Observăm că domeniul de definiție al funcției este o mulțime finită. Rezultă că graficul ei este o mulțime de puncte pe care nu le unim între ele.

Graficul funcției \({f}\) este mulțimea tuturor perechilor de numere de forma \({M(x, f(x))}\), unde \({x}\) este un element al domeniul de definiție, iar \({f(x)}\) este elementul corespunzătorlui \({x}\) prin funcția \({f}\).

Funcția noastră \({f}\) este definită pe mulțimea \({\{ -3, -2, -1, 0, 1 \} }\) formată din 5 numere, deci graficul ei va conține 5 puncte.

• 1. Vom calcula \({f(x)}\) pentru fiecare valoare a lui \({x}\) din mulțimea \({\{ -3, -2, -1, 0, 1 \} }\).





• 2. Graficul funcției \({f}\) este mulțimea \({G_f=\{ (-3, -5), \; (-2,-3),\; (-1,-1),\; ( 0, 1), \; (1, 3) \} }\).


• 3. Desenăm sistemul de axe de coordonate \({xOy}\).


• Vom reprezenta grafic toate perechile de numere din mulțimea \({G_f}\).


• 4. Reprezentăm prima pereche \({(-3,-5)}\):


• \({-3}\) este abscisa, ne uităm pe axa \({Ox}\) și numărăm 3 unități la stânga lui \({O}\), pentru că \({-3}\) este număr negativ; marcăm pe axa \({Ox}\) numărul \({-3}\) și prin el ducem paralela la axa \({Oy}\);


• \({-5}\) este ordonata, ne uităm pe axa \({Oy}\) și numărăm 5 unități sub \({O}\), pentru că \({-5}\) este număr negativ; marcăm pe axa \({Oy}\) numărul \({-5}\) și prin el ducem paralela la axa \({Ox}\);


• la intersecția celor două paralele se ală punctul corespunzător perechii de numere \({(-3,-5)}\);


• 5. Reprezentăm următoarea pereche \({(-2,-3)}\):


• \({-2}\) este abscisa, ne uităm pe axa \({Ox}\) și numărăm 2 unități la stânga lui \({O}\), pentru că \({-2}\) este număr negativ; marcăm pe axa \({Ox}\) numărul \({-2}\) și prin el ducem paralela la axa \({Oy}\);


• \({-3}\) este ordonata, ne uităm pe axa \({Oy}\) și numărăm 3 unități sub \({O}\), pentru că \({-3}\) este număr negativ; marcăm pe axa \({Oy}\) numărul \({-3}\) și prin el ducem paralela la axa \({Ox}\);


• la intersecția celor două paralele se ală punctul corespunzător perechii de numere \({(-2,-3)}\);


• 6. Reprezentăm următoarea pereche \({(-1,-1)}\):


• \({-1}\) este abscisa, ne uităm pe axa \({Ox}\) și numărăm 1 unitate la stânga lui \({O}\), pentru că \({-1}\) este număr negativ; marcăm pe axa \({Ox}\) numărul \({-1}\) și prin el ducem paralela la axa \({Oy}\);


• \({-1}\) este ordonata, ne uităm pe axa \({Oy}\) și numărăm 1 unitate sub \({O}\), pentru că \({-1}\) este număr negativ; marcăm pe axa \({Oy}\) numărul \({-1}\) și prin el ducem paralela la axa \({Ox}\);


• la intersecția celor două paralele se ală punctul corespunzător perechii de numere \({(-1,-1)}\);


• 7. Reprezentăm următoarea pereche \({(0,1)}\):


• \({0}\) este abscisa, ne uităm pe axa \({Ox}\) și identificăm originea sistemului de axe; marcăm pe axa \({Ox}\) numărul \({0}\) și prin el ducem paralela la axa \({Oy}\);


• \({1}\) este ordonata, ne uităm pe axa \({Oy}\) și numărăm 1 unitate deasupra lui \({O}\), pentru că \({1}\) este număr pozitiv; marcăm pe axa \({Oy}\) numărul \({1}\) și prin el ducem paralela la axa \({Ox}\);


• la intersecția celor două paralele se ală punctul corespunzător perechii de numere \({(0,1)}\);


• 8. Reprezentăm următoarea pereche \({(1,3)}\):


• \({1}\) este abscisa, ne uităm pe axa \({Ox}\) și numărăm 1 unitate la dreapta lui \({O}\), pentru că \({1}\) este număr pozitiv; marcăm pe axa \({Ox}\) numărul \({1}\) și prin el ducem paralela la axa \({Oy}\);


• \({1}\) este ordonata, ne uităm pe axa \({Oy}\) și numărăm 3 unități deasupra lui \({O}\), pentru că \({3}\) este număr pozitiv; marcăm pe axa \({Oy}\) numărul \({3}\) și prin el ducem paralela la axa \({Ox}\);


• la intersecția celor două paralele se ală punctul corespunzător perechii de numere \({(1,3)}\);


• Graficul funcției \({f}\) este format din cele cinci puncte pe care le-am reprezentat în sistemul \({xOy}\) (nu unim punctele).

