★= ❖ ❖}\)



• varianta 2:



\({★ ★= ❖\; \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \; \cdot \; 2}}\)

\({★ ★ ★ ★= ❖ ❖}\)

• observăm că în primul membru sunt 3 romburi, iar în al doilea membru sunt 7 romburi; scădem din ambii membri 3 romburi:

\({❤ ❤ + ❖ ❖ ❖ = ❖ ❖ ❖ ❖ ❖ ❖ ❖ \; \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \; - \; ❖ ❖ ❖}}\)

\({❤ ❤ = ❖ ❖ ❖ ❖}\)

• observăm că în primul membru sunt 2 inimi, iar în al doilea membru sunt 4 romburi; 2 și 4 sunt numere pare, deci se împart exact la 2:

\({❤ ❤ = ❖ ❖ ❖ ❖\; \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \; : \;2}}\)

\({❤= ❖ ❖}\)

• din ambii membri scădem 2 steluțe și 1 romb (cel mai mic număr de steluțe și cel mai mic număr de romburi):

\({❖ ❖ ❖ + ★ ★= ★ ★ ★ + ❖ \; \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \; - \; ❖ - ★ ★}}\)

\({❖ ❖= ★}\)

• din ambii membri scădem 1 romb, 2 inimi și 1 stea (cel mai mic număr de stele, cel mai mic număr de romburi și cel mai mic număr de inimi):

\({❖ + ❤ ❤ + ★ ★ ★ = ❖ ❖ + ❤ ❤ ❤ + ★ \; \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \;- \; ❖ - ❤ ❤ - ★}}\)

\({★ ★= ❖ + ❤}\)

• din ambii membri scădem 3 stele (cel mai mic număr de stele):

\({❖ ❖ ❖ ❖ + ★ ★ ★ + ♣ ♣ ♣=★ ★ ★ ★ ★ \; \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \; - \; ★ ★ ★}}\)

\({❖ ❖ ❖ ❖ + ♣ ♣ ♣=★ ★}\)



• varianta 1: \({Termen 1 + Termen 2 = Suma}\)



\({Termen 1 = Suma - Termen 2}\)

\({❖ ❖ ❖ ❖= ★ ★ - ♣ ♣ ♣}\)



• varianta 2: trecem cei 3 trifoi în celălalt membru, cu semn schimbat



\({❖ ❖ ❖ ❖= ★ ★ - ♣ ♣ ♣}\)

• din ambii membri adunăm 2 stele și 1 romb (cel mai mic număr de stele și cel mai mic număr de romburi):
• stelele au semnul minus în ambii membri, deci vom folosi operația inversă, adică adunarea;
• romburile au semnul minus în ambii membri, deci vom folosi operația inversă, adică adunarea;



\({❤ ❤ ❤ - ★ ★ - ❖ ❖ = ❤ - ❖ -★ ★ \; \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \; + \; ★ ★ + ❖}}\)

\({❤ ❤ ❤ - ❖=❤}\)

• scădem 1 inimă din ambii membri (cel mai mic număr de inimi)



\({❤ ❤ ❤ - ❖=❤ \; \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \; - \; ❤ }}\)

\({❤ ❤ - ❖= 0}\)

\({❤ ❤ = ❖}\)

(putem gândi și așa: dacă rezultatul unei scăderi cu doi termeni este 0, înseamnă că termenii sunt egali)

• varianta 1: \({★ ★ - ❖ = ★ ★ -★ =★ }\) (am înlocuit steaua cu rombul)


• varianta 2: \({★ ★ - ❖ = ❖ ❖ -❖ =❖ }\) (am înlocuit rombul cu steaua)

• varianta 1: \({❖ ❖ +♣= ♣ ♣ ♣ }\) (am înlocuit rombul cu trifoiul)


• varianta 2: \({❖ ❖ +♣= ❖ ❖ ❖ }\) (am înlocuit trifoiul cu rombul)

• observăm că avem câte un romb în fiecare membru, având același semn; pentru că au semnul plus, vom folosi operația inversă, adică scăderea: vom scădea din fiecare membru câte un romb (avem egalitate și avem un termen comun):



\({★+ ❖ =❤ + ❖ \; \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \; -❖}}\)

