I.

• a) Numărul \({-1}\) este soluție a ecuației \({-x^2+x=0}\) F (fals)



În ecuația \({-x^2+x=0}\) îl înlocuim pe \({x}\) cu \({-1}\); obținem:

\({-(-1)^2+(-1)=-1-1=-2\neq 0 }\)

Rezultă că numărul \({-1}\) nu este soluție a ecuației \({-x^2+x=0}\).



• b) Numărul \({2}\) este soluție a ecuației \({x^2-2x+1=0}\) F (fals)



În ecuația \({x^2-2x+1=0}\) îl înlocuim pe \({x}\) cu \({2}\); obținem:

\({2^2-2 \cdot 2 + 1 = 4-4+1=1\neq 0 }\)

Rezultă că numărul \({2}\) nu este soluție a ecuației \({x^2-2x+1=0}\).



• c) Soluțiile ecuației \({x^2-x-6=0}\) sunt \({-2}\) și \({3}\) A (adevărat)



Rezolvăm ecuația \({x^2-x-6=0}\):

• \({a=1}\)
• \({b=-1}\)
• \({c=-6}\)
• \({x_{1{,}2} = \frac{\displaystyle -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{\displaystyle 2a}}\)



\({\textcolor{white}{x_{1{,}2}} = \frac{\displaystyle -(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4 \cdot 1 \cdot (-6)} }{\displaystyle 2 \cdot 1}}\)

\({\textcolor{white}{x_{1{,}2}} = \frac{\displaystyle 1 \pm \sqrt{1+24} }{\displaystyle 2}}\)

\({\textcolor{white}{x_{1{,}2}} = \frac{\displaystyle 1 \pm \sqrt{25} }{\displaystyle 2}}\)

\({\textcolor{white}{x_{1{,}2}} = \frac{\displaystyle 1 \pm 5 }{\displaystyle 2}}\)

• \({x_{1} = \frac{\displaystyle 1+ 5 }{\displaystyle 2}}\)



\({\textcolor{white}{x_{1}} = \frac{\displaystyle 6 }{\displaystyle 2}}\)

\({\textcolor{white}{x_{1}} = 3}\)



• \({x_{2} = \frac{\displaystyle 1- 5 }{\displaystyle 2}}\)



\({\textcolor{white}{x_{2}} = \frac{\displaystyle -4 }{\displaystyle 2}}\)

\({\textcolor{white}{x_{2}} = -2}\)

Rezultă că soluțiile ecuației \({x^2-x-6=0}\) sunt \({3}\) și \({-2}\).



• d) Soluțiile ecuației \({3x^2+2x-8=0}\) sunt \({0}\) și \({-2}\) F (fals)



O metodă este să rezolvăm ecuația \({3x^2+2x-8=0}\) și apoi să comparăm soluțiile obținute cu cele date în enunț. Dacă ambele soluții corespund cu cele date, atunci afirmația din enunț este adevărată.

Altă metodă este să-l înlocuim pe \({x}\) mai întâi cu \({0}\), apoi cu \({-2}\). Dacă obținem propoziții adevărate, înseamnă că afirmația din enunț este adevărată.

Îl înlocuim pe \({x}\) cu \({0}\) în ecuația \({3x^2+2x-8=0}\).

\({3\cdot 0^2+2 \cdot 0-8=0+0-8=-8 \neq 0}\)

Am obținut că 0 nu este soluție a ecuației \({3x^2+2x-8=0}\), deci afirmația din enunț este falsă.






II. Rezolvăm ecuația \({2x^2+4x-6=0}\).

\({x_{1{,}2} = \frac{\displaystyle -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{\displaystyle 2a}}\)




\({\textcolor{white}{x_{1{,}2}} = \frac{\displaystyle -4 \pm \sqrt{4^2-4 \cdot 2 \cdot (-6)} }{\displaystyle 2 \cdot 2}}\)

\({\textcolor{white}{x_{1{,}2}} = \frac{\displaystyle -4 \pm \sqrt{16+48} }{\displaystyle 4}}\)

\({\textcolor{white}{x_{1{,}2}} = \frac{\displaystyle -4 \pm \sqrt{64 }}{\displaystyle 4}}\)

\({\textcolor{white}{x_{1{,}2}} = \frac{\displaystyle -4 \pm 8 }{\displaystyle 4}}\)

\({x_{1} = \frac{\displaystyle -4+ 8 }{\displaystyle 4}}\)




\({\textcolor{white}{x_{1}} = \frac{\displaystyle 4 }{\displaystyle 4}}\)

\({\textcolor{white}{x_{1}} = 1}\)




\({x_{2} = \frac{\displaystyle -4-8 }{\displaystyle 4}}\)




\({\textcolor{white}{x_{2}} = \frac{\displaystyle -12 }{\displaystyle 4}}\)

\({\textcolor{white}{x_{2}} = -3}\)




