un termen al sumei este egal cu suma minus celălalt termen; avem:

\({x+y=50 \Longrightarrow y=50-x}\)

pe \({y}\) l-am scris în funcție de \({x}\); acum avem o singură necunoscută

mărim primul număr cu 10, adică primul număr va deveni \({\textcolor{deeppink}{x+10}}\)

primul număr va fi de patru ori mai mare decât al doilea număr, deci primul număr va fi egal cu 4 înmulțit cu cel de-al doilea număr:

\({\textcolor{deeppink}{x+10= 4\underbrace{(50-x)}_{\displaystyle =y}}}\)

\({x+10= 4 \cdot 50- 4 \cdot x}\)

\({x+10= 200- 4x}\)

\({x+4x= 200- 10}\)

\({5x= 190 \; \; \mid \; : 5}\)

împărțim egalitatea cu 5 (cu coeficientul lui \({x}\))

\({x= 190 : 5}\)

\({x=38}\)

\({y=50- x}\)

\({\textcolor{white}{y}=50- 38}\)

\({y=12}\)

un termen al sumei este egal cu suma minus celălalt termen; avem:

\({x+y=85 \Longrightarrow y=85-x}\)

pe \({y}\) l-am scris în funcție de \({x}\); acum avem o singură necunoscută

scădem 4 din primul număr, adică primul număr va deveni \({x-4}\)

scădem 5 din al doilea număr, adică al doilea număr va deveni \({85-x-5 = 80-x}\)

primul număr va fi de trei ori mai mare decât al doilea număr, deci primul număr va fi egal cu 3 înmulțit cu cel de-al doilea număr:

\({x-4= 3\underbrace{(80-x)}_{\displaystyle =y}}\)

\({x-4= 3 \cdot 80- 3 \cdot x}\)

\({x-4= 240- 3x}\)

\({x+3x= 240+4}\)

\({4x= 244 \; \; \mid \; : 4}\)

împărțim egalitatea cu 4 (cu coeficientul lui \({x}\))

\({x= 244 : 4}\)

\({x=61}\)

\({y=85- x}\)

\({\textcolor{white}{y}=85- 61}\)

\({y=24}\)

un termen al unei sume este egal cu rezultatul minus celălalt termen al sumei; rezultă că:

\({y=360-x}\)

\({2x+ 3(360-x) =910}\)

desfacem paranteza; plus în fața parantezei nu schimbă semnele din paranteză:

\({2x+3 \cdot 360 -3 \cdot x=910}\)

\({2x+1080-3x=910}\)

\({-x+1080=910}\)

îl trecem pe \({-x}\) în membrul drept, cu semn schimbat (devine \({+x}\)) și pe \({910}\) în membrul stâng, cu semn schimbat (devine \({-910}\)):

\({1080-910=x}\)

\({x=170}\)

\({y=360-x}\)

\({\textcolor{white}{y}=360-170}\)

\({y=190}\)

\({x+y=-55}\) (*)

\({x=13+y}\)

\({x+y=-55}\) (*)

\({x=13+y}\)

\({\underbrace{13+y}_{\displaystyle =x}+y=-55}\)

\({13+2y=-55}\)

îl trecem pe \({13}\) în celălalt membru, cu semn schimbat (devine \({-13}\))

\({2y=-55-13}\)

\({2y=-68 \; \; \mid \; : 2}\)

împărțim egalitatea cu 2 (cu coeficientul lui \({y}\))

\({y=(-68) : 2}\)

\({y=-34}\)

\({x=13+y}\)

\({\textcolor{white}{x}=13+(-34)}\)

\({\textcolor{white}{x}=13-34}\)

\({x=-21}\)

\({2(x-3)=-x}\)

desfacem paranteza

\({2 \cdot x-2 \cdot 3=-x}\)

\({2x-6=-x}\)

separăm termenii, astfel: într-o parte a egalului pe cei care conțin necunoscuta, iar în partea cealaltă a egalului vrem să avem termenii liberi

când trecem un termen dintr-o parte în alta a egalului, schimbăm semnul: plus devine minus și minus devine plus

îl trecem pe \({-x}\) în membrul stâng, cu semn schimbat (devine \({+x}\)) și pe \({-6}\) în membrul drept, cu semn schimbat (devine \({+6}\))

\({2x+x=6}\)

\({3x=6 \; \; \mid \; : 3}\)

împărțim egalitatea cu \({3}\) (cu coeficientul lui \({x}\))

\({x=6 : 3}\)

\({x=2}\)

• înainte să mergem mai departe cu rezolvarea, analizăm puțin această relație
• avem o relație între deîmpărțit, împărțitor, cât și rest:



