I. Observăm tabelul:

• pe prima linie a tabelului avem câteva valori ale lui \({x}\);
• pe a doua linie a tabelului avem valorile funcției \({f}\) pentru \({x}\) ales (vom calcula \({f(-2)}\), \({f(-1)}\), \({f(0)}\) și \({f(1)}\));
• pe a treia linie avem punctele de abscisă \({x}\) și ordonată \({f(x)}\) (vom avea \({A(-2, f(-2))}\), \({B(-1, f(-1))}\), \({C(0, f(0))}\) și \({D(1, f(1))}\)).

Efectuăm calculele pentru \({x=-2}\):

• \({x=-2 \Longrightarrow f(-2)=-(-2)-1=2-1=1 \Longrightarrow A(-2,1)}\)



(îl înlocuim pe \({x}\) cu \({-2}\) în \({f(x)=-x-1}\))

Efectuăm calculele pentru \({x=-1}\):

• \({x=-1 \Longrightarrow f(-1)=-(-1)-1=1-1=0 \Longrightarrow B(-1,0)}\)



(îl înlocuim pe \({x}\) cu \({-1}\) în \({f(x)=-x-1}\))

Efectuăm calculele pentru \({x=0}\):

• \({x=0 \Longrightarrow f(0)=0-1=-1 \Longrightarrow C(0,-1)}\)



(îl înlocuim pe \({x}\) cu \({0}\) în \({f(x)=-x-1}\))

Efectuăm calculele pentru \({x=1}\):

• \({x=1 \Longrightarrow f(1)=-1-1=-2 \Longrightarrow D(1,-2)}\)



(îl înlocuim pe \({x}\) cu \({1}\) în \({f(x)=-x-1}\))

Completăm tabelul:

II. Ce fel de valori poate să ia \({x}\)?

Domeniul de definiție al funcției ne indică valorile pe care poate să le ia \({x}\). Avem \({f : \textcolor{red}{ℝ} → ℝ}\); înseamnă că \({f}\) este definită pe \({\textcolor{red}{ℝ}}\) cu valori în \({ℝ}\), deci \({x}\) poate fi orice număr real (\({ℝ}\) este mulțimea numerelor reale).

III. Ce fel de grafic are funcția \({f}\)?

Domeniul de definiție al funcției ne indică ce fel de grafic are funcția liniară. Domeniul de definiție al funcției \({f}\) este \({ℝ}\); rezultă că graficul ei este o dreaptă.

• dacă domeniul de definiție al funcției liniare este un interval mărginit la ambele capete, atunci graficul funcției este un segment;


• dacă domeniul de definiție al funcției liniare este un interval nemărginit, atunci graficul funcției este o semidreaptă.

IV. Desenați un sistem de axe ortogonale \({xOy}\).

• desenăm două segmente perpendiculare;
• punctul de intersecție este originea sistemului și îl notăm cu \({O}\)
• segmentul orizontal este axa \({Ox}\); la dreapta lui \({O}\) marcăm sensul pozitiv cu o săgeată și scriem \({x}\)
• segmentul vertical este axa \({Oy}\); deasupra lui \({O}\) marcăm sensul pozitiv cu o săgeată și scriem \({y}\)
• stabilim unitatea de măsură.

V. Reprezentați grafic punctele A, B, C și D în sistemul de axe ortogonale \({xOy}\).

VI. Reprezentați grafic funcția \({f}\).

• trasăm dreapta care trece prin punctele A, B, C și D (sunt suficiente două puncte);
• această dreaptă este graficul funcției \({f}\).

VII. Ce fel de puncte sunt B și C?

• punctul \({B(-1,0)}\) este intersecția graficului funcței \({f}\) cu axa \({Ox}\);

\({f(x)=0}\) \({\Longrightarrow -x-1=0}\) \({\Longrightarrow x=-1}\)

• punctul \({C(0, -1)}\) este intersecția graficului funcței \({f}\) cu axa \({Oy}\).

\({x=0}\) \({\Longrightarrow f(0)=0-1=-1}\)

I. Observăm că putem completa câteva casete fără să facem calcule.

• deoarece \({x=-1}\), rezultă că abscisa punctului \({A}\) este \({-1}\);
• deoarece \({x=3}\), rezultă că abscisa punctului \({D}\) este \({3}\);
• avem punctul \({B(1,1)}\); rezultă că \({x=1}\) și \({y=f(1)=1}\);
• avem punctul \({C(2,-1)}\); rezultă că \({x=2}\) și \({y=f(2)=-1}\).

Completăm tabelul cu ce am descoperit până acum.

• pentru \({x=-1}\), calculăm \({f(-1)= (-2) \cdot (-1)+3=2+3=5}\);
• pentru \({x=3}\), calculăm \({f(3)= (-2) \cdot 3+3=-6+3=-3}\).

Completăm tabelul cu ce am calculat.

II. Ce fel de valori poate să ia \({x}\)?

Avem \({f : \textcolor{red}{ℝ} → ℝ}\); domeniul de definiție al funcției \({f}\) este \({\textcolor{red}{ℝ}}\), deci \({x}\) poate avea orice valoare reală.

III. Ce fel de grafic are funcția \({f}\)?

Avem \({f : \textcolor{red}{ℝ} → ℝ}\); domeniul de definiție al funcției \({f}\) este \({\textcolor{red}{ℝ}}\), deci graficul ei este o dreaptă.

IV. Reprezentați grafic punctele A, B, C și D într-un sistem de axe ortogonale \({xOy}\).

V. Reprezentați grafic funcția \({f}\).

Trasăm dreapta care conține punctele A, B, C și D (este suficient să știm două puncte de pe această dreaptă).