\({★=❤}\)

• observăm că avem câte o inimă în fiecare membru, având același semn; pentru că au semnul minus, vom folosi operația inversă, adică adunarea: vom aduna în fiecare membru câte o inimă (avem egalitate și avem același descăzut):



\({❖- ❤ = ★ - ❤ \; \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \; + ❤}}\)

\({❖- ❤ + ❤= ★ - ❤ + ❤}\)

\({❖=★}\)

• în egalitatea \({★ - ❤+♣ =❖ \; + ...... - ❤}\), în al doilea membru înlocuim rombul cu steaua și obținem:



\({★ - ❤+♣ =★ \; + ...... - ❤}\)

• observăm că în fiecare membru avem câte o stea cu semnul plus, deci vom face operația inversă (adică din fiecare membru vom scădea câte o stea)


• observăm că în fiecare membru avem câte o inimă cu semnul minus, deci vom face operația inversă (adică în fiecare membru vom aduna câte o inimă)



\({★ - ❤+♣ =★ \; + ...... - ❤ \; \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \; - ★ + ❤}}\)

\({★ - ❤+♣ - ★ + ❤=★ \; + ...... - ❤- ★ + ❤}\)

\({♣= \textcolor{ #63acff}{♣ }}\) (spațiul liber se completează cu un trifoi pentru a obține o afirmație adevărată)

• în egalitatea \({❖ + ❤ =♣ + ❖ \; + ......}\), avem câte un romb cu semnul plus în fiecare membru; vom face operația inversă, adică vom scădea din fiecare membru câte un romb:



\({❖ + ❤ =♣ + ❖ \; + ...... \; \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \; -❖}}\)

• obținem:



\({ ❤ =♣ \; + ...... }\)

• înlocuim inima cu o stea și un trifoi:



\({ ♣ + ★ =♣ \; + ...... }\)

• observăm că spațiul liber trebuie înlocuit cu o stea, pentru a obține o afirmație adevărată:



\({ ♣ + ★ =♣ + \textcolor{#63acff}{★ }}\)

\({x-y=7\; \; \textcolor{ #ff1493}{\mid \; \cdot \; 3}}\)

\({3(x-y)=3 \cdot 7}\)

\({3(x-y)=21}\)

înmulțim prima relație cu 4 și obținem cea de-a doua relație:

\({x+2y=14\; \; \textcolor{ #ff1493}{\mid \; \cdot \; 4}}\)

\({4(x+2y)=4 \cdot 14}\)

\({4x+8y=56}\)

împărțim ambii membri cu 2 și obținem:

\({2(x+2y)=12\; \; \textcolor{ #ff1493}{\mid \; : \; 2}}\)

\({x+2y=12 : 2}\)

\({x+2y=6}\)

împărțim ambii membri cu 5 și obținem:

\({5(x-5y+1)=-20\; \; \textcolor{ #ff1493}{\mid \; : \; 5}}\)

\({x-5y+1=(-20) : 5}\)

\({x-5y+1=-4}\)

împărțim cu 3 ambii membri și obținem:

\({3x(y+2x)=72\; \; \textcolor{ #ff1493}{\mid \; : \; 3}}\)

\({x(y+2x)=72 : 3}\)

\({x(y+2x)=24}\)

\({(\sqrt{x+1})^2=9^2}\)

\({x+1=81}\)

\({x+y=5}\)

\({y+7=10}\)

\({x+y+y+7=5+10}\)

\({x+2y+7=15}\)

scădem din ambii membri pe 7 (sau îl trecem pe 7 în celălalt membru, cu semn schimbat)

\({x+2y=15-7}\)

\({x+2y=8}\)

Cum ajungem de la \({4z}\) din a doua relație la \({12z}\)?

Înmulțim a doua relație cu 3:

\({4z-y=11\; \; \textcolor{ #ff1493}{\mid \; \cdot \; 3}}\)

\({3 \cdot 4z-3 \cdot y=3 \cdot 11}\)

\({12z-3y=33}\)

adunăm noua relație cu prima relație dată:

\({x+3y=17}\)

\({12z-3y=33}\)

\({x+\cancel{3y}+12z-\cancel{3y}=17+33}\)

\({x+12z=50}\)

Cum ajungem de la \({2x}\) din prima relație la \({12x}\)?