Observăm că funcția \({g }\) este definită pe un interval mărginit la ambele capete, deci graficul ei este un segment.

Intervalul de definiție \({(-2,1] }\) este deschis la stânga, deci nu conține numărul \({-2 }\); rezultă că graficul funcției \({g}\) nu conține punctul care are abscisa \({-2 }\).

Intervalul de definiție \({(-2,1] }\) este închis la dreapta, deci conține numărul \({1 }\); rezultă că graficul funcției \({g}\) conține punctul care are abscisa \({1 }\).

Mai observăm că funcția de la acest exercițiu are aceeași lege de corespondență ca funcția de la exercițiul anterior. Diferă domeniile de definiție.

\({f : \textcolor{orange}{\{ -3, -2, -1, 0, 1 \}} → ℝ}\), \({\textcolor{#789aff}{f(x)=2x+1}}\)

• graficul este o mulțime de puncte

\({g : \textcolor{#ff03ff}{(-2,1]} → ℝ}\), \({\textcolor{#789aff}{g(x)=2x+1}}\)

• graficul este un segment

Pentru a trasa graficul funcției \({g}\), calculăm valorile ei pentru \({x=-2}\) și \({x=1}\) (capetele intervalului de definiție). Vom obținem coordonatele a două puncte care reprezintă capetele segmentului căutat.

• \({x=-2 \Longrightarrow g(-2)=2 \cdot (-2) + 1= -4 + 1= -3}\)

Am obținut punctul de coordonate \({(-2, -3)}\).

• \({x=1 \Longrightarrow g(1)=2 \cdot 1 + 1= 2 + 1= 3}\)

Am obținut punctul de coordonate \({(1, 3)}\).

• unim punctele obținute și obținem un segment de dreaptă
• la capătul din stânga al segmentului obținut desenăm o paranteză rotundă pentru că graficul funcției nu conține punctul \({(-2, -3)}\)
• la capătul din dreapta al segmentului obținut desenăm o paranteză dreaptă pentru că graficul funcției conține punctul \({(1, 3)}\)
• am obținut graficul funcției \({g}\)

Observăm că funcția \({h }\) este definită pe un interval nemărginit, deci graficul ei este o semidreaptă.

Intervalul \({(-\infty,-1] }\) este nemărginit la stânga, deci semidreapta va fi nemărginită la stânga.

Intervalul \({(-\infty,-1] }\) este închis la dreapta, deci semidreapta conține punctul care are abscisa egală cu \({-1}\).

Mai observăm că funcția de la acest exercițiu are aceeași lege de corespondență ca funcțiile de la exercițiile anterioare. Diferă domeniile de definiție.

\({f : \textcolor{orange}{\{ -3, -2, -1, 0, 1 \}} → ℝ}\), \({\textcolor{#789aff}{f(x)=2x+1}}\)

• graficul este o mulțime de puncte

\({g : \textcolor{#ff03ff}{(-2,1]} → ℝ}\), \({\textcolor{#789aff}{g(x)=2x+1}}\)

• graficul este un segment

\({h : \textcolor{#0389ff}{(-\infty,-1]} → ℝ}\), \({\textcolor{#789aff}{h(x)=2x+1}}\)

• graficul este o semidreaptă

Pentru a trasa graficul funcției \({h }\), avem nevoie să identificăm două puncte de pe acest grafic.

• Primul punct îl vom identifica calculând valoarea funcției pentru \({x=-1 }\) (capătul intervalului de definiție).
• Pentru al doilea punct, vom alege o valoare a lui \({x }\) din domeniul de definiție și vom calcula \({h(x) }\).

• \({x=-1 \Longrightarrow h(x)=2 \cdot (-1) + 1= -2 + 1=-1}\)

am obținut punctul de coordonate \({(-1,-1) }\)

• alegem o valoare a lui \({x }\) din intervalul \({(-\infty,-1]}\) (domeniul de definiție); fie \({x=-3 }\)

am obținut punctul de coordonate \({x=-3 \Longrightarrow h(x)=2 \cdot (-3) + 1= -6 + 1=-5}\)

am obținut punctul de coordonate \({(-3,-5) }\)

• desenăm sistemul de axe \({xOy}\)
• reprezentăm punctele \({(-1,-1) }\) și \({(-3,-5) }\) în sistemul \({xOy}\)
• desenăm semidreapta care trece prin aceste puncte, mărginită la dreapta; deoarece intervalul de definiție \({(-\infty,-1]}\) este închis la dreapta, vom desena o paranteză dreaptă la capătul din dreapta al semidreptei
• am obținut graficul funcției \({h}\)

Observăm că funcția \({i }\) este definită pe mulțimea numerelor reale, deci graficul ei este o dreaptă.