VI. Determinați punctele de intersecție a graficului funcției \({f}\) cu axele \({Ox}\) și \({Oy}\).

• intersecția cu axa \({Oy}\)

Pentru \({x=0 }\), calculăm \({f(0)= (-2) \cdot 0+3=0+3=3}\).

Graficul funcției \({f }\) intersectază axa \({Oy}\) în punctul \({N(0,3)}\).

• intersecția cu axa \({Ox}\)

Pentru \({f(x)=0 }\), calculăm \({-2x+3=0 \Longrightarrow -2x=-3 \Longrightarrow x=\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}}\).

Graficul funcției \({f }\) intersectază axa \({Ox}\) în punctul \({M(\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2},0)}\).

I. Observăm că putem completa câteva casete fără să facem calcule.

• avem punctul \({A(-3,1)}\); rezultă că \({x=-3}\) și \({y=f(-3)=1}\);
• avem punctul \({B(-1,-1)}\); rezultă că \({x=-1}\) și \({y=f(-1)=-1}\);
• avem punctul \({C(1,-3)}\); rezultă că \({x=1}\) și \({y=f(1)=-3}\).

Completăm tabelul cu ce am descoperit până acum.

Mai avem de completat o casetă - funcția \({ f(x)}\). Știm că funcția \({f}\) este liniară, deci are forma \({f(x)=ax+b}\). Înseamnă că trebuie să calculăm coeficientul \({a}\) și termenul liber \({b}\). Cum îi calculăm?

Știm coordonatele a trei puncte care aparțin graficului funcției \({f}\). Pentru a putea calcula pe \({a}\) și pe \({b}\), avem nevoie să știm coordonatele a două puncte care aparțin graficului funcției \({f}\). Vom forma un sistem de două ecuații cu două necunoscute (\({a}\) și \({b}\)).

Alegem două puncte dintre cele trei care știm că aparțin graficului. Le alegem pe \({A(-3,1)}\) și pe \({B(-1,-1)}\) (este bine să alegem punctele astfel încât să avem calcule cât mai simple).

Deoarece \({A(-3,1)}\) aparține graficului funcției \({f}\), rezultă că \({f(-3)=1}\), adică \({-3a+b=1}\) (îl înlocuim pe \({x}\) cu \({-3}\) în \({f(x)=ax+b}\)). Scriem astfel:

\({A(-3,1) \in G_f \Longrightarrow f(-3)=1 \Longrightarrow -3a+b=1}\)

Deoarece \({B(-1,-1)}\) aparține graficului funcției \({f}\), rezultă că \({f(-1)=-1}\), adică \({-a+b=-1}\) (îl înlocuim pe \({x}\) cu \({-1}\) în \({f(x)=ax+b}\)). Scriem astfel:

\({B(-1,-1) \in G_f \Longrightarrow f(-1)=-1 \Longrightarrow -1 \cdot a+b=-1 \Longrightarrow -a+b=-1}\)

Formăm sistemul de două ecuații cu două necunoscute \({a}\) și \({b}\):

$$ \left\{ \begin{alignedat}{4} &-3a+b=1 \\ &-a+b=-1 \; \; \; \mid \; \cdot \; (-1) \end{alignedat} \right. $$

Rezolvăm sistemul folosind metoda reducerii. Înmulțim a doua ecuație cu \({-1}\) și obținem:

$$ \left\{ \begin{array}{c} -3a+b=1 \\ \textcolor{white}{-3}a-b=1 \end{array} \right. $$

Adunăm cele două ecuații; necunoscuta \({b}\) este eliminată; obținem:

\({-3a+a=1+1}\)

\({-2a=2\; \; \; \mid \; : \; (-2)}\)

\({a=-1}\)

Îl înlocuim pe \({a}\) în ecuația \({a-b=1}\).

\({a-b=1}\)

\({ -1-b=1}\)

îl trecem pe \({ -b}\) în membrul drept, cu semn schimbat; devine \({ +b}\)

îl trecem pe \({ 1}\) în membrul stâng, cu semn schimbat; devine \({ -1}\)

\({ -1-1=b}\)

\({b=-2}\)

În \({f(x)=ax+b}\) înlocuim pe \({a}\) și \({b}\) cu valorile găsite.

\({f(x)=ax+b}\)

\({a=-1}\)

\({b=-2}\)

Rezultă că \({f(x)=-1 \cdot x+(-2)=-x-2}\).

\({f(x)=-x-2}\)

Verificare: (folosim cel de-al treilea punct despre care știm că este pe graficul funcției)

Punctul \({C(1,-3)}\) aparține graficului funcției \({f}\), deci \({f(1)}\) trebuie să fie egal cu \({-3}\). Verificăm dacă este așa.

\({f(1)=-1-2=-3}\) - corect

Completăm tabelul.

II. Ce fel de valori poate să ia \({x}\)?

Avem \({f : \textcolor{red}{ℝ} → ℝ}\); domeniul de definiție al funcției \({f}\) este \({\textcolor{red}{ℝ}}\), deci \({x}\) poate avea orice valoare reală.

III. Ce fel de grafic are funcția \({f}\)?

Avem \({f : \textcolor{red}{ℝ} → ℝ}\); domeniul de definiție al funcției \({f}\) este \({\textcolor{red}{ℝ}}\), deci graficul ei este o dreaptă.

IV. Reprezentați grafic punctele A, B și C într-un sistem de axe ortogonale \({xOy}\).

V. Reprezentați grafic funcția \({f}\).

Trasăm dreapta care conține punctele A, B și C (este suficient să știm două puncte de pe această dreaptă).