Important! La numărător vom avea prima mărime menționată în raport, iar la numitor vom avea a doua mărime menționată în raport. Este foarte importantă ordinea în care scriem cele două mărimi.

Raportul dintre lățimea și lungimea dreptunghiului este \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 12}}\). Dacă simplificăm acest raport cu 3, obținem \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}}\).

Raportul este mai mic decât 1, rezultă că lățimea este \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}}\) din lungime.

Rezultă că lungimea este de 4 ori mai mare decât lățimea.

Altfel spus, lățimea este de 4 ori mai mică decât lungimea.

Raportul \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 12}}\) poate fi scris \({3:12}\). Observăm că 3 și 12 se împart exact la 3 (au divizorul comun 3), deci putem împărți ambii termeni ai raportului cu 3 și obținem raportul echivalent \({1:4}\). Important! Trebuie păstrată ordinea în care sunt scrise mărimile din raport.

Important! La numărător vom avea prima mărime menționată în raport, iar la numitor vom avea a doua mărime menționată în raport. În acest caz, la numărător vom avea lungimea laturii \({a}\), iar la numitor vom avea lungimea laturii \({b}\).

Raportul dintre \({a}\) și \({b}\) este \({\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2}}\), adică:

\({\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}=\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2}}\)

a) Nu este adevărat. Raportul este supraunitar (numărătorul este mai mare decât numitorul), deci \({a}\) este mai mare decât \({b}\).

b) Perimetrul pătratului este egal cu suma lungimilor laturilor sale. Cum pătratul are 4 laturi egale, înmulțim lungimea unei laturi cu 4 și aflăm perimetrul.

Perimetrul pătratului cu latura \({a}\) este \({4a}\).

Perimetrul pătratului cu latura \({b}\) este \({4b}\).

Raportul perimetrelor celor două pătrate este:

\({\frac{\displaystyle 4a}{\displaystyle 4b}=\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}=\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2}}\) (simplificăm cu 4)

Reținem că raportul perimetrelor celor două pătrate este egal cu raportul lungimilor laturilor acestora.

Raportul \({\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2}}\) poate fi scris \({5:2}\). Important! Trebuie păstrată ordinea în care sunt scrise mărimile din raport.

c) Aria pătratului este egală cu pătratul lungimii laturii sale.

Aria pătratului cu latura \({a}\) este \({a^2}\).

Aria pătratului cu latura \({b}\) este \({b^2}\).

Raportul ariilor celor două pătrate este:

\({\frac{\displaystyle a^2}{\displaystyle b^2}=\left(\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}\right)^2=\left(\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2}\right)^2=\frac{\displaystyle 5^2}{\displaystyle 2^2}=\frac{\displaystyle 25}{\displaystyle 4}}\)

Raportul \({\frac{\displaystyle 25}{\displaystyle 4}}\) poate fi scris \({25:4}\). Important! Trebuie păstrată ordinea în care sunt scrise mărimile din raport.

Reținem că raportul ariilor celor două pătrate este egal cu pătratul raportului lungimilor laturilor acestora.

a) Raportul este descris în ordinea ciment, nisip și pietriș. Raportul este \({1:2:3}\), deci la o parte ciment se pun 2 părți nisip și 3 părți pietriș.

b) Un sac cu ciment are \({40 \; \text{kg}}\); 6 saci cu ciment au \({240 \; \text{kg}}\) în total.

\({6 \cdot 40 = 240 \; \text{kg}\; \text{de}\; \text{ciment}}\)

S-a folosit de 2 ori mai mult nisip decât ciment, adică:

\({2 \cdot 240 = 480 \; \text{kg}\; \text{de}\; \text{nisip}}\)

S-a folosit de 3 ori mai mult pietriș decât ciment, adică:

\({3 \cdot 240 = 720 \; \text{kg}\; \text{de}\; \text{pietriș}}\)

Important! Trebuie păstrată ordinea în care sunt scrise mărimile din raport.

a) Făina, zahărul și nuca sunt în raport raportul \({5:1:3}\), deci la 5 părți făină corespund 1 parte zahăr și 3 părți nucă.

