Luăm pe rând fiecare inecuație.

a) \({x \ge 4}\)

• mulțimea soluțiilor inecuației este formată din toate numerele reale mai mari sau egale cu 4;
• scriem \({S=[4,+∞)}\);
• reprezentăm pe axa numerelor reale intervalul \({[4,+∞)}\):

b) \({x \le \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}\)

• mulțimea soluțiilor inecuației este formată din toate numerele reale mai mici sau egale cu numărul \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}\);
• scriem \({S=\left(-∞, \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}\right]}\);
• reprezentăm pe axa numerelor reale intervalul \({\left(-∞, \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}\right]}\):

c) \({-x \le 2}\)

• necunoscuta \({x}\) are coeficientul \({-1}\);
• termenii sunt separați, cei care-l conțin pe \({x}\) într-un membru al inecuației, termenii liberi în celălalt membru;
• cum facem ca de la \({-x}\) să obținem \({x}\)?
• vom împărți ambii membri ai inecuației cu coeficientul lui \({x}\) (într-un membru al inegalității trebuie să ajungem să-l avem doar pe \({x}\), cu coeficientul 1) ;
• împărțim ambii membri ai inecuației cu \({-1}\);
• când împărțim (sau înmulțim) o inecuație cu un număr negativ, se schimbă sensul inegalității; în cazul nostru, \({\le}\) devine \({ \ge}\);



\({-x \le 2 \; \textcolor{#eb05aa}{\mid \; : \; (-1)}}\)

\({-x: (-1) \textcolor{#eb05aa}{\ge} 2 : (-1)}\)

\({x \ge -2}\)

• mulțimea soluțiilor inecuației este formată din toate numerele reale mai mari sau egale cu numărul \({-2}\);
• scriem \({S=[-2, +∞)}\);
• reprezentăm pe axa numerelor reale intervalul \({[-2, +∞)}\):

d) \({-3x > -4}\)

• necunoscuta \({x}\) are coeficientul \({-3}\);
• termenii sunt separați, cei care-l conțin pe \({x}\) într-un membru al inecuației, termenii liberi în celălalt membru;
• cum facem ca de la \({-3x}\) să obținem \({x}\)?
• vom împărți ambii membri ai inecuației cu coeficientul lui \({x}\) (într-un membru al inegalității trebuie să ajungem să-l avem doar pe \({x}\), cu coeficientul 1) ;
• împărțim ambii membri ai inecuației cu \({-3}\);
• când împărțim (sau înmulțim) o inecuație cu un număr negativ, se schimbă sensul inegalității; în cazul nostru, \({>}\) devine \({ <}\);



\({-3x > -4 \; \textcolor{#eb05aa}{\mid \; : \; (-3)}}\)

\({-3x: (-3) \textcolor{#eb05aa}{<} -4 : (-3)}\)

\({x < \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3}}\)

• mulțimea soluțiilor inecuației este formată din toate numerele reale mai mici decât numărul \({\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3}}\);
• scriem \({S=\left(-∞, \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3}\right)}\);
• reprezentăm pe axa numerelor reale intervalul \({\left(-∞, \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3}\right)}\):

e) \({-x-1 \le 0}\)

Varianta 1:

• îl trecem pe \({-x}\) în celălalt membru, cu semn schimbat; devine \({+x}\);
• obținem:



\({-1 \le x}\)

adică \({x \ge -1}\)

Varianta 2:

• îl trecem pe \({-1}\) în celălalt membru, cu semn schimbat; devine \({+1}\);



\({-x \le 1}\)

• împărțim ambii membri ai ecuației cu \({-1}\);
• când înmulțim sau împărțim o inecuație cu un număr negativ, se schimbă sensul inegalității; în cazul nostru, \({\le}\) devine \({\ge}\);



\({x \ge -1}\)

Mulțimea soluțiilor inecuației este formată din toate numerele reale mai mari sau egale cu numărul \({-1}\).

Scriem \({S=[-1,+∞)}\).

