a) \({145}\) > \({-11400}\)

• Numărul \({145}\) este pozitiv.


• Numărul \({-11400}\) este negativ.


• Orice număr pozitiv este mai mare decât orice număr negativ.

b) \({-38{,}7}\) < \({37{,}8}\)

• Numărul \({-38{,}7}\) este negativ.


• Numărul \({37{,}80}\) este pozitiv.


• Orice număr negativ este mai mic decât orice număr pozitiv.

c) \({-8{,}41}\) > \({-8{,}8}\)

• Ambele numere sunt negative.


• Comparăm \({8{,}\textcolor{BurntOrange}{4}\textcolor{NavyBlue}{1}}\) și \({8{,}\textcolor{BurntOrange}{8}}\).


• Înaintea virgulei este același număr, deci comparăm prima cifră de după virgulă.



\({8=8 }\)

\({\textcolor{BurntOrange}{4} <\textcolor{BurntOrange}{8} }\)

Rezultă că \({8{,}41 <8{,}8}\).

Înmulțim relația cu \({-1}\); când înmulțim cu un număr negativ, se schimbă sensul inegalității. În acest caz, semnul \({<}\) devine \({>}\).

\({8{,}41 <8{,}8 \;\;\; \mid \; \cdot \; (-1)}\)

\({-8{,}41 > -8{,}8}\)

• Rezultă că \({-8{,}41 > -8{,}8}\).

d) \({\sqrt{123}}\) < \({14}\)

• Comparăm două numere pozitive. Unul este irațional, celălalt este natural (\({\sqrt{123}}\) este irațional, \({14}\) este natural).


• Folosim relația:



\({a^2 < b^2 \Longrightarrow a < b}\)




unde \({a, b \; \text{numere} \; \text{strict} \; \text{pozitive}}\)



• Ridicăm la pătrat numerele pe care le comparăm:


• \({\sqrt{123}^2=123}\)


• \({14^2=196}\)


• Comparăm pătratele:



\({123 < 196 }\)




Prin ridicare la pătrat, ajungem să comparăm două numere naturale.



• Rezultă că:



\({\sqrt{123} < \sqrt{196} }\)




Am obținut că:




\({\sqrt{123} < 14 }\)

Altfel:

• Îl scriem pe \({14}\) sub formă de radical.



\({14^2=196}\)




Rezultă că \({ 14=\sqrt{196} }\)



• Am ajuns să comparăm numerele \({\sqrt{123}}\) și \({\sqrt{196}}\). Comparăm numerele de sub radical:



\({123 <196}\)




Rezultă că:




\({\sqrt{123} < \sqrt{196} }\)




Am obținut că:




\({\sqrt{123} < 14 }\)

e) \({8}\) > \({5\sqrt{2}}\)

• Comparăm două numere pozitive. Unul este natural, celălalt este irațional (\({8}\) este natural, \({5\sqrt{2}}\) este irațional).


• Ne amintim că \({a < b \Longrightarrow\sqrt{a} < \sqrt{b} }\)



sau \({a > b \Longrightarrow\sqrt{a} > \sqrt{b} }\)




unde \({a, b \; \text{numere} \; \text{strict} \; \text{pozitive}}\)



• Observăm că \({5\sqrt{2}}\) are factorul \({5}\) în fața radicalului. Îl vom introduce sub radical.



\({5\sqrt{2}=\sqrt{5^2 \cdot 2}}\)




\({\textcolor{white}{5\sqrt{2}}=\sqrt{25 \cdot 2}}\)




\({\textcolor{white}{5\sqrt{2}}=\sqrt{50}}\)



• Acum avem de comparat numerele \({8}\) și \({\sqrt{50}}\).


• Îl scriem pe \({8}\) sub formă de radical:


• \({8^2=64}\)


• \({8=\sqrt{8^2}=\sqrt{64}}\)


• Acum avem de comparat numerele \({\sqrt{64}}\) și \({\sqrt{50}}\).


• Comparăm numerele de sub radicali:



\({64 > 50 }\)




Rezultă că \({\sqrt{64} > \sqrt{50}}\), adică \({8 > 5\sqrt{2}}\)

f) \({\sqrt{7}}\) > \({\sqrt{3}}\)

• Comparăm doi radicali. Ambele numere sunt pozitive.


• Ne amintim că \({a < b \Longrightarrow\sqrt{a} < \sqrt{b} }\)



sau \({a > b \Longrightarrow\sqrt{a} > \sqrt{b} }\)




unde \({a, b \; \text{numere} \; \text{strict} \; \text{pozitive}}\)



• Observăm că nu avem factori scoși în fața radicalului; de aceea, vom compara numerele de sub radicali. Sensul inegalității rămâne același:



\({7 > 3}\)




Rezultă că \({\sqrt{7} > \sqrt{3}}\)

g) \({\sqrt{11}}\) < \({2\sqrt{5}}\)

• Comparăm doi radicali. Ambele numere sunt pozitive.


