Memorator Algebră

clasele 5 - 8

≡ Memorator Algebră

∎ Adunarea și scăderea numerelor reale reprezentate prin litere

Memorator

Exersează ❙ 1 ❙ 2

* * *

Exersează! - 2

❖ Termenii care au aceeași parte literală (aceleași litere cu aceiași exponenți) sunt termeni asemenea.

❖ Cum adunăm sau scădem termenii asemenea: adunăm sau scădem coeficienții și transcriem partea literală (reducem termenii asemenea).

A. Reduceți termenii asemenea:

a) \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}a^2-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}a^2+\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 3}a^2;}\)

b) \({\frac{\displaystyle 12}{\displaystyle 5}x-5x-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}x;}\)

c) \({5{,}2y^2+3{,}8y^2-4{,}3y^2-5{,}7y^2;}\)

d) \({\sqrt{5}x^2+6\sqrt{5}x^2-3\sqrt{5}x^2-6\sqrt{5}x^2;}\)

e) \({xyz+13xyz+6xy-xyz+7xy;}\)

f) \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 9}xy^2-\frac{\displaystyle 13}{\displaystyle 9}xy^2-\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 9}xy^2;}\)

g) \({1{,}6ab+3{,}5ab+2{,}4ab;}\)

h) \({8\sqrt{10}x^2y+3\sqrt{10}x^2y+2\sqrt{10}x^2y-2\sqrt{10}x^2y;}\)

Arată rezolvarea

a) \({\underline{\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}a^2}-\underline{\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}a^2}+\underline{\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 3}a^2}=\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 3}a^2;}\)

toți termenii sunt asemenea (partea literală este \({\textcolor{#1e90ff}{a^2}}\), coeficienții sunt \({\textcolor{#ff4500}{\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}}\), \({\textcolor{#ff4500}{-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 3}}}\));

obținem \({\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 3}a^2}\) pentru că \({\textcolor{#ff4500}{\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}+\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 3}=\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 3}}}\).

b) \({\underline{\frac{\displaystyle 12}{\displaystyle 5}x}-\underline{5x}-\underline{\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}x}=-\frac{\displaystyle 67}{\displaystyle 20}x;}\)

toți termenii sunt asemenea pentru că au aceeași parte literală, egală cu \({\textcolor{#1e90ff}{x}}\); coeficienții sunt \({\textcolor{#ff4500}{\frac{\displaystyle 12}{\displaystyle 5}}}\), \({\textcolor{#ff4500}{-5}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}}}\);

obținem \({-\frac{\displaystyle 67}{\displaystyle 20}x}\) pentru că \({\textcolor{#ff4500}{\frac{\displaystyle 12}{\displaystyle 5}-5-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}=-\frac{\displaystyle 67}{\displaystyle 20}}}\).

\({\frac{\displaystyle 12}{\displaystyle 5}-5-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}=\frac{\displaystyle 12}{\displaystyle 5}-\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 1}-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}}\)

numitorul comun este 20 (5 înmulțit cu 1 înmulțit cu 4); prima fracție o amplificăm cu 4, a doua cu 20 și a treia cu 5

\({\textcolor{white}{\frac{\displaystyle 12}{\displaystyle 5}-5-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}}=\frac{\displaystyle 12 \cdot 4}{\displaystyle 5 \cdot 4}-\frac{\displaystyle 5 \cdot 20}{\displaystyle 1 \cdot 20}-\frac{\displaystyle 3 \cdot 5}{\displaystyle 4 \cdot 5}}\)

\({\textcolor{white}{\frac{\displaystyle 12}{\displaystyle 5}-5-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}}=\frac{\displaystyle 48-100-15}{\displaystyle 20}}\)

