Folosim metoda reducerii la unitate (crește cantitatea de banane, crește și suma plătită).

• Scriem datele problemei:



\({3 \; kg \; ....... \; 16{,}8 \; lei }\)

\({10{,}5 \; kg \; ....... \; ? \; lei }\)

• Calculăm cât costă \({1 \; kg}\) de banane.



\({3 \; kg \; ....... \; 16{,}8 \; lei \;\;\; \mid \; : 3 }\)

\({3:3=1 \; kg \; ....... \; 16{,}8 : 3=5{,}6 \; lei }\)

Am obținut că \({1 \; kg}\) de banane costă \({5{,}6 \; lei}\).

• Calculăm cât costă \({10{,}5}\) kilograme de banane.



\({1 \; kg \; ....... \; 5{,}6 \; lei \;\;\; \mid \; \cdot \;10{,}5 }\)

\({1 \cdot \;10{,}5 =10{,}5 \; kg \; ....... \; 5{,}6 \cdot \;10{,}5 =58{,}8\; lei }\)

Am obținut că \({10{,}5 \; kg}\) de banane costă \({58{,}8 \; lei}\).

Folosim metoda reducerii la unitate.

• Scriem datele problemei:



\({3{,}6 \; kg \; ....... \; 8 \; caserole }\)

\({6{,}75 \; kg \; ....... \; ? \; caserole }\)

• Calculăm ce cantitate de zmeură se pune într-o caserolă.



\({3{,}6 \; kg \; ....... \; 8 \; caserole \;\;\; \mid \; : 8 }\)

\({3{,}6:8=0{,}45 \; kg \; ....... \; 8 : 8=1 \; caserolă }\)

Am obținut că \({1 \; caserolă}\) conține \({0{,}45 \; kg}\) de zmeură.

• Calculăm câte caserole sunt necesare pentru \({6{,}75}\) kilograme de zmeură.



\({6{,}75\; lei : 0{,}45 =15}\)

Am obținut că pentru \({6{,}75 \; kg}\) de zmeură sunt necesare 15 caserole.

• Calculăm cantitatea de zmeură conținută în 5 caserole.



\({5 \cdot 0{,}45 =2{,} 25 \; kg}\)

Am obținut că în 5 caserole sunt \({2{,}25 \; kg}\) de zmeură.

• Calculăm cât costă 2 caiete.



\({2 \cdot 6{,}9=13{,}8 \; lei \; costă \; 2 \; caiete}\)

• Calculăm cât costă 1 set de carioci și 2 caiete (produsele cumpărate de Dana).



\({15{,}75 +13{,}8= 29{,}55 \; lei}\)

Am obținut că 1 set de carioci și 2 caiete costă \({29{,}55 \; lei}\).

• Calculăm ce rest primește Dana de la o bancnotă de 50 de lei.



\({50-29{,}55=20{,}45 \; lei}\)

Am obținut că Dana primește rest \({20{,}45 \; lei}\).

• Comparăm restul primit cu prețul capsatorului.



\({20{,}45 \; lei < 20{,}99 \; lei}\)

Rezultă că Dana nu are suficienți bani pentru a cumpăra și capsatorul.

Folosim metoda comparației.

• Scriem datele problemei.



\({3 \; brățări \; ....... \; 2 \; inele \; ....... \; 234{,}2 \; lei}\)

\({5 \; brățări \; ....... \; 3 \; inele \; ....... \; 383{,}25 \; lei}\)

\({2 \; brățări \; ....... \; 4 \; inele \; ....... \; ? \; lei}\)

• Ne concentrăm pe primele două relații, în care toate elementele sunt cunoscute. Observăm că numărul brățărilor este diferit în fiecare relație. La fel, numărul inelelor este diferit în fiecare relație.



\({3 \; brățări \; ....... \; 2 \; inele \; ....... \; 234{,}2 \; lei}\)

\({5 \; brățări \; ....... \; 3 \; inele \; ....... \; 383{,}25 \; lei}\)

• Vrem să facem în așa fel încât în ambele relații să avem același număr de brățări (sau de inele, în funcție de ce alegem noi). Apoi vom scădea cele două relații și rămân doar inelele (sau brățările). În acel moment vom putea calcula cât costă un inel (sau o brățară).


• Cum facem să avem același număr de brățări în ambele relații?



În prima relație avem 3 brățări, iar în a doua relație avem 5 brățări. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 3 și 5 este 15 (3 înmulțit cu 5, pentru că 3 și 5 sunt numere prime între ele). Înmulțim prima relație cu 5, pe a doua cu 3 și astfel vom avea 15 brățări în ambele relații.

• Cum facem să avem același număr de inele în ambele relații?



În prima relație avem 2 inele, iar în a doua relație avem 3 inele. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 2 și 3 este 6 (2 înmulțit cu 3, pentru că 2 și 3 sunt numere prime între ele). Înmulțim prima relație cu 3, pe a doua cu 2 și astfel vom avea 6 inele în ambele relații.

• Alegem să avem același număr de brățări în ambele relații. Înmulțim prima relație cu 5, iar pe a doua cu 3.



\({3 \cdot 5 =15\; brățări \; ....... \; 2 \cdot 5=10\; inele \; ....... \; 234{,}2 \cdot 5=1171\; lei}\)

\({5 \cdot 3=15\; brățări \; ....... \; 3\cdot 3=9 \; inele \; ....... \; 383{,}25 \cdot 3=1149{,}75\; lei}\)





\({15\; brățări \; ....... \; 10\; inele \; ....... \; 1171\; lei}\)

\({15\; brățări \; ....... \; 9 \; inele \; ....... \; 1149{,}75\; lei}\)

• Scădem cele două relații, astfel: în prima relație avem mai multe inele decât în cea de-a doua relație, deci din prima relație o scădem pe a doua.



