Ne amintim că numerele consecutive sunt cele care urmează unul după altul. De exemplu,
- \({ 15 }\) și \({ 16 }\) sunt numere consecutive;
- \({ 101 }\), \({ 102 }\), \({ 103 }\), \({ 104 }\) sunt numere consecutive.
Ne mai amintim că, dacă \({n^2 < x < (n + 1)^2}\), cu \({n \in ℕ}\), atunci \({n < \sqrt{x} < n + 1}\).
a) Vrem să găsim cele două numere naturale consecutive între care este numărul \({ \sqrt{29} }\).
Încadrăm numărul \({ 29 }\) între două pătrate perfecte consecutive. Pătratele perfecte consecutive căutate sunt \({ 25 }\) și \({ 36 }\).
\({25 < 29 < 36}\)
\({5^2 < 29 < 6^2}\)
Rezultă că:
\({\sqrt{5^2} < \sqrt{29 } < \sqrt{6^2}}\)
Obținem:
\({5 < \sqrt{29 } < 6}\)
Numărul \({ \sqrt{29 } }\) se află între numerele naturale consecutive \({5 }\) și \({6}\).
Completăm casetele:
5 \({ < \sqrt{29} < }\) 6
b) Vrem să găsim cele două numere naturale consecutive între care este numărul \({ \sqrt{17} }\).
Numărul \({ 17 }\) se află între pătratele perfecte \({ 16 }\) și \({ 25 }\).
\({16 < 17 < 25}\)
\({4^2 < 17 < 5^2}\)
Rezultă că:
\({\sqrt{4^2} < \sqrt{17 } < \sqrt{5^2}}\)
Obținem:
\({4 < \sqrt{17 } < 5}\)
Numărul \({ \sqrt{17 } }\) se află între numerele naturale consecutive \({4 }\) și \({5}\).
Completăm casetele:
4 \({ < \sqrt{17} < }\) 5
c) Vrem să găsim cele două numere naturale consecutive între care este numărul \({ \sqrt{87} }\).
Numărul \({ 87 }\) se află între pătratele perfecte \({ 81 }\) și \({ 100 }\).
\({81 < 87 < 100}\)
\({9^2 < 87 < 10^2}\)
Rezultă că:
\({\sqrt{9^2} < \sqrt{87 } < \sqrt{10^2}}\)
Obținem:
\({9 < \sqrt{87 } < 10}\)
Numărul \({ \sqrt{87 } }\) se află între numerele naturale consecutive \({9 }\) și \({10}\).
Completăm casetele:
9 \({ < \sqrt{87} < }\) 10
d) Vrem să găsim cele două numere naturale consecutive între care este numărul \({ \sqrt{133} }\).
Ne amintim sau calculăm câteva pătrate perfecte apropiate de numărul \({ 133 }\).
\({ 10^2=100}\)
\({ 11^2=121}\)
\({ 12^2=144}\)
Numărul \({ 133 }\) se află între pătratele perfecte \({ 121 }\) și \({ 144 }\).
\({121 < 133 < 144}\)
\({11^2 < 133 < 12^2}\)
Rezultă că:
\({\sqrt{11^2} < \sqrt{133 } < \sqrt{12^2}}\)
Obținem:
\({11 < \sqrt{133 } < 12}\)
Numărul \({ \sqrt{133 } }\) se află între numerele naturale consecutive \({11 }\) și \({12}\).
Completăm casetele:
11 \({ < \sqrt{133} < }\) 12
e) Vrem să găsim cele două numere naturale consecutive între care este numărul \({ \sqrt{271} }\).
Ne amintim sau calculăm câteva pătrate perfecte apropiate de numărul \({ 271 }\).
\({ 20^2=400}\) - este prea mare
\({ 15^2=225}\) - e mic
\({ 16^2=256}\) - e mai mic, e apropiat de \({ 271 }\)
\({ 17^2=289}\) - e mai mare decât \({ 271 }\)
Numărul \({ 271 }\) se află între pătratele perfecte \({ 256 }\) și \({ 289 }\).
\({256 < 271 < 289}\)
\({16^2 < 271 < 17^2}\)
Rezultă că:
\({\sqrt{16^2} < \sqrt{271 } < \sqrt{17^2}}\)
Obținem:
\({16 < \sqrt{271 } < 17}\)
Numărul \({ \sqrt{271 } }\) se află între numerele naturale consecutive \({16 }\) și \({17}\).
Completăm casetele:
16 \({ < \sqrt{271} < }\) 17
Pasul 1. Mai întâi, vom încadra numărul \({ \sqrt{55} }\) între două numere naturale consecutive.
Pasul 2. Vrem o aproximare puțin mai exactă a numărului \({ \sqrt{55} }\). De această dată, vrem să găsim două numere raționale cu o zecimală consecutive (cu virgulă), între care se află \({ \sqrt{55} }\).
- Să vedem dacă \({55}\) este între \({7^2}\) și \({(7{,}5)^2}\) sau între \({(7{,}5)^2}\) și \({8^2}\).
\({(7{,}5)^2=56{,}25 > 55}\)
Rezultă că \({55}\) este mai mic decât \({(7{,}5)^2}\); deci \({55}\) este între \({7^2}\) și \({(7{,}5)^2}\).
- Să vedem dacă \({55}\) este între \({7^2}\) și \({(7{,}3)^2}\) sau între \({(7{,}3)^2}\) și \({(7{,}5)^2}\).
\({(7{,}3)^2=53{,}29 < 55}\)
Rezultă că \({55}\) este mai mare decât \({(7{,}3)^2}\); deci \({55}\) este între \({(7{,}3)^2}\) și \({(7{,}5)^2}\).
Numerele cu o zecimală \({7{,}3}\) și \({7{,}5}\) nu sunt consecutive. Rezultă că trebuie să aflăm dacă \({55}\) este între \({(7{,}3)^2}\) și \({(7{,}4)^2}\) sau între \({(7{,}4)^2}\) și \({(7{,}5)^2}\).
\({(7{,}4)^2=54{,}76 < 55}\)
Am obținut că \({55}\) este între \({(7{,}4)^2}\) și \({(7{,}5)^2}\).
\({(7{,}4)^2 < 55 < (7{,}5)^2}\)
\({\sqrt{(7{,}4)^2} < \sqrt{55} < \sqrt{(7{,}5)^2}}\)
\({7{,}4 < \sqrt{55} < 7{,}5}\)
Am obținut că \({\sqrt{55}}\) este între numerele raționale \({7{,}4}\) și \({7{,}5}\).
Numărul \({7{,}4}\) este aproximarea cu o zecimală prin lipsă a lui \({\sqrt{55}}\).
Numărul \({7{,}5}\) este aproximarea cu o zecimală prin adaos a lui \({\sqrt{55}}\).