\({\textcolor{white}{\frac{\displaystyle 12}{\displaystyle 5}-5-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}}=-\frac{\displaystyle 67}{\displaystyle 20}}\)

c) \({\underline{5{,}2y^2}+\underline{3{,}8y^2}-\underline{4{,}3y^2}-\underline{5{,}7y^2}= -y^2;}\)

toți termenii sunt asemenea pentru că au aceeași parte literală, egală cu \({\textcolor{#1e90ff}{y^2}}\); coeficienții sunt \({\textcolor{#ff4500}{5{,}2}}\), \({\textcolor{#ff4500}{3{,}8}}\), \({\textcolor{#ff4500}{-4{,}3}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-5{,}7}}\);

obținem \({-y^2}\) pentru că \({\textcolor{#ff4500}{5{,}2+3{,}8-4{,}3-5{,}7=-1}}\).

\({5{,}2+3{,}8-4{,}3-5{,}7=9-(4{,}3+5{,}7)=9-10=-1}\)

d) \({\underline{\sqrt{5}x^2} \; \textcolor{red}{\textbf{+}}\; \cancel{\underline{6\sqrt{5}x^2}}-\underline{3\sqrt{5}x^2} \;\textcolor{red}{\textbf{-}} \; \cancel{\underline{6\sqrt{5}x^2}}=-2\sqrt{5}x^2;}\)

toți termenii sunt asemenea pentru că au aceeași parte literală, egală cu \({\textcolor{#1e90ff}{x^2}}\); coeficienții sunt \({\textcolor{#ff4500}{\sqrt{5}}}\), \({\textcolor{#ff4500}{6\sqrt{5}}}\), \({\textcolor{#ff4500}{-3\sqrt{5}}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-6\sqrt{5}}}\);

coeficienții \({\textcolor{#ff4500}{6\sqrt{5}}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-6\sqrt{5}}}\) sunt numere opuse, deci suma lor este zero; îi eliminăm;

obținem \({-2\sqrt{5}x^2}\) pentru că \({\textcolor{#ff4500}{\sqrt{5}-3\sqrt{5}=-2\sqrt{5}}}\).

e) \({\cancel{\underline{xyz}}+\underline{13xyz}+\underline{\underline{6xy}}-\cancel{\underline{xyz}}+\underline{\underline{7xy}}=13xyz+13xy}\)

\({=13xy(z+1)}\)

termenii \({\textcolor{#ff4500}{1} \cdot \textcolor{#1e90ff}{xyz}}\), \({\textcolor{#ff4500}{13}\textcolor{#1e90ff}{xyz}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-1} \cdot \textcolor{#1e90ff}{xyz}}\) sunt asemenea pentru că au aceeași parte literală, egală cu \({\textcolor{#1e90ff}{xyz}}\); coeficienții sunt \({\textcolor{#ff4500}{1}}\), \({\textcolor{#ff4500}{13}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-1}}\);

coeficienții \({\textcolor{#ff4500}{1}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-1}}\) sunt numere opuse, deci suma lor este zero; îi eliminăm;

termenii \({\textcolor{#ff4500}{6}\textcolor{#1e90ff}{xy}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{7}\textcolor{#1e90ff}{xy}}\) sunt asemenea pentru că au aceeași parte literală, egală cu \({\textcolor{#1e90ff}{xy}}\); coeficienții sunt \({\textcolor{#ff4500}{6}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{7}}\);

din termenii asemenea \({\textcolor{#ff4500}{1} \cdot \textcolor{#1e90ff}{xyz}}\), \({\textcolor{#ff4500}{13}\textcolor{#1e90ff}{xyz}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-1} \cdot \textcolor{#1e90ff}{xyz}}\) obținem \({\textcolor{#ff4500}{13}\textcolor{#1e90ff}{xyz}}\);

din termenii asemenea \({\textcolor{#ff4500}{6}\textcolor{#1e90ff}{xy}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{7}\textcolor{#1e90ff}{xy}}\) obținem \({\textcolor{#ff4500}{13}\textcolor{#1e90ff}{xy}}\) pentru că \({\textcolor{#ff4500}{6+7=13}}\);

avem \({13xyz+13xy}\); dăm factor comun și obținem \({13xy(z+1)}\).