\({\textcolor{deeppink}{\text{deîmpărțit} \; : \;\text{împărțitor} = \text{cât} \; \text{și} \;\text{rest}}}\)

(restul este mai mic decât împărțitorul)

• rescriem acestă relație, într-o formă care ne este folositoare (teorema împărțirii cu rest):



\({\textcolor{deeppink}{\text{deîmpărțit} = \text{împărțitor} \cdot \text{cât} \; + \; \text{rest}}}\)

să vedem un exemplu: știm că \({7 : 2= 3 \; \text{rest} \; 1}\)

rescriem: \({7 = 2 \cdot 3+1}\) - adevărat

rescriem relația \({y : x= 1 \; \text{rest} \; 10}\) și obținem:

\({y= x \cdot 1 + 10}\)

\({y= x+ 10}\)

rescriem relația și obținem:

\({z= x \cdot 2 + 34}\)

\({z= 2x+ 34}\)

\({x+\underbrace{x+10}_{\displaystyle =y}+\underbrace{2x+34}_{\displaystyle =z}=264}\)

\({4x+44=264}\)

îl trecem pe \({+44}\) în membrul drept, cu semn schimbat (devine \({-44}\)); vrem să grupăm termenii: cei care conțin necunoscuta într-o parte a egalului, iar termenii liberi în cealaltă parte a egalului

\({4x=264-44}\)

\({4x=220 \; \; \mid \; : 4}\)

împărțim ambii membri ai egalității cu 4 (coeficientul lui \({x}\))

\({x=220 : 4}\)

\({x=55}\) - primul număr

\({y=x+10}\)

\({\textcolor{white}{y}=55+10}\)

\({y=65}\) - al doilea număr

\({z=2x+34}\)

\({\textcolor{white}{z}=2 \cdot 55+34}\)

\({\textcolor{white}{z}=110+34}\)

\({z=144}\) - al treilea număr

\({x+\frac{\displaystyle 23}{\displaystyle 100} \cdot x =492 \; \; \mid \; \cdot \; 100}\)

\({100 \cdot (x+\frac{\displaystyle 23}{\displaystyle 100} \cdot x) =100 \cdot 492}\)

\({100 \cdot x+\cancel{100} \cdot \frac{\displaystyle 23}{\displaystyle \cancel{100}} \cdot x =49200}\)

\({100x+23 x =49200}\)

\({123x =49200 \; \; \mid \; : 123}\)

împărțim egalitatea cu 123 (cu coeficientul lui \({x}\))

\({x =\frac{\displaystyle 49200}{\displaystyle 123}}\)

\({x=400}\)

\({\textcolor{deeppink}{\frac{\displaystyle x+y}{\displaystyle 2}=42}}\)

avem o proporție; produsul mezilor este egal cu produsul extremilor (îl considerăm pe 42 ca fracție cu numitorul 1)

\({\textcolor{deeppink}{x+y=2 \cdot 42}}\)

\({\textcolor{deeppink}{x+y=84}}\)

\({\textcolor{deeppink}{\frac{\displaystyle x+z}{\displaystyle 2}=65}}\)

avem o proporție; produsul mezilor este egal cu produsul extremilor (îl considerăm pe 65 ca fracție cu numitorul 1)

\({\textcolor{deeppink}{x+z=2 \cdot 65}}\)

\({\textcolor{deeppink}{x+z=130}}\)

\({\textcolor{deeppink}{\frac{\displaystyle y+z}{\displaystyle 2}=58}}\)

avem o proporție; produsul mezilor este egal cu produsul extremilor (îl considerăm pe 58 ca fracție cu numitorul 1)

\({\textcolor{deeppink}{y+z=2 \cdot 58}}\)

\({\textcolor{deeppink}{y+z=116}}\)

\({x+y=84}\)

\({x+z=130}\)

\({y+z=116}\)

\({x+y+x+z+y+z=84+130+116}\)

\({2x+2y+2z=330}\)

dăm factor comun pe 2

\({2(x+y+z)=330 \; \; \mid \; : 2}\)

împărțim egalitatea cu 2

\({x+y+z=\frac{\displaystyle 330}{\displaystyle 2}}\)

\({x+y+z=165}\)

\({x+\underbrace{y+z}_{\displaystyle =116}=165}\)

\({x=165-116}\)

\({x=49}\)

\({x+y=84}\)

\({49+y=84}\)

\({y=84-49}\)

\({y=35}\)

\({x+z=130}\)

\({49+z=130}\)

\({z=130-49}\)

\({z=81}\)