Reprezentăm pe axa numerelor reale intervalul \({[-1,+∞)}\):

f) \({x+2 \ge -2}\)

• separăm termenii, într-un membru cei care conțin necunoscuta, în celălalt membru termenii liberi;
• pe \({+2}\) îl trecem în celălalt membru, cu semn schimbat (devine \({-2}\));



\({x \ge -2-2}\)

\({x \ge -4}\)

• mulțimea soluțiilor inecuației este formată din toate numerele reale mai mari sau egale cu \({-4}\);
• scriem \({S=[-4, +∞)}\);
• reprezentăm pe axa numerelor reale intervalul \({[-4, +∞)}\):

g) \({x-3 \le 1}\)

• separăm termenii, într-un membru cei care conțin necunoscuta, în celălalt membru termenii liberi;
• pe \({-3}\) îl trecem în celălalt membru, cu semn schimbat (devine \({+3}\));



\({x \le 1+3}\)

\({x \le 4}\)

• mulțimea soluțiilor inecuației este formată din toate numerele reale mai mici sau egale cu \({4}\);
• scriem \({S=(-∞, 4]}\);
• reprezentăm pe axa numerelor reale intervalul \({(-∞, 4]}\):

h) \({2x+2 \ge -3}\)

• separăm termenii, într-un membru cei care conțin necunoscuta, în celălalt membru termenii liberi;
• pe \({+2}\) îl trecem în celălalt membru, cu semn schimbat (devine \({-2}\));



\({2x \ge -3-2}\)

\({2x \ge -5}\)

• împărțim ambii membri ai inecuației cu \({2}\) (cu coeficientul lui \({x}\));



\({2x \ge -5 \; \mid \; : \;2}\)

\({x \ge -\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2}}\)

• mulțimea soluțiilor inecuației este formată din toate numerele reale mai mari sau egale cu \({-\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2}}\);
• scriem \({S=\left[-\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2}, +∞\right)}\);
• reprezentăm pe axa numerelor reale intervalul \({\left[-\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2}, +∞\right)}\):

Semnul \({\Longleftrightarrow}\) înseamnă „echivalent cu” și se folosește atunci când două enunțuri au aceeași semnificație.

Semnul \({\cancel\Longleftrightarrow}\) înseamnă „nu este echivalent cu” și se folosește atunci când două enunțuri nu au aceeași semnificație.

I. a) \({x \le 3 \Longleftrightarrow x \in [3, +∞)}\) F (fals)

• \({x \le 3 }\) înseamnă toate numerele reale mai mici sau egale cu 3;
• \({x \in [3, +∞)}\) înseamnă toate numerele reale mai mari sau egale cu 3;
• rezultă că cele două propoziții nu sunt echivalente, deci afirmația este falsă.

b) \({-2x >7 \Longleftrightarrow x \in \left(-\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 2}, +∞\right)}\) F (fals)

• rezolvăm inecuația \({-2x >7 }\):

Împărțim ambii membri cu coeficientul lui \({x }\), deci cu \({-2}\).

Când înmulțim sau împărțim o inecuație cu un număr negativ, se schimbă sensul inegalității; în cazul nostru, \({>}\) devine \({<}\).

\({-2x >7 \; \; \textcolor{#eb05aa}{\mid \; :\; (-2)}}\):

\({x \textcolor{#eb05aa}{<}-\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 2}}\)

• \({x <-\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 2}}\) înseamnă toate numerele reale mai mici decât \({-\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 2}}\);
• \({ x \in \left(-\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 2}, +∞\right)}\) înseamnă toate numerele reale mai mari decât \({-\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 2}}\);
• rezultă că cele două propoziții nu sunt echivalente, deci afirmația este falsă.

c) \({-3x >1 \cancel\Longleftrightarrow x > -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} }\) A (adevărat)

• rezolvăm inecuația \({-3x >1 }\):

Împărțim ambii membri cu coeficientul lui \({x }\), deci cu \({-3}\).