Am obținut că mulțimea soluțiilor ecuației \({2x^2+4x-6=0}\) este \({S=\{ 1,-3\}}\), deci varianta f) este adevărată.




e) \({S=\{ 1,2\}}\) F (fals)

f) \({S=\{ -3,1\}}\) A (adevărat)

g) \({S=\{ -1,-3\}}\) F (fals)

h) Nici una dintre variantele de mai sus F (fals)






III.

i) Numerele \({0}\) și \({-1}\) sunt soluții ale ecuației \({-x^2-2x-1=0}\) F (fals)

• ecuația \({-x^2-2x-1=0}\) are termenul liber diferit de 0 (\({c=-1}\)); deci 0 nu poate fi soluție a ei



j) Rădăcinile ecuației \({5x^2-5x=0}\) sunt \({1}\) și \({-1}\) F (fals)

• dăm factor comun pe \({5x}\) și obținem \({5x(x-1)=0}\)
• rezultă soluțiile:
• \({x_1=0}\)
• \({x-1=0 \Longrightarrow x_2=1}\)



k) Soluțiile ecuației \({x^2-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}x-1=0}\) sunt \({-2}\) și \({-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\) F (fals)

Rezolvăm ecuația \({x^2-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}x-1=0}\).

\({x_{1{,}2} = \frac{\displaystyle -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{\displaystyle 2a}}\)




\({\textcolor{white}{x_{1{,}2}} = \frac{\displaystyle -\left(-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}\right) \pm \sqrt{\left(-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}\right)^2-4 \cdot 1 \cdot (-1)} }{\displaystyle 2 \cdot 1}}\)

\({\textcolor{white}{x_{1{,}2}} = \frac{\displaystyle \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2} \pm \sqrt{\frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 4}+4} }{\displaystyle 2}}\)

\({\textcolor{white}{x_{1{,}2}} = \frac{\displaystyle \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2} \pm \sqrt{\frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 4}+\frac{\displaystyle 16}{\displaystyle 4} }}{\displaystyle 2}}\)

\({\textcolor{white}{x_{1{,}2}} = \frac{\displaystyle \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2} \pm \sqrt{\frac{\displaystyle 9+16}{\displaystyle 4} }}{\displaystyle 2}}\)

\({\textcolor{white}{x_{1{,}2}} = \frac{\displaystyle \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2} \pm \sqrt{\frac{\displaystyle 25}{\displaystyle 4} }}{\displaystyle 2}}\)

\({\textcolor{white}{x_{1{,}2}} = \frac{\displaystyle \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2} \pm \frac{\sqrt{\displaystyle 25}}{\sqrt{ \displaystyle 4} }}{\displaystyle 2}}\)

\({\textcolor{white}{x_{1{,}2}} = \frac{\displaystyle \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2} \pm \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2} }{\displaystyle 2}}\)




\({x_{1} =\frac{\displaystyle \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2} + \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2} }{\displaystyle 2}}\)




\({\textcolor{white}{x_{1}} = \frac{\displaystyle \frac{\displaystyle 3+5}{\displaystyle 2} }{\displaystyle 2}}\)

\({\textcolor{white}{x_{1}} = \frac{\displaystyle \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 2} }{\displaystyle 2}}\)

\({\textcolor{white}{x_{1}} = \frac{\displaystyle 4 }{\displaystyle 2}}\)

\({\textcolor{white}{x_{1}} = 2}\)




\({x_{2} =\frac{\displaystyle \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2} - \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2} }{\displaystyle 2}}\)




\({\textcolor{white}{x_{1}} = \frac{\displaystyle \frac{\displaystyle 3-5}{\displaystyle 2} }{\displaystyle 2}}\)

\({\textcolor{white}{x_{1}} = \frac{\displaystyle \frac{\displaystyle -2}{\displaystyle 2} }{\displaystyle 2}}\)

\({\textcolor{white}{x_{1}} = \frac{\displaystyle -1 }{\displaystyle 2}}\)

\({\textcolor{white}{x_{1}} = -\frac{\displaystyle 1 }{\displaystyle 2}}\)





Am obținut că soluțiile ecuației \({x^2-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}x-1=0}\) sunt \({2}\) și \({-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\), deci afirmația din enunț este falsă.




l) Opusul numărului \({-2}\) verifică ecuația \({x^2+2x-12=0}\) F (fals)




Opusul unui număr real \({a}\) este \({-a}\). Rezultă că opusul numărului \({-2}\) este numărul \({2}\).

\({-(-2)=2}\)

Verificăm dacă \({2}\) este soluție a ecuației \({x^2+2x-12=0}\). Îl înlocuim pe \({x}\) cu \({2}\).

\({2^2+2 \cdot 2-12=4+4-12=8-12=-4 \neq 0}\)

Rezultă că \({2}\) nu este soluție a ecuației \({x^2+2x-12=0}\), deci afirmația din enunț este falsă.




m) Inversul numărului \({4}\) nu este soluție a ecuației \({-x^2+\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}x-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 8}=0}\) F (fals)




Inversul unui număr real \({a}\) este \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a}}\). Rezultă că inversul numărului \({4}\) este numărul \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}}\).