Înmulțim prima relație cu 6:

\({2x+y=21\; \; \textcolor{ #ff1493}{\mid \; \cdot \; 6}}\)

\({6 \cdot 2x+6 \cdot y=6 \cdot 21}\)

\({12x+6y=126}\)

din noua relație scădem prima relație dată:

\({12x+6y=126}\)

\({6y-z=65}\)

\({12x+\cancel{6y}-\cancel{6y}-(-z)=126-65}\)

\({12x+z=61}\)

\({x+2=20 \; \; \textcolor{ #ff1493}{\mid \; - \; 2} }\)

\({x+\cancel{2}-\cancel{2}=20-2 }\)

\({x=18 }\)

\({-x-2=20 \; \; \textcolor{ #ff1493}{\mid \; + \; 2} }\)

\({-x-\cancel{2}+\cancel{2}=20+2 }\)

\({-x=22 \; \; \textcolor{ #ff1493}{\mid \; \cdot \; (-1)} }\)

înmulțim relația cu \({(-1) }\)

\({(-1) \cdot (-x)=(-1) \cdot 22 }\)

\({x=-22}\)

\({x-2y=5-2y \; \; \textcolor{ #ff1493}{\mid \; + \; 2y} }\)

\({x-\cancel{2y}+\cancel{2y}=5-\cancel{2y}+\cancel{2y} }\)

\({x=5}\)

\({-2x=30 \; \; \textcolor{ #ff1493}{\mid \; : \; (-2)} }\)

\({x= 30 : (-2) }\)

\({x=-15}\)

\({3x-4=23}\)

\({3x=23+4 }\)

\({3x=27 \; \; \textcolor{ #ff1493}{\mid \; : \; 3}}\)

împărțim cu coeficientul lui \({x}\):

\({x=27 : 3 }\)

\({x=9}\)

\({\frac{\displaystyle 300x}{\displaystyle 24} =150 \; \; \textcolor{ #ff1493}{\mid \; \cdot \; 24}}\)

\({\cancel{24} \cdot \frac{\displaystyle 300x}{\displaystyle \cancel{24}}=24 \cdot 150 }\)

\({300x=3600 \; \; \textcolor{ #ff1493}{\mid \; : \; 300}}\)

împărțim cu coeficientul lui \({x}\):

\({x=3600 : 300 }\)

\({x=12}\)

varianta 2: simplificăm fracția, de exemplu mai întâi cu 6, apoi cu 2:

\({\frac{\displaystyle 300}{\displaystyle 24} =\frac{\displaystyle 50}{\displaystyle 4}=\frac{\displaystyle 25}{\displaystyle 2}}\)

obținem:

\({\frac{\displaystyle 25}{\displaystyle 2}x=150}\)

împărțim ambii membri cu coeficientul lui \({x}\) (coeficientul este o fracție; împărțirea la o fracție înseamnă înmulțirea cu inversa fracției; rezultă că vom înmulți ambii membri cu inversa fracției \({\frac{\displaystyle 25}{\displaystyle 2}}\))

\({\frac{\displaystyle 25}{\displaystyle 2}x=150\; \; \textcolor{ #ff1493}{\mid \; \cdot \; \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 25}}}\)

\({\frac{\displaystyle \cancel{2}}{\displaystyle \cancel{25}} \cdot \frac{\displaystyle \cancel{25}}{\displaystyle \cancel{2}}x=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle \cancel{25}} \cdot \cancel{150}^6}\)

\({x=2 \cdot 6}\)

\({x=12}\)

varianta 3:

\({\frac{\displaystyle 300x}{\displaystyle 24} =150}\)

\({x=\frac{\displaystyle \cancel{24}^{12} \; \cdot \; \cancel{15}\cancel{0}}{\displaystyle \ce{_{\cancel{2}}\cancel{30}}\cancel{0}}}\)

\({\sqrt{x} =15-3}\)

\({\sqrt{x} =12 }\)

ridicăm la pătrat ambii membri:

\({(\sqrt{x})^2 =12^2}\)

\({x=144}\)