f) \({\underline{\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 9}xy^2}-\underline{\frac{\displaystyle 13}{\displaystyle 9}xy^2}-\underline{\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 9}xy^2}=-\frac{\displaystyle 17}{\displaystyle 9}xy^2;}\)

toți termenii sunt asemenea pentru că au aceeași parte literală, egală cu \({\textcolor{#1e90ff}{xy^2}}\); coeficienții sunt \({\textcolor{#ff4500}{\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 9}}}\), \({\textcolor{#ff4500}{-\frac{\displaystyle 13}{\displaystyle 9}}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 9}}}\);

obținem \({-\frac{\displaystyle 17}{\displaystyle 9}xy^2}\) pentru că \({\textcolor{#ff4500}{\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 9}-\frac{\displaystyle 13}{\displaystyle 9}-\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 9}=-\frac{\displaystyle 17}{\displaystyle 9}}}\).

g) \({\underline{1{,}6ab}+\underline{3{,}5ab}+\underline{2{,}4ab}=7{,}5ab;}\)

toți termenii sunt asemenea pentru că au aceeași parte literală, egală cu \({\textcolor{#1e90ff}{ab}}\); coeficienții sunt \({\textcolor{#ff4500}{1{,}6}}\), \({\textcolor{#ff4500}{3{,}5}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{2{,}4}}\);

obținem \({7{,}5ab}\) pentru că \({\textcolor{#ff4500}{1{,}6+3{,}5+2{,}4=7{,}5}}\).

h) \({\underline{8\sqrt{10}x^2y}+\underline{3\sqrt{10}x^2y}+\underline{2\sqrt{10}x^2y}-\underline{2\sqrt{10}x^2y}=11\sqrt{10}x^2y;}\)

toți termenii sunt asemenea pentru că au aceeași parte literală, egală cu \({\textcolor{#1e90ff}{x^2y}}\); coeficienții sunt \({\textcolor{#ff4500}{8\sqrt{10}}}\), \({\textcolor{#ff4500}{3\sqrt{10}}}\), \({\textcolor{#ff4500}{2\sqrt{10}}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-2\sqrt{10}}}\);

coeficienții \({\textcolor{#ff4500}{2\sqrt{10}}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-2\sqrt{10}}}\) sunt numere opuse, deci suma lor este zero; îi eliminăm;

obținem \({11\sqrt{10}x^2y}\) pentru că \({\textcolor{#ff4500}{8\sqrt{10}+3\sqrt{10}=11\sqrt{10}}}\).

B. Reduceți termenii asemenea:

a) \({10x^2-2x^2;}\)

b) \({3x^2+5x^2+6x+3x;}\)

c) \({a^2+4a^2-3a^2+2a^2+1;}\)

d) \({13y^2-2y^2+5xy^2-4y^2+12;}\)

e) \({2x-3xy+3xy-x;}\)

f) \({7x+7y-5x+2y;}\)

g) \({2a^2b-5a^2b+b^2-a^2.}\)

Arată rezolvarea

a) \({\underline{10x^2}-\underline{2x^2}= 8x^2;}\)

\({\textcolor{#ff4500}{10}\textcolor{#1e90ff}{x^2}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-2}\textcolor{#1e90ff}{x^2}}\) sunt termeni asemenea (partea literală este \({\textcolor{#1e90ff}{x^2}}\), coeficienții sunt \({\textcolor{#ff4500}{10}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-2}}\));

din termenii asemenea \({\textcolor{#ff4500}{10}\textcolor{#1e90ff}{x^2}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-2}\textcolor{#1e90ff}{x^2}}\) obținem \({\textcolor{#ff4500}{8}\textcolor{#1e90ff}{x^2}}\) pentru că \({\textcolor{#ff4500}{10-2=8}}\).