Când înmulțim sau împărțim o inecuație cu un număr negativ, se schimbă sensul inegalității; în cazul nostru, \({>}\) devine \({<}\).

\({-3x >1 \; \; \textcolor{#eb05aa}{\mid \; :\; (-3)}}\)

\({x \textcolor{#eb05aa}{<}-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}}\)

• \({x <-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}}\) înseamnă toate numerele reale mai mici decât \({-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}}\);
• \({ x > -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} }\) înseamnă toate numerele reale mai mari decât \({-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}}\);
• rezultă că cele două propoziții nu sunt echivalente, deci afirmația este adevărată.

d) \({x-7 \le 8 \Longleftrightarrow x \le 8-7 \Longleftrightarrow x \le 1 }\) F (fals)

• rezolvăm inecuația \({x-7 \le 8 }\):

Îl trecem pe \({-7}\) în celălalt membru, cu semn schimbat, deci devine \({+7}\).

Obținem:

\({x \le 8+7 }\)

Rezultă că prima propoziție nu este echivalentă cu a doua propoziție, deci afirmația este falsă.

• am rezolvat cerința;
• din curiozitate, continuăm cu rezolvarea inecuației, să vedem ce soluții are;

\({x \le 8+7 }\)

\({x \le 15 }\)

• rezultă că soluțiile inecuației sunt toate numerele reale mai mici sau egale cu 15;
• scriem mulțimea soluțiilor astfel: \({S=(-∞,15]}\).

e) \({-5 \ge -x \Longleftrightarrow x \le 5 }\) F (fals)

• rezolvăm inecuația \({-5 \ge -x }\):

Împărțim ambii membri cu coeficientul lui \({x }\), deci cu \({-1}\).

Când înmulțim sau împărțim o inecuație cu un număr negativ, se schimbă sensul inegalității; în cazul nostru, \({\ge}\) devine \({\le}\).

\({-5 \ge -x \; \; \textcolor{#eb05aa}{\mid \; :\; (-1)}}\)

\({(-5):(-1) \textcolor{#eb05aa}{\le} (-x):(-1)}\)

\({5 \le x}\)

adică \({x \ge 5}\)

• primul enunț \({-5 \ge -x }\) înseamnă toate numerele reale mai mari sau egale cu 5
• \({x \le 5}\) înseamnă toate numerele reale mai mici sau egale cu 5
• rezultă că cele două enunțuri nu sunt echivalente, deci afirmația este falsă.

II. O afirmație formată din două sau mai multe enunțuri legate prin cuvântul „și” este adevărată doar dacă toate enunțurile sunt adevărate.

a') Numărul \({-7}\) este soluție a inecuației \({x+2 \ge -4}\), cu \({x \in ℤ}\) F (fals)

• mai întâi, ne uităm la domeniul de definiție al lui \({x}\)

\({x \in ℤ}\), deci \({x}\) este număr întreg

• numărul \({-7}\) este întreg, deci prima condiție este îndeplinită;
• avem două variante:

➤ rezolvăm inecuația și cercetăm dacă \({-7}\) aparține mulțimii soluțiilor

sau

➤ îl înlocuim pe \({x}\) cu \({-7}\) în inecuație; dacă obținem o afirmație adevărată, atunci \({-7}\) este soluție a inecuației.

• este mai ușor să-l înlocuim pe \({x}\) cu \({-7}\) în inecuație:

\({x+2 \ge -4}\)

\({-7+2 \ge -4}\)

\({-5 \ge -4}\) ✘ (fals)

• am obținut că \({-7}\) nu este soluție a inecuației \({x+2 \ge -4}\)

b') Numerele \({1}\) și \({2}\) sunt soluții ale inecuației \({x-2 \le 0}\), cu \({x \in ℕ}\) A (adevărat)

• mai întâi, ne uităm la domeniul de definiție al lui \({x}\)

\({x \in ℕ}\), deci \({x}\) este număr natural

• numerele \({1}\) și \({2}\) sunt naturale, deci prima condiție este îndeplinită;
• avem două variante:

