Luăm pe rând fiecare inecuație.

• inecuația \({3x-4 \ge 0 }\):


• necunoscuta este \({x}\);
• coeficientul lui \({x}\) este \({a=3}\);
• termenul liber este \({b=-4}\).


• inecuația \({-y+5 \le 0 }\):


• necunoscuta este \({y}\);
• coeficientul lui \({y}\) este \({a=-1}\);
• termenul liber este \({b=5}\).


• inecuația \({2+3z \ge 0 }\):


• necunoscuta este \({z}\);
• coeficientul lui \({z}\) este \({a=3}\);
• termenul liber este \({b=2}\).



• inecuația \({-w \le 0 }\):


• necunoscuta este \({w}\);
• coeficientul lui \({w}\) este \({a=-1}\);
• termenul liber este \({b=0}\).



Inecuația \({ax+b \le 0}\)	Necunoscuta	\({a}\)	\({b}\)
\({3x-4 \ge 0}\)	\({x}\)	3	-4
\({-y+5 \le 0}\)	\({y}\)	-1	5
\({2+3z \ge 0}\)	\({z}\)	3	2
\({-w \le 0}\)	\({w}\)	-1	0

Pentru ca un număr să fie soluție a unei inecuații, el trebuie să îndeplinească două condiții în același timp:

• numărul să fie în mulțimea căreia îi aparține necunoscuta \({x}\);
• dacă prima condiție este îndeplinită, atunci îl înlocuim pe \({x}\) în inecuație și efectuăm calculele; dacă obținem o afirmație adevărată, atunci numărul respectiv este soluție a inecuației date.
• sau putem rezolva inecuația, îi stabilim mulțimea soluțiilor și apoi cercetăm dacă numărul propus aparține acestei mulțimi.

Considerăm că \({x}\) este număr real, dacă nu se precizează altfel în enunț.

I. Verificăm dacă \({x=-2}\) este soluție a inecuației \({2x+4 \le 3}\), unde \({x \in ℕ}\).

• în enunț se precizează că \({x \in ℕ}\), deci \({x}\) este număr natural;
• \({-2}\) nu este număr natural, deci nu poate fi soluție a inecuației date;
• nu are rost să-l mai înlocuim pe \({x}\) cu \({-2}\) în inecuație.

II. Verificăm dacă \({x=-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\) este soluție a inecuației \({x-1 < 1}\).

• considerăm că \({x}\) este număr real, pentru că în enunț nu se precizează;
• \({-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\) este număr real, deci prima condiție este îndeplinită;
• îl înlocuim pe \({x}\) cu \({-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\) în inecuația \({x-1 < 1}\):
• \({-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}-1 < 1}\)


• \({-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}-\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 2} < 1}\)


• \({-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2} < 1}\) - adevărat


• rezultă că \({-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\) este soluție a inecuației \({x-1 < 1}\).

III. Verificăm dacă \({x=0}\) este soluție a inecuației \({-x+2 \le -2}\), unde \({x \in ℤ}\).

• în enunț se precizează că \({x \in ℤ}\), deci \({x}\) este număr întreg;
• \({0}\) este număr întreg, deci prima condiție este îndeplinită;
• îl înlocuim pe \({x}\) cu \({0}\) în inecuația \({-x+2 \le -2}\):
• \({-0+2 \le -2}\)


• \({2 \le -2}\) fals


• rezultă că \({0}\) nu este soluție a inecuației \({-x+2 \le -2}\).

I. Dublul numărului real \({x}\) este mai mic sau egal cu 12.

a) Scriem datele problemei sub formă de inecuație.

• dublul unui număr - înseamnă că vom înmulți numărul cu 2, deci vom avea \({2x}\)


• problema scrisă sub formă de inecuație este:



\({2x \le 12}\), unde \({x \in ℝ}\)

b) Rezolvăm inecuația.

• \({2x \le 12 \;\;\; \mid :2}\)

împărțim ambii membri ai inecuației cu coeficientul lui \({x}\), adică cu 2

• \({x \le 6}\)
• deoarece \({x}\) este număr real, înseamnă că mulțimea soluțiilor inecuației date este un interval
• mulțimea soluțiilor este \({S= (-∞, 6]}\)
• orice număr real mai mic sau egal cu 6 este soluție a inecuației
• de exemplu, îl considerăm pe \({x}\) egal cu \({-3}\); îl dublăm, adică îl înmulțim cu 2, și obținem \({-6}\), care este mai mic decât \({12}\); deci am obținut o afirmație adevărată.

Verificăm pentru \({x=-3}\)

\({2 \cdot (-3)=-6 \le 12}\) adevărat

c) Reprezentăm mulțimea soluțiilor pe axa numerelor (reprezentăm pe axa numerelor intervalul \({(-∞, 6]}\)).

II. Opusul triplului numărului întreg \({x}\) este mai mare decât 8.

a') Scriem datele problemei sub formă de inecuație.

• opusul unui număr real (deci și întreg) \({x}\) este \({-x}\)
• triplul unui număr - înseamnă că vom înmulți numărul cu 3
• opusul triplului numărului întreg \({x}\) este \({-3x}\)
• problema scrisă sub formă de inecuație este:



\({-3x > 8}\), unde \({x \in ℤ}\)

b') Rezolvăm inecuația.