b) \({\underline{3x^2}+\underline{5x^2}+\underline{\underline{6x}}+\underline{\underline{3x}} = 8x^2+9x;}\)

\({\textcolor{#ff4500}{3}\textcolor{#1e90ff}{x^2}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{5}\textcolor{#1e90ff}{x^2}}\) sunt termeni asemenea (partea literală este \({\textcolor{#1e90ff}{x^2}}\), coeficienții sunt \({\textcolor{#ff4500}{3}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{5}}\));

\({\textcolor{#ff4500}{6}\textcolor{#1e90ff}{x}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{3}\textcolor{#1e90ff}{x}}\) sunt termeni asemenea (partea literală este \({\textcolor{#1e90ff}{x}}\), coeficienții sunt \({\textcolor{#ff4500}{6}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{3}}\));

din termenii asemenea \({\textcolor{#ff4500}{3}\textcolor{#1e90ff}{x^2}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{5}\textcolor{#1e90ff}{x^2}}\) obținem \({\textcolor{#ff4500}{8}\textcolor{#1e90ff}{x^2}}\) pentru că \({\textcolor{#ff4500}{3+5=8}}\);

din termenii asemenea \({\textcolor{#ff4500}{6}\textcolor{#1e90ff}{x}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{3}\textcolor{#1e90ff}{x}}\) obținem \({\textcolor{#ff4500}{9}\textcolor{#1e90ff}{x}}\) pentru că \({\textcolor{#ff4500}{6+3=9}}\).

c) \({\underline{a^2}+\underline{4a^2}-\underline{3a^2}+\underline{2a^2}+1=4a^2+1;}\)

\({\textcolor{#ff4500}{1} \cdot \textcolor{#1e90ff}{a^2}}\), \({\textcolor{#ff4500}{4}\textcolor{#1e90ff}{a^2}}\), \({\textcolor{#ff4500}{-3}\textcolor{#1e90ff}{a^2}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{2}\textcolor{#1e90ff}{a^2}}\) sunt termeni asemenea (partea literală este \({\textcolor{#1e90ff}{a^2}}\), coeficienții sunt \({\textcolor{#ff4500}{1}}\), \({\textcolor{#ff4500}{4}}\), \({\textcolor{#ff4500}{-3}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{2}}\));

din termenii asemenea \({\textcolor{#1e90ff}{a^2}}\), \({\textcolor{#ff4500}{4}\textcolor{#1e90ff}{a^2}}\), \({\textcolor{#ff4500}{-3}\textcolor{#1e90ff}{a^2}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{2}\textcolor{#1e90ff}{a^2}}\) obținem \({\textcolor{#ff4500}{4}\textcolor{#1e90ff}{a^2}}\) pentru că \({\textcolor{#ff4500}{1+4-3+2=4}}\);

termenul liber \({1}\) rămâne neschimbat.

d) \({\underline{13y^2}-\underline{2y^2}+5xy^2-\underline{4y^2}+12=7y^2+5xy^2+12;}\)

\({\textcolor{#ff4500}{13}\textcolor{#1e90ff}{y^2}}\), \({\textcolor{#ff4500}{-2}\textcolor{#1e90ff}{y^2}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-4}\textcolor{#1e90ff}{y^2}}\) sunt termeni asemenea (partea literală este \({\textcolor{#1e90ff}{y^2}}\), coeficienții sunt \({\textcolor{#ff4500}{13}}\), \({\textcolor{#ff4500}{-2}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-4}}\));

din termenii asemenea \({\textcolor{#ff4500}{13}\textcolor{#1e90ff}{y^2}}\), \({\textcolor{#ff4500}{-2}\textcolor{#1e90ff}{y^2}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-4}\textcolor{#1e90ff}{y^2}}\) obținem \({\textcolor{#ff4500}{7}\textcolor{#1e90ff}{y^2}}\) pentru că \({\textcolor{#ff4500}{13-2-4=7}}\);

termenii \({5xy^2}\) și \({12}\) rămân neschimbați.