➤ rezolvăm inecuația și cercetăm dacă \({1}\) și \({2}\) aparțin mulțimii soluțiilor

sau

➤ îl înlocuim pe rând pe \({x}\) cu \({1}\) și \({2}\) în inecuație; dacă obținem afirmații adevărate, atunci numerele \({1}\) și \({2}\) sunt soluții ale inecuației.

pentru ca afirmația să fie adevărată, este necesar ca ambele numere să fie soluții ale inecuației date

• rezolvăm inecuația \({x-2 \le 0}\)

îl trecem pe \({-2}\) în membrul drept, cu semn schimbat; devine \({+2}\)

\({x \le 2}\)

• am obținut că soluțiile inecuației \({x-2 \le 0}\) sunt toate numerele reale mai mici sau egale cu 2; numerele \({1}\) și \({2}\) sunt în această mulțime, deci sunt soluții ale inecuației date.

\({1 \le 2}\) adevărat

\({2 \le 2}\) adevărat

c') Numerele \({4}\), \({6}\) și \({8}\) sunt soluții ale inecuației \({x-3 < 3}\), cu \({x \in ℕ}\) F (fals)

• mai întâi, ne uităm la domeniul de definiție al lui \({x}\)

\({x \in ℕ}\), deci \({x}\) este număr natural

• numerele \({4}\), \({6}\) și \({8}\) sunt naturale, deci prima condiție este îndeplinită;
• avem două variante:

➤ rezolvăm inecuația și cercetăm dacă \({4}\), \({6}\) și \({8}\) aparțin mulțimii soluțiilor

sau

➤ îl înlocuim pe rând pe \({x}\) cu \({4}\), \({6}\) și \({8}\) în inecuație; dacă obținem afirmații adevărate, atunci numerele \({4}\), \({6}\) și \({8}\) sunt soluții ale inecuației.

pentru ca afirmația să fie adevărată, este necesar ca toate cele trei numere să fie soluții ale inecuației date

• rezolvăm inecuația \({x-3 < 3}\)

îl trecem pe \({-3}\) în membrul drept, cu semn schimbat; devine \({+3}\)

\({x < 3+3}\)

\({x < 6}\)

• am obținut că soluțiile inecuației \({x-3 < 3}\) sunt toate numerele reale mai mici decât 6; doar numărul \({4}\) îndeplinește această condiție, \({6}\) și \({8}\) nu îndeplinesc condiția



\({4 < 6}\) adevărat, deci \({4}\) este soluție a inecuației date

\({6 < 6}\) fals, deci \({6}\) nu este soluție a inecuației date

\({8 < 6}\) fals, deci \({8}\) nu este soluție a inecuației date

• rezultă că afirmația este falsă.

d') Numerele \({0}\) și \({1}\) sunt soluții ale inecuației \({2x \ge 1}\), cu \({x \in ℝ^*}\) F (fals)

• mai întâi, ne uităm la domeniul de definiție al lui \({x}\)

\({x \in ℝ^*}\), deci \({x}\) este număr real diferit de \({0}\)

• înseamnă că \({0}\) nu este soluție a inecuației date, deci afirmația este falsă

pentru ca afirmația să fie adevărată, este necesar ca ambele numere să fie soluții ale inecuației date

e') Numerele \({-2}\) și \({-1}\) nu sunt soluții ale inecuației \({3x +2 < 0}\), cu \({x \in ℕ}\) A (adevărat)

• mai întâi, ne uităm la domeniul de definiție al lui \({x}\)

\({x \in ℕ}\), deci \({x}\) este număr natural

• numerele \({-2}\) și \({-1}\) nu sunt numere naturale, deci nu sunt soluții ale inecuației date;
• rezultă că afirmația este adevărată.

Varianta 1:

• în inecuație, îl înlocuim pe \({x}\) pe rând cu fiecare element al mulțimii; dacă obținem o afirmație adevărată, atunci numărul respectiv este soluție a inecuației;

Varianta 2:

• rezolvăm inecuația;
• cercetăm care dintre elementele mulțimii date aparțin și mulțimii soluțiilor inecuației.