Pentru 5 căni cu făină, Alexandru va folosi 1 cană cu zahăr și 3 căni cu nucă.

b) Dacă folosește 6 căni cu nucă, să vedem de câte ori a crescut cantitatea de nucă. Împărțim pe 6 la 3 și obținem că s-a dublat cantitatea. Înseamnă că și celelalte cantități se vor dubla.

\({6:3=2 }\) (cantitatea de nucă crește de 2 ori, adică se dublează)

\({5 \cdot 2=10 \; \text{căni} \; \text{cu}\; \text{făină}}\)

\({1 \cdot 2=2 \; \text{căni} \; \text{cu}\; \text{zahăr}}\)

Pentru 6 căni cu nucă, Alexandru va folosi 10 căni cu făină și 2 căni cu zahăr.

Raportul \({4:3:1}\) înseamnă că pentru 4 părți porumb se pun 3 părți grâu și 1 parte mazăre. Rezultă că în total sunt 8 părți (4 plus 3 plus 1 egal cu 8).

\({4+3+1=8 \; \text{părți}\; \text{egale}}\)

Din enunț știm că 8 părți egale înseamnă \({40 \; \text{kg}}\) de amestec. Calculăm câte kilograme are 1 parte.

\({40 :8=5\; \text{kg}}\)

Rezultă că Mirela a folosit \({5 \; \text{kg}}\) de mazăre.

Calculăm cât înseamnă 4 părți de porumb:

\({4 \cdot 5=20\; \text{kg}\; \text{porumb}}\)

Calculăm cât înseamnă 3 părți de grâu:

\({3 \cdot 5=15\; \text{kg}\; \text{grâu}}\)

Am obținut că Mirela a folosit \({20 \; \text{kg}}\) de porumb, \({15 \; \text{kg}}\) de grâu și \({5 \; \text{kg}}\) de mazăre.

Facem proba:

\({20 +15+5=40\; \text{kg}\; \text{de}\; \text{amestec}}\)

a) \({a=24 \; \text{cm}\; }\) și \({\; b=36 \; \text{dm}}\)

Mărimile sunt de același fel (lungimi); trebuie să avem aceleași unități de măsură, de aceea efectuăm transformarea:

\({1 \; \text{dm} = 10 \; \text{cm}}\)

\({36 \; \text{dm} = 36 \cdot 10 =360 \; \text{cm}}\)

\({\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} = \frac{\displaystyle 24}{\displaystyle 360}}\)

Observăm că un divizor comun al lui 24 și 360 este 24; împărțim ambii termeni ai raportului cu 24 și obținem raportul echivalent:

\({\frac{\displaystyle 24}{\displaystyle 360}=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 15}}\)

\({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 15} < 1 }\)

Rezultă că \({a}\) este \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 15}}\) din \({b}\).

b) \({a=1 \; \text{h}\; }\) și \({\; b=30 \; \text{min}}\)

Mărimile sunt de același fel (timp); trebuie să avem aceleași unități de măsură, de aceea efectuăm transformarea:

\({a=1 \; \text{h} = 60 \; \text{min}}\)

\({\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} = \frac{\displaystyle 60}{\displaystyle 30}=2}\)

\({2 > 1 }\)

Valoarea raportului este 2, deci \({a}\) este mai mare decât \({b}\) de 2 ori.

c) \({a=1 \; \text{ha}\; }\) și \({\; b=20000 \; \text{m}^2}\)

Mărimile sunt de același fel (suprafețe); trebuie să avem aceleași unități de măsură, de aceea efectuăm transformarea:

\({a=1 \; \text{ha} = 10000 \; \text{m}^2}\)

\({\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} = \frac{\displaystyle 10000}{\displaystyle 20000}=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}=0{,}5}\)

\({0{,}5 < 1 }\)

Rezultă că \({a}\) este \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\) din \({b}\).

d) \({a=7^2\; \; }\) și \({\; b=14}\)

Avem de calculat raportul a două numere.

\({\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} = \frac{\displaystyle 7^{\cancel{2}}}{\displaystyle \cancel{14}_2}=\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 2}=3{,}5}\)

\({3{,}5 > 1 \Longrightarrow a > b }\)

\({3{,}5 > 1}\)

Rezultă că \({a}\) este mai mare decât \({b}\) de \({3{,}5 }\) ori.

e) \({a=3^{627}\; \; }\) și \({\; b=9^{312}}\)

Avem de calculat raportul a două numere.