e) \({\underline{2x}-\underline{\underline{3xy}}+\underline{\underline{3xy}}-\underline{x}=x;}\)

\({\textcolor{#ff4500}{2}\textcolor{#1e90ff}{x}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-1} \cdot \textcolor{#1e90ff}{x}}\) sunt termeni asemenea (partea literală este \({\textcolor{#1e90ff}{x}}\), coeficienții sunt \({\textcolor{#ff4500}{2}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-1}}\));

\({\textcolor{#ff4500}{3}\textcolor{#1e90ff}{xy}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-3}\textcolor{#1e90ff}{xy}}\) sunt termeni asemenea (partea literală este \({\textcolor{#1e90ff}{xy}}\), coeficienții sunt numerele opuse \({\textcolor{#ff4500}{3}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-3}}\), deci suma lor este 0 (zero) și îi putem elimina: \({\textcolor{#ff4500}{3-3=0}}\));

din termenii asemenea \({\textcolor{#ff4500}{2}\textcolor{#1e90ff}{x}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-}\textcolor{#1e90ff}{x}}\) obținem \({\textcolor{#1e90ff}{x}}\) pentru că \({\textcolor{#ff4500}{2-1=1}}\).

f) \({\underline{7x}+\underline{\underline{7y}}-\underline{5x}+\underline{\underline{2y}}=2x+9y;}\)

\({\textcolor{#ff4500}{7}\textcolor{#1e90ff}{x}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-5}\textcolor{#1e90ff}{x}}\) sunt termeni asemenea (partea literală este \({\textcolor{#1e90ff}{x}}\), coeficienții sunt \({\textcolor{#ff4500}{7}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-5}}\));

\({\textcolor{#ff4500}{7}\textcolor{#1e90ff}{y}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{2}\textcolor{#1e90ff}{y}}\) sunt termeni asemenea (partea literală este \({\textcolor{#1e90ff}{y}}\), coeficienții sunt \({\textcolor{#ff4500}{7}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{2}}\));

din termenii asemenea \({\textcolor{#ff4500}{7}\textcolor{#1e90ff}{x}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-5}\textcolor{#1e90ff}{x}}\) obținem \({\textcolor{#ff4500}{2}\textcolor{#1e90ff}{x}}\) pentru că \({\textcolor{#ff4500}{7-5=2}}\);

din termenii asemenea \({\textcolor{#ff4500}{7}\textcolor{#1e90ff}{y}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{2}\textcolor{#1e90ff}{y}}\) obținem \({\textcolor{#ff4500}{9}\textcolor{#1e90ff}{y}}\) pentru că \({\textcolor{#ff4500}{7+2=9}}\).

g) \({\underline{2a^2b}-\underline{5a^2b}+b^2-a^2=-3a^2b+b^2-a^2}\)

\({\textcolor{#ff4500}{2}\textcolor{#1e90ff}{a^2b}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-5}\textcolor{#1e90ff}{a^2b}}\) sunt termeni asemenea (partea literală este \({\textcolor{#1e90ff}{a^2b}}\), coeficienții sunt \({\textcolor{#ff4500}{2}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-5}}\));

din termenii asemenea \({\textcolor{#ff4500}{2}\textcolor{#1e90ff}{a^2b}}\) și \({\textcolor{#ff4500}{-5}\textcolor{#1e90ff}{a^2b}}\) obținem \({\textcolor{#ff4500}{-3}\textcolor{#1e90ff}{a^2b}}\) pentru că \({\textcolor{#ff4500}{2-5=-3}}\);

termenii \({b^2}\) și \({-a^2}\) rămân neschimbați.

Exersează 1| Exersează 2

⮜ Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute

Metoda reducerii ⮞