Verificăm dacă \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}}\) este soluție a ecuației \({-x^2+\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}x-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 8}=0}\). Îl înlocuim pe \({x}\) cu \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}}\).

\({-\left(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}\right)^2+\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 8}=-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 16}+\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 16}-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 8}}\)

\({\textcolor{white}{-\left(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}\right)^2+\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 8}}=\frac{\displaystyle 3-1}{\displaystyle 16}-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 8}}\)

\({\textcolor{white}{-\left(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}\right)^2+\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 8}}=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 16}-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 8}}\)

\({\textcolor{white}{-\left(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}\right)^2+\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 8}}=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 8}-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 8}}\)

\({\textcolor{white}{-\left(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}\right)^2+\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 8}}=0}\)

Am obținut că \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}}\) este soluție a ecuației \({-x^2+\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}x-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 8}=0}\), deci afirmația din enunț este falsă.

• rezolvăm ecuația A.



\({3x^2+2x-1=0}\)

\({x_{1{,}2} = \frac{\displaystyle -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{\displaystyle 2a}}\)

\({\textcolor{white}{x_{1{,}2}} = \frac{\displaystyle -2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 3 \cdot (-1)} }{\displaystyle 2 \cdot 3}}\)

\({\textcolor{white}{x_{1{,}2}} = \frac{\displaystyle -2 \pm \sqrt{4+12} }{\displaystyle 6}}\)

\({\textcolor{white}{x_{1{,}2}} = \frac{\displaystyle -2 \pm \sqrt{16} }{\displaystyle 6}}\)

\({\textcolor{white}{x_{1{,}2}} = \frac{\displaystyle -2 \pm 4 }{\displaystyle 6}}\)

\({x_{1} = \frac{\displaystyle -2+4 }{\displaystyle 6}}\)

\({\textcolor{white}{x_{1}} = \frac{\displaystyle 2 }{\displaystyle 6}}\)

\({\textcolor{white}{x_{1}} = \frac{\displaystyle 1 }{\displaystyle 3}}\)

Soluția \({x = \frac{\displaystyle 1 }{\displaystyle 3}}\) este în mulțimea \({S_3}\). Să vedem dacă și \({x = -1}\) este soluție a ecuației.

\({x_{2} = \frac{\displaystyle -2-4 }{\displaystyle 6}}\)

\({\textcolor{white}{x_{2}} = \frac{\displaystyle -6 }{\displaystyle 6}}\)

\({\textcolor{white}{x_{2}} = -1}\)

(altfel: putem să-l înlocuim pe \({x}\) cu \({-1}\) în ecuația \({3x^2+2x-1=0}\); dacă obținem o afirmație adevărată, atunci \({x = -1}\) este soluție a ecuației)




Am obținut că ecuația A are mulțimea soluțiilor \( {S_3=\left \{ -1,\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} \right \}}\).

• ne ocupăm de ecuația B.



\({x^2+2x-8=0}\)

Vom folosi relațiile lui Viète.

\({x^2-Sx+P=0}\)

Rezultă că \({-S=2}\) și \({P=-8}\).

\({S=x_1+x_2=-2}\)

\({P=x_1 \cdot x_2=-8}\)

Observăm elementele mulțimilor \({S_1}\), \({S_2}\), \({S_4}\) și \({S_5}\). Dintre acestea, doar \({S_2=\{2,-4\}}\) se potrivește ecuației \({x^2+2x-8=0}\) pentru că produsul elementelor sale este \({-8}\) \({(2 \cdot (-4)=-8)}\).




Rezultă că ecuația B are mulțimea soluțiilor \( {S_2=\{2,-4\}}\).

• ne ocupăm de ecuația C.



\({x^2-1=0}\)

Vom folosi formula diferenței a două pătrate.

\({x^2-1=(x+1)(x-1)}\)

\({x+1=0 \Longrightarrow x_1=-1}\)

\({x-1=0 \Longrightarrow x_2=1}\)




Rezultă că ecuația C are mulțimea soluțiilor \( {S_1=\{ -1,1\}}\).

• ne ocupăm de ecuația D.



\({x^2+3x=0}\)

Îl dăm factor comun pe \({x}\).

\({x(x+3)=0}\)

\({x_1=0}\)

\({x+3=0 \Longrightarrow x_2=-3}\)




Rezultă că ecuația D are mulțimea soluțiilor \( {S_5=\{ 0,-3\}}\).

• ne ocupăm de ecuația E.



\({x^2+x-2=0}\)




A mai rămas o singură mulțime; rezultă că ecuația E are mulțimea soluțiilor \( {S_4=\{ -2,1\}}\).

Putem verifica prin înlocuire sau putem rezolva ecuația.