∎ Numere iraționale. Numere reale
Exersează! - 1
1. Ce fel de numere sunt în tabel? Completați cu DA sau NU:
Arată rezolvarea
Observăm:
- Numerele \({2}\); \({174}\); \({0}\) și \({52479}\) sunt numere naturale, întregi, raționale și reale.
- Numerele \({-3}\); \({-3746}\) și \({-847210}\) sunt numere întregi, raționale și reale.
- Nu avem numere iraționale.
Completăm tabelul:
| Numărul |
Natural |
Întreg |
Rațional |
Irațional |
Real |
| \({\; \;\;\; 2}\) |
DA |
DA |
DA |
NU |
DA |
| \({\; \;\;\; -3}\) |
NU |
DA |
DA |
NU |
DA |
| \({\; \;\;\; 174}\) |
DA |
DA |
DA |
NU |
DA |
| \({\; \;\;\; 0}\) |
DA |
DA |
DA |
NU |
DA |
| \({\; \;\;\; -3746}\) |
NU |
DA |
DA |
NU |
DA |
| \({\; \;\;\; 52479}\) |
DA |
DA |
DA |
NU |
DA |
| \({\; \;\;\; -847210}\) |
NU |
DA |
DA |
NU |
DA |
2. Ce fel de numere sunt în tabel? Completați cu DA sau NU:
Arată rezolvarea
Observăm:
- Numărul \({10}\) este număr natural, întreg, rațional și real.
- Numărul \({-45}\) este număr întreg, rațional și real.
- Numărul \({\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 5}}\) este număr rațional și real.
Observăm că numitorul nu este divizor al numărătorului (6 împărțit la 5 nu este împărțire exactă).
- Numărul \({-\frac{\displaystyle 14}{\displaystyle 12}}\) este număr rațional și real.
Observăm că numitorul nu este divizor al numărătorului (14 împărțit la 12 nu este împărțire exactă).
- Numărul \({-\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 2}}\) este număr întreg, rațional și real.
Observăm că numitorul este divizor al numărătorului (8 împărțit la 2 este împărțire exactă).
\({-\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 2}=-4}\)
Numărul \({-4}\) este număr întreg, rațional și real.
- Numărul \({\frac{\displaystyle 100}{\displaystyle 10}}\) este număr natural, întreg, rațional și real.
Observăm că numitorul este divizor al numărătorului (100 împărțit la 10 este împărțire exactă).
\({\frac{\displaystyle 100}{\displaystyle 10}=10}\)
Numărul \({10}\) este număr natural, întreg, rațional și real.
- Numărul \({-\frac{\displaystyle 25}{\displaystyle 3}}\) este număr rațional și real.
Observăm că numitorul nu este divizor al numărătorului (25 împărțit la 3 nu este împărțire exactă).
Completăm tabelul:
| Numărul |
Natural |
Întreg |
Rațional |
Irațional |
Real |
| \({\; \;\;\; 10}\) |
DA |
DA |
DA |
NU |
DA |
| \({\; \;\;\; -45}\) |
NU |
DA |
DA |
NU |
DA |
| \({\; \;\;\; \frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 5}}\) |
NU |
NU |
DA |
NU |
DA |
| \({\; \;\;\; -\frac{\displaystyle 14}{\displaystyle 12}}\) |
NU |
NU |
DA |
NU |
DA |
| \({\; \;\;\; -\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 2}}\) |
NU |
DA |
DA |
NU |
DA |
| \({\; \;\;\; \frac{\displaystyle 100}{\displaystyle 10}}\) |
DA |
DA |
DA |
NU |
DA |
| \({\; \;\;\; -\frac{\displaystyle 25}{\displaystyle 3}}\) |
NU |
NU |
DA |
NU |
DA |
3. Ce fel de numere sunt în tabel? Completați cu DA sau NU:
Arată rezolvarea
Observăm:
- Numerele \({8{,}6431}\) și \({-69{,}681702}\) au un număr finit de zecimale, deci sunt numere raționale. Ele sunt și numere reale.
- Numerele \({-73{,}6(8)}\) și \({236{,}(5)}\) sunt fracții zecimale periodice, deci sunt numere raționale. Ele sunt și numere reale.