I. Rezolvăm inecuația \({x+5 < 3 }\).

• separăm termenii, astfel: pe cei care conțin necunoscuta într-un membru al inecuației, iar termenii liberi în celălalt membru;
• îl trecem pe \({+5 }\) în membrul drept, cu semn schimbat; devine \({-5 }\)

\({x < 3-5 }\)

\({x < -2 }\)

• mulțimea soluțiilor inecuației este formată din toate numerele reale mai mici decât \({-2 }\)
• scriem \({S=(-∞, -2)}\)
• cercetăm elementele mulțimii \({A= \{ -3; 0;\; 1{,5}; \; 4; 10; 15 \} }\); doar \({-3}\) este mai mic decât \({-2 }\)

\({-3 < -2 }\) adevărat

\({0 < -2 }\) fals

\({1{,5} < -2 }\) fals

\({4 < -2 }\) fals

\({10 < -2 }\) fals

\({15 < -2 }\) fals

• rezultă că, dintre elementele mulțimii \({A= \{ -3; 0;\; 1{,5};\; 4; 10; 15 \} }\), doar \({-3}\) este soluție a inecuației date.

II. Rezolvăm inecuația \({x-7 \ge 5 }\).

• separăm termenii, astfel: pe cei care conțin necunoscuta într-un membru al inecuației, iar termenii liberi în celălalt membru;
• îl trecem pe \({-7 }\) în membrul drept, cu semn schimbat; devine \({+7 }\)

\({x \ge 5+7 }\)

\({x \ge 12 }\)

• mulțimea soluțiilor inecuației este formată din toate numerele reale mai mari sau egale cu \({12 }\)
• scriem \({S=[12,+∞)}\)
• cercetăm elementele mulțimii \({B= \{ -8; -7; \; -1{,2}; \; 0; 7; 21 \} }\); doar \({21}\) este mai mare sau egal cu \({12 }\)

\({-8 \ge 12 }\) fals

\({-7 \ge 12 }\) fals

\({-1{,2} \ge 12 }\) fals

\({0 \ge 12 }\) fals

\({7 \ge 12 }\) fals

\({21 \ge 12 }\) adevărat

• rezultă că, dintre elementele mulțimii \({B= \{ -8; -7; \; -1{,2};\; 0; 7; 21 \} }\), doar \({21}\) este soluție a inecuației date.

III. Rezolvăm inecuația \({4x+1 \le 0}\).

• separăm termenii, astfel: pe cei care conțin necunoscuta într-un membru al inecuației, iar termenii liberi în celălalt membru;
• îl trecem pe \({+1 }\) în membrul drept, cu semn schimbat; devine \({-1 }\)

\({4x \le 0-1 }\)

\({4x \le -1 }\)

• împărțim ambii membri ai inecuației cu coeficientul lui \({x }\), adică vom împărți cu \({4}\)

\({4x \le -1 \;\;\mid \; : \;4}\)

\({x \le -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}}\)

• mulțimea soluțiilor inecuației este formată din toate numerele reale mai mici sau egale cu \({-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} }\)
• scriem \({S=\left(-∞, -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}\right]}\)
• cercetăm elementele mulțimii \({C= \left\{ -3; -1; -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}; -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}; 0; 1 \right\} }\), să vedem care dintre ele este mai mic sau egal cu \({-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} }\):

\({-3 \le -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}}\) adevărat

\({-1 \le -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} }\) adevărat

\({-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} \le -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} }\) adevărat

\({-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} \le -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} }\) adevărat

\({0 \le -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} }\) fals

\({1 \le -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} }\) fals


• rezultă că, dintre elementele mulțimii \({C= \left\{ -3; -1; -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}; -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}; 0; 1 \right\} }\), numerele \({-3}\), \({-1}\), \({-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}}\) și \({-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}}\) sunt soluții ale inecuației date.