• \({-3x > 8 \;\;\; \mid :(-3)}\)

împărțim ambii membri ai inecuației cu coeficientul lui \({x}\), adică cu \({-3}\)

atunci când împărțim sau înmulțim ambii membri ai inecuației cu un număr negativ, se schimbă sensul inegalității (semnul > devine <)

• \({x < -\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 3}}\)
• deoarece \({x}\) este număr întreg, înseamnă că mulțimea soluțiilor inecuației date nu este un interval
• mulțimea soluțiilor este \({S= \left\{ x \in ℤ \mid x < -\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 3} \right\}}\)
• toate numerele întregi mai mici decât \({ -\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 3}}\) sunt soluții ale inecuației date
• de exemplu, îl considerăm pe \({x}\) egal cu \({-3}\) (acesta este cel mai mare număr întreg mai mic decât \({ -\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 3}}\)); îl triplăm, adică îl înmulțim cu 3, și obținem \({-9}\); opusul lui \({-9}\) este \({9}\), care este mai mare decât \({8}\); deci am obținut o afirmație adevărată.

Verificăm pentru \({x=-3}\)

\({(-3) \cdot (-3)=9>8}\) adevărat

c') Nu putem reprezenta grafic mulțimea soluțiilor acestei ecuații.

Mulțimea soluțiilor inecuației nu este un interval; ea este o mulțime infinită, deci nu o putem reprezenta grafic (cuprinde toate numerele întregi mai mici sau egale cu \({-3}\); putem vedea mai jos de ce \({-3}\) este cel mai mare număr întreg mai mic decât \({ -\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 3}}\)).

III. Fie \({x}\) un număr real pozitiv. Dacă adunăm 1 la jumătate din numărul \({x}\), obținem un număr mai mic sau egal cu 3.

a'') Scriem datele problemei sub formă de inecuație.

• jumătatea lui \({x}\) este \({\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2}}\)
• problema scrisă sub formă de inecuație este:



\({\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2} +1 \le 3}\), unde \({x \in ℝ_+}\)

b'') Rezolvăm inecuația.

• \({\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2} +1 \le 3}\)

îl trecem pe \({+1}\) în membrul drept, cu semn schimbat (devine \({-1}\))

• \({\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2} \le 3-1}\)


• \({\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2} \le 2 \;\;\; \mid \cdot \; 2}\)

înmulțim ambii membri ai inecuației cu \({2}\) (cu numitorul fracției)

• \({\cancel{2} \cdot \frac{\displaystyle x}{\displaystyle \cancel{2}} \le 2 \cdot 2}\)
• \({x \le 4}\)
• știm că \({x}\) este un număr real pozitiv (din enunț)
• înseamnă că soluțiile ecuației sunt toate numerele reale pozitive mai mici sau egale cu 4
• mulțimea soluțiilor este \({S= [0,4]}\)
• de exemplu, îl considerăm pe \({x}\) egal cu \({2}\); jumătatea lui \({2}\) este \({1}\); adunăm \({1}\) și obținem \({2}\), care este mai mic decât \({3}\); deci am obținut o afirmație adevărată.

Verificăm pentru \({x=2}\)

\({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 2} + 1=1+1=2 \le 3}\) adevărat

c'') Reprezentăm grafic mulțimea soluțiilor acestei ecuații.

Vrem să separăm termenii inecuației, astfel:

• într-un membru să avem termenii care-l conțin pe \({x}\), iar în celălalt membru să avem termenii liberi (care nu-l conțin pe \({x}\))
• de aceea, îl trecem pe \({-2}\) în celălalt membru, cu semn schimbat (devine \({+2}\))

Obținem:

\({x \ge 3+2}\)

\({x \ge 5}\)

A rezolva inecuația într-o mulțime \({A}\) înseamnă ca din mulțimea numerelor care verifică inecuația, să le alegem doar pe cele care sunt incluse și în mulțimea \({A}\).

a) Deoarece mulțimea de definiție a lui \({x}\) este mulțimea numerelor reale, înseamnă că orice număr real mai mare sau egal decât 5 este soluție a inecuației (mulțimea soluțiilor este un interval).

Mulțimea soluțiilor inecuației date este \({S= [5,+∞)}\). Reprezentăm acest interval pe axa numerelor reale:

b) Dintre toate numerele reale mai mari sau egale cu 5, le vom alege doar pe cele care sunt în domeniul de definiție al lui \({x}\), adică pe cele care sunt și în intervalul \({M=[1,7)}\).

Scriem mulțimea \({S}\) a soluțiilor:

\({S= \{x \in [1,7)\; \mid \; x\ge 5 \}}\)

\({S= [1,7) \cap [5,+∞) }\)

Intersecția celor două intervale este intervalul \({[5,7)}\):

\({S= [5,7)}\)

Reprezentăm mulțimea \({S}\) pe axa numerelor reale:

c) Dintre toate numerele reale mai mari sau egale cu 5, le vom alege doar pe cele care sunt în domeniul de definiție al lui \({x}\), adică pe cele care sunt și numere naturale.

Scriem mulțimea \({S}\) a soluțiilor:

\({S= \{x \in ℕ\; \mid \; x\ge 5 \}}\)

\({S= \{5, 6, 7, 8, 9, ...\}}\)

Nu putem reprezenta pe axa numerelor o astfel de mulțime, pentru că nu este interval și este infinită.