\({\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} = \frac{\displaystyle 3^{627}}{\displaystyle 9^{312}}=3^{627} : (3^2)^{312}=3^{627} : 3^{2 \; \cdot \;312}=3^{627} : 3^{624}=3^{627\;-\;624}=3^3=27}\)

\({27 > 1}\)

Rezultă că \({a}\) este mai mare decât \({b}\) de \({27 }\) de ori.

f) \({a=138\; \; }\) și \({\; b=15}\)

Avem de calculat raportul a două numere.

\({\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} = \frac{\displaystyle 138}{\displaystyle 15}=\frac{\displaystyle 46}{\displaystyle 5}=9{,}2}\)

\({9{,}2 > 1}\)

Rezultă că \({a}\) este mai mare decât \({b}\) de \({9{,}2}\) ori.

g) \({a=11\; \; }\) și \({\; b=121}\)

Avem de calculat raportul a două numere.

\({\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} = \frac{\displaystyle 11}{\displaystyle 121}=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 11}}\)

\({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 11} < 1}\)

Rezultă că \({a}\) este \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 11}}\) din \({b}\).

h) \({a=\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 8}\; \; }\) și \({\; b=\frac{\displaystyle 27}{\displaystyle 16}}\)

Avem de calculat raportul a două numere.

\({\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} = \frac{\displaystyle \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 8}}{\displaystyle \frac{\displaystyle 27}{\displaystyle 16}}=\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 8} : \frac{\displaystyle 27}{\displaystyle 16}=\frac{\displaystyle \cancel{3}}{\displaystyle \cancel{8}} \cdot \frac{\displaystyle \cancel{16}^2}{\displaystyle \cancel{27}_9}=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 9}}\)

\({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 9} < 1}\)

Rezultă că \({a}\) este \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 9}}\) din \({b}\).

i) \({a=5 {, }5\; \; }\) și \({\; b=7 {, }5}\)

Avem de calculat raportul a două numere.

\({\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} = \frac{\displaystyle 5 {, }5}{\displaystyle 7 {, }5} = \frac{\displaystyle \frac{\displaystyle 55}{\displaystyle 10}}{\displaystyle \frac{\displaystyle 75}{\displaystyle 10}}=\frac{\displaystyle 55}{\displaystyle 10} : \frac{\displaystyle 75}{\displaystyle 10}=\frac{\displaystyle \cancel{55}^{11}}{\displaystyle \cancel{10}} \cdot \frac{\displaystyle \cancel{10}}{\displaystyle \cancel{75}_{15}}=\frac{\displaystyle 11}{\displaystyle 15}}\)

\({\frac{\displaystyle 11}{\displaystyle 15} < 1}\)

Rezultă că \({a}\) este \({\frac{\displaystyle 11}{\displaystyle 15}}\) din \({b}\).

j) \({a=300\; \text{min} }\) și \({\; b=3\; \text{h} }\)

Mărimile sunt de același fel (timp); trebuie să avem aceleași unități de măsură, de aceea efectuăm transformarea:

\({1 \; \text{h} = 60 \; \text{min}}\)

\({b=3 \; \text{h} = 3 \cdot 60= 180 \; \text{min}}\)

\({\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} = \frac{\displaystyle 300}{\displaystyle 180}=\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 3}=1{,}(6)}\) (simplificăm cu 60)

\({1{,}(6 )> 1 }\)

Rezultă că \({a}\) este mai mare decât \({b}\) de \({1{,}(6)}\) ori.

k) \({a=10\; \text{m} }\) și \({\; b=0 {, }1\; \text{km} }\)

Mărimile sunt de același fel (lungime); trebuie să avem aceleași unități de măsură, de aceea efectuăm transformarea:

\({1 \; \text{km} = 1000 \; \text{m}}\)

\({b=0{,}1 \; \text{km} = 0{,}1 \cdot 1000= 100 \; \text{m}}\)

\({\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} = \frac{\displaystyle 10}{\displaystyle 100}=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 10}}\) (simplificăm cu 10)

\({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 10} < 1 }\)

Rezultă că \({a}\) este \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 10}}\) din \({b}\).