- Numerele \({-32{,}41827043 \dots}\); \({\pi}\) și \({5{,}2187134 \dots}\) sunt fracții zecimale cu un număr infinit de zecimale, deci sunt numere iraționale. Ele sunt și numere reale.
Completăm tabelul:
| Numărul |
Natural |
Întreg |
Rațional |
Irațional |
Real |
| \({\; \;\;\; 8{,}6431}\) |
NU |
NU |
DA |
NU |
DA |
| \({\; \;\;\; -69{,}681702}\) |
NU |
NU |
DA |
NU |
DA |
| \({\; \;\;\; -73{,}6(8)}\) |
NU |
NU |
DA |
NU |
DA |
| \({\; \;\;\; 236{,}(5)}\) |
NU |
NU |
DA |
NU |
DA |
| \({\; \;\;\; -32{,}41827043 \dots}\) |
NU |
NU |
NU |
DA |
DA |
| \({\; \;\;\; \pi}\) |
NU |
NU |
NU |
DA |
DA |
| \({\; \;\;\; 5{,}2187134 \dots
}\) |
NU |
NU |
NU |
DA |
DA |
4. Ce fel de numere sunt în tabel? Completați cu DA sau NU:
Arată rezolvarea
Observăm:
- Numărul \({\left(\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 7}\right)^2}\) este rațional și real.
\({\left(\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 7}\right)^2=\frac{\displaystyle 2^2}{\displaystyle 7^2}=\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 49}}\)
- Numărul \({ \sqrt{12}}\) este irațional și real.
Observăm că \({12}\) nu este pătrat perfect; de aceea, \({ \sqrt{12}}\) este irațional.
- Numărul \({ \sqrt{9}}\) este natural, întreg, rațional și real.
Observăm că \({9}\) este pătrat perfect; de aceea, \({ \sqrt{9}}\) nu este irațional.
\({ \sqrt{9}=3}\)
Numărul \({ 3}\) este natural, întreg, rațional și real. Deci \({ \sqrt{9}}\) este natural, întreg, rațional și real.
- Numărul \({ \sqrt{0 {,}36}}\) este rațional și real.
Observăm că \({0 {,}36=(0 {,}6)^2}\).
\({\sqrt{0 {,}36}=\sqrt{(0 {,}6)^2}=0 {,}6}\).
Numărul \({0 {,}6}\) este rațional și real. Rezultă că \({ \sqrt{0 {,}36}}\) este rațional și real.
- Numărul \({ \frac{\displaystyle \sqrt{5}}{\displaystyle 4}}\) este irațional și real.
Observăm că \({\sqrt{5}}\) este irațional pentru că \({5}\) nu se poate scrie ca putere cu exponentul \({2}\).
Rezultă că și \({\frac{\displaystyle \sqrt{5}}{\displaystyle 4}}\) este irațional (câtul dintre un număr irațional și un număr rațional este irațional).
- Numărul \({ \sqrt{\frac{\displaystyle 36}{\displaystyle 25}}}\) este rațional și real.
\({\sqrt{\frac{\displaystyle 36}{\displaystyle 25}}=\sqrt{\frac{\displaystyle 6^2}{\displaystyle 5^2}}=\frac{\displaystyle \sqrt{6^2}}{\displaystyle \sqrt{5^2}}=\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 5}}\)
Numărul \({\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 5}}\) este rațional și real.
Rezultă că și \({ \sqrt{\frac{\displaystyle 36}{\displaystyle 25}}}\) este rațional și real.
- Numărul \({ 4+\sqrt{3}}\) este irațional și real.
Numărul \({4}\) este rațional și real.
Numărul \({\sqrt{3}}\) este irațional și real.
Rezultă că \({ 4+\sqrt{3}}\) este irațional și real (suma dintre un număr rațional și unul irațional este număr irațional).