• Ne amintim că \({a < b \Longrightarrow\sqrt{a} < \sqrt{b} }\)



sau \({a > b \Longrightarrow\sqrt{a} > \sqrt{b} }\)




unde \({a, b \; \text{numere} \; \text{strict} \; \text{pozitive}}\)



• Observăm că \({2\sqrt{5}}\) are un factor scos de sub radical. Îl introducem sub radical și obținem:



\({2\sqrt{5}=\sqrt{2^2 \cdot 5}}\)




\({\textcolor{white}{2\sqrt{5}}=\sqrt{4 \cdot 5}}\)




\({\textcolor{white}{2\sqrt{5}}=\sqrt{20}}\)



• Avem de comparat numerele \({\sqrt{11}}\) și \({\sqrt{20}}\).



Deoarece \({11 < 20 }\), rezultă că \({\sqrt{11} < \sqrt{20}}\).



• Am obținut că \({\sqrt{11}< 2\sqrt{5}}\).

h) \({6\sqrt{5}}\) > \({8\sqrt{2}}\)

• Comparăm doi radicali. Ambele numere sunt pozitive.


• Observăm că ambele numere au factori scoși de sub radicali. Îi introducem sub radicali și obținem:



\({6\sqrt{5}=\sqrt{6^2 \cdot 5}}\)




\({\textcolor{white}{6\sqrt{5}}=\sqrt{36 \cdot 5}}\)




\({\textcolor{white}{6\sqrt{5}}=\sqrt{180}}\)





\({8\sqrt{2}=\sqrt{8^2 \cdot 2}}\)




\({\textcolor{white}{8\sqrt{2}}=\sqrt{64 \cdot 2}}\)




\({\textcolor{white}{8\sqrt{2}}=\sqrt{128}}\)



• Ne amintim că \({a < b \Longrightarrow\sqrt{a} < \sqrt{b} }\)



sau \({a > b \Longrightarrow\sqrt{a} > \sqrt{b} }\)




unde \({a, b \; \text{numere} \; \text{strict} \; \text{pozitive}}\)



• Avem de comparat numerele \({\sqrt{180}}\) și \({\sqrt{128}}\).



Deoarece \({180 > 128 }\), rezultă că \({\sqrt{180} > \sqrt{128}}\).



• Am obținut că \({6\sqrt{5}> 8\sqrt{2}}\).

i) \({\sqrt{7}}\) > \({2{,}4}\)

• Comparăm un radical și o fracție zecimală. Ambele numere sunt pozitive.


• Ridicăm ambele numere la pătrat. Ne amintim că \({a^2 < b^2 \Longrightarrow a < b }\)



sau \({a^2 > b^2 \Longrightarrow a > b }\)




unde \({a, b \; \text{numere} \; \text{strict} \; \text{pozitive}}\)



• \({(\sqrt{7})^2 = 7}\)


• \({(2{,}4)^2 = 5{,}76}\)


• Avem de comparat numerele \({7}\) și \({5{,}76}\).



Deoarece \({7 > 5{,}76 }\), rezultă că \({\sqrt{7} > \sqrt{5{,}76}}\).




Am obținut că \({\sqrt{7} > 2{,}4}\).



• Altfel: calculăm \({\sqrt{7}}\).



\({\sqrt{7} \approx 2{,}6}\)




\({2{,}6 > 2{,}4}\)




Rezultă că \({\sqrt{7} > 2{,}4}\)

j) \({-\sqrt{22}}\) < \({-\sqrt{21}}\)

• Avem de comparat două numere negative.


• Le comparam mai întâi ca și cum ar fi pozitive, stabilim relația de inegalitate dintre ele, apoi înmulțim cu \({(-1) }\). Sensul inegalității se va schimba.


• Comparam mai întâi \({\sqrt{22}}\) și \({\sqrt{21}}\).


• Ne amintim că \({a < b \Longrightarrow\sqrt{a} < \sqrt{b} }\)



sau \({a > b \Longrightarrow\sqrt{a} > \sqrt{b} }\)




unde \({a, b \; \text{numere} \; \text{strict} \; \text{pozitive}}\)




Deoarece \({22 > 21 }\), rezultă că \({\sqrt{22} > \sqrt{21}}\).




Înmulțim cu \({(-1)}\) și se schimbă sensul inegalității.




\({\sqrt{22} > \sqrt{21} \; \; \; \; \mid \; \cdot \; (-1)}\)




Obținem că \({-\sqrt{22} < -\sqrt{21}}\).

k) \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}\) < \({1{,}769\dots}\)

• Avem de comparat două numere pozitive.


• Observăm că \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}\) este fracție subunitară, adică mai mică decât \({1}\), pentru că numărătorul este mai mic decât numitorul.



\({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} < 1}\)



• Mai observăm că \({1{,}769\dots}\) este mai mare decât \({1}\).



\({1{,}769\dots > 1}\)



• Rezultă că \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} < 1{,}769\dots}\).

l) \({-39{,}84}\) < \({0{,}1579\dots}\)

• Avem de comparat un număr negativ și un număr pozitiv.


• Orice număr negativ este mai mic decât orice număr pozitiv.


• Rezultă că \({-39{,}84 < 0{,}1579\dots}\).