Mai observăm că funcția de la acest exercițiu are aceeași lege de corespondență ca funcțiile de la exercițiile anterioare. Diferă domeniile de definiție.

\({f : \textcolor{orange}{\{ -3, -2, -1, 0, 1 \}} → ℝ}\), \({\textcolor{#789aff}{f(x)=2x+1}}\)

• graficul este o mulțime de puncte

\({g : \textcolor{#ff03ff}{(-2,1]} → ℝ}\), \({\textcolor{#789aff}{g(x)=2x+1}}\)

• graficul este un segment

\({h : \textcolor{#0389ff}{(-\infty,-1]} → ℝ}\), \({\textcolor{#789aff}{h(x)=2x+1}}\)

• graficul este o semidreaptă

\({i : \textcolor{red}{ℝ} → ℝ}\), \({\textcolor{#789aff}{i(x)=2x+1}}\)

• graficul este o dreaptă

Pentru a trasa graficul funcției \({i }\), avem nevoie să identificăm două puncte de pe acest grafic.

Varianta 1: folosim una dintre problemele anterioare, luăm oricare două puncte pe care deja le-am identificat și trasăm dreapta care trece prin ele.

Varianta 2: nu ținem seama de problema anterioară. Alegem două valori reale oarecare ale lui \({x }\) și pentru ele calculăm \({i(x) }\). Obținem coordonatele a două puncte de pe grafic; reprezentăm punctele în sistemul \({xOy }\), apoi trasăm dreapta care trece prin ele.

• alegem valorile \({1}\) și \({2}\) pentru \({x }\) și calculăm \({i(1) }\) și \({i(2) }\);







am obținut punctele de coordonate \({(1,3) }\) și \({(2,5) }\)

• desenăm sistemul de axe de coordonate \({xOy}\);


• reprezentăm punctele de coordonate \({(1,3) }\) și \({(2,5) }\) în acest sistem de axe;


• trasăm dreapta care trece prin cele două puncte găsite. Această dreaptă este graficul funcției \({i }\).

Varianta 3: identificăm punctele în care graficul funcției \({i }\) intersectează axele \({Ox }\) și \({Oy }\).

• intersecția cu axa \({Ox }\):



\({i(x)=y=0 \Longrightarrow 2x+1=0 \Longrightarrow 2x=-1 \Longrightarrow x=-\frac{\displaystyle 1 }{\displaystyle 2}}\)




am obținut că intersecția cu axa \({Ox }\) este punctul de coordonate \({(-\frac{\displaystyle 1 }{\displaystyle 2}, 0)}\)

• intersecția cu axa \({Oy }\):



\({x=0 \Longrightarrow 2 \cdot 0+1=0 +1=1}\)




am obținut că intersecția cu axa \({Oy }\) este punctul de coordonate \({(0,1)}\)



• desenăm sistemul de coordonate \({xOy }\)


• în sistemul de coordonate \({xOy }\) reprezentăm punctele \({(-\frac{\displaystyle 1 }{\displaystyle 2}, 0)}\) și \({(0,1)}\)


• trasăm dreapta care trece prin punctele \({(-\frac{\displaystyle 1 }{\displaystyle 2}, 0)}\) și \({(0,1)}\)

Observăm că funcțiile \({f}\), \({g}\), \({h}\) și \({i}\):

• au aceeași lege de corespondență;
• diferă domeniile de definiție.

Dacă domeniul de definiție al funcției este \({ℝ}\), atunci graficul funcției este o dreaptă \({d}\) (funcția \({i}\)).

• dacă domeniul de definiție al funcției este o mulțime finită (funcția \({f}\)), atunci graficul funcției este o mulțime de puncte (mulțime finită): câte elemente are domeniul, atâtea puncte are graficul; punctele sunt pe dreapta \({d}\);
• dacă domeniul de definiție al funcției este un interval mărginit la ambele capete (funcția \({fg}\)), atunci graficul funcției este un segment (inclus în dreapta \({d}\));
• dacă domeniul de definiție al funcției este un interval nemărginit la un capăt (funcția \({h}\)), atunci graficul funcției este o semidreaptă (inclusă în dreapta \({d}\)).