Completăm tabelul:
| Numărul |
Natural |
Întreg |
Rațional |
Irațional |
Real |
| \({\; \;\;\; \left(\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 7}\right)^2}\) |
NU |
NU |
DA |
NU |
DA |
| \({\; \;\;\; \sqrt{12}}\) |
NU |
NU |
NU |
DA |
DA |
| \({\; \;\;\; \sqrt{9}}\) |
DA |
DA |
DA |
NU |
DA |
| \({\; \;\;\; \sqrt{0 {,}36}}\) |
NU |
NU |
DA |
NU |
DA |
| \({\; \;\;\; \frac{\displaystyle \sqrt{5}}{\displaystyle 4}}\) |
NU |
NU |
NU |
DA |
DA |
| \({\; \;\;\; \sqrt{\frac{\displaystyle 36}{\displaystyle 25}}}\) |
NU |
NU |
DA |
NU |
DA |
| \({\; \;\;\; 4+\sqrt{3}}\) |
NU |
NU |
NU |
DA |
DA |
E important să reținem următoarele aspecte:
- Numerele naturale sunt și numere întregi, raționale și reale.
- Numerele întregi sunt și numere raționale și reale.
- Numerele raționale sunt și numere și reale.
- Numerele raționale nu sunt și iraționale.
- Numerele iraționale sunt și numere reale.
- Relații:
Numerele raționale și cele iraționale formează mulțimea numerelor reale.
\( {ℕ \subset ℤ \subset ℚ \subset ℝ}\)
\( {ℚ \cup (ℝ \setminus ℚ) = ℝ}\)
- Notații și exemple:
Notăm cu \( {ℕ}\) mulțimea numerelor naturale.
Exemple de numere naturale:
\( {0; \; 3; \; 8; \; 3^5; \; \frac{\displaystyle 20}{\displaystyle 4}; \; \frac{\displaystyle 90}{\displaystyle 30}; \; \sqrt{25}}\)
Dacă numărătorul unei fracții este multiplu al numitorului, atunci numărul este natural. Altfel spus, dacă numitorul fracției este divizor al numărătorului, atunci numărul este natural.
Notăm cu \( {ℤ} \) mulțimea numerelor întregi.
Exemple de numere întregi:
\( {0; \; 3; \; -3; \; 8; \; -8; \; 3^5; \; -6^3; \frac{\displaystyle 20}{\displaystyle 4}; \; -\frac{\displaystyle 36}{\displaystyle 9}; \; \frac{\displaystyle 90}{\displaystyle 30}; \; -\frac{\displaystyle 100}{\displaystyle 20}; \; -\sqrt{4}}\)
Notăm cu \( {ℚ}\) mulțimea numerelor raționale.
Exemple de numere raționale:
\( {0; \; 2; \; -5; \; 8{,}1; \; -17{,}125; \; 12{,}(3); \;21{,}1(9); \; \; -32{,}(6); \;-46{,}8(3); \; -13^2; \; 7^3; \; 2^{-3}; \frac{\displaystyle 120}{\displaystyle 3}; \; -\frac{\displaystyle 23}{\displaystyle 9}; \; -\frac{\displaystyle 40}{\displaystyle 2}; \; \frac{\displaystyle 10}{\displaystyle 3}; \; -\sqrt{\frac{\displaystyle 81}{\displaystyle 100}}}\)
Notăm cu \( {ℝ}\) mulțimea numerelor reale.
Notăm cu \( {ℝ \setminus ℚ } \) mulțimea numerelor iraționale.
Exemple de numere iraționale:
\( {\sqrt{2}; \; \pi; \; -\pi; \; 4\pi; \; \frac{\displaystyle \sqrt{22}}{\displaystyle 3}; \; -\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle \sqrt{15}}; \; -\sqrt{\frac{\displaystyle 16}{\displaystyle 3}}; \; \sqrt{\frac{\displaystyle 17}{\displaystyle 14}}; \; 14{,}2478124 \dots; \; -73{,}254179 \dots}\)
Dacă vreți să susțineți funcționarea și dezvoltarea mathema.ro, puteți contribui prin donație. Aceasta nu elimină reclamele existente, dar îmi permite să accelerez dezvoltarea website-ului și să acopăr costurile de funcționare.
Nume titular: GEORGIU LIVIA-NICOLETA
IBAN: RO20BTRLRONCRT0287588001
SWIFT: BTRLRO22
Mulțumesc! ❤️