\({15-15=0\; brățări \; ....... \; 10-9=1 \; inel \; ....... \; 1171-1149{,}75=21{,}25\; lei}\)

\({1 \; inel \; ....... \; 21{,}25\; lei}\)

Am obținut că 1 inel costă \({21{,}25\; lei}\)

• Vrem să calculăm cât costă 1 brățară. Știm că 3 brățări și 2 inele costă \({234{,}2 \; lei}\). Știm că 1 inel costă \({21{,}25\; lei}\).



Calculăm cât costă 2 inele.

\({21{,}25 \cdot 2=42{,}5\; lei\;costă \; 2\; inele}\)

Calculăm cât costă 3 brățări.

\({234{,}2-42{,}5=191{,}7\; lei\;costă \; 3\; brățări}\)

Calculăm cât costă 1 brățară.

\({191{,}7 :3=63{,}9\; lei\;costă \; 1\; brățară}\)

• Andrei cumpără 2 brățări și 4 inele.



Calculăm cât costă 2 brățări.

\({63{,}9 \cdot 2 = 127{,}8\;lei\;costă \; 2\; brățări}\)

Calculăm cât costă 4 inele.

\({21{,}25 \cdot 4=85\; lei\;costă \; 4\; inele}\)

Calculăm cât costă cele 2 brățări și 4 inele cumpărate de Andrei.

\({127{,}8+ 85=212{,}8\; lei\;costă \; 2 \; brățări \; și \; 4\; inele}\)

• Am obținut că Andrei plătește \({212{,}8\; lei}\) pentru 2 brățări și 4 inele.

Folosim metoda falsei ipoteze.

• Presupunem că Raluca a folosit doar sticle de \({0{,}25 \; litri}\).



Presupunem că cele 38 de sticle folosite sunt de \({0{,}25 \; litri}\). Câți litri de sirop ar avea Raluca de îmbuteliat în acest caz?

\({ 0{,}25 \cdot 38=9{,}5 \; litri }\)

Rezultă \({ 9{,}5 \; litri }\) de sirop. Știm că, în realitate, sunt \({15{,}5 \; litri}\). Avem o diferență de \({6 \; litri}\). De unde provine această diferență?

\({ 15{,}5 -9{,}5 =6 \; litri }\)

Presupunerea că toate sticlele sunt mici, de \({ 0{,}25 \; litri }\), ne-a condus la o cantitate mai mică cu 6 litri de sirop decât în realitate. După ce umplem cele 38 de sticle mici, de \({ 0{,}25 \; litri }\), trebuie să mai adăugăm încă 6 litri. Înseamnă că, de fapt, printre cele 38 de sticle sunt și sticle mai mari, de \({ 0{,}55 \; litri }\).



\({0{,}25 \; litri}\), ne-a condus la o cantitate mai mică cu 6 litri de sirop decât în realitate. După ce umplem cele 38 de sticle mici, de \({0{,}25 \; litri}\), ne rămân 6 litri. Înseamnă că, de fapt, printre cele 38 de sticle sunt și sticle mai mari, de \({0{,}55 \; litri}\)." style="width:650px;height:auto;">



O parte dintre sticlele de \({ 0{,}25 \; litri }\) le vom înlocui cu sticle de \({ 0{,}55 \; litri }\), pentru a putea îmbutelia și cei 6 litri de sirop. Întrebarea la care trebuie acum să răspundem este: câte sticle înlocuim?



\({0{,}25 \; litri}\) le vom înlocui cu sticle de \({0{,}55 \; litri}\), pentru a putea îmbutelia și cei 6 litri de sirop. Întrebarea la care trebuie acum să răspundem este: câte sticle înlocuim?" style="width:289px;height:auto;">



Putem gândi astfel: luăm o sticlă de \({ 0{,}25 \; litri }\), îi golim conținutul într-o sticlă de \({ 0{,}55 \; litri }\). Ce cantitate trebuie să adăugăm în sticla mai mare pentru a fi plină?

\({ 0{,}55 -0{,}25 =0{,}3 \; litri }\)

Din cei 6 litri adăugăm \({ 0{,}3 \; litri }\) în sticla mai mare și o umplem. Astfel am înlocuit o sticlă mică cu una mare și a scăzut cantitatea de sirop rămasă neîmbuteliată. Acum avem \({ 5{,}7 \; litri }\) de sirop pe care trebuie să-l îmbuteliem.

Repetăm această acțiune: luăm o altă sticlă mică, o golim în sticla mai mare, apoi completăm cu \({ 0{,}3 \; litri }\) pentru umple sticla.

De câte ori repetăm această acțiune? Astfel spus, de câte ori putem lua câte \({ 0{,}3 \; litri }\) din cei 6 litri? Fiecare \({ 0{,}3 \; litri }\) luați din cei 6 litri corespunde unei sticle de \({ 0{,}55 \; litri }\). Dacă răspundem la această întrebare, aflăm și câte sticle de \({ 0{,}55 \; litri }\) avem.

Efectuăm operația de împărțire: 6 împărțit la \({ 0{,}3}\) este egal cu 20. De 20 de ori putem lua câte \({ 0{,}3 \; litri }\) din cei 6 litri. Rezultă că sunt 20 de sticle mari, de \({ 0{,}55 \; litri }\).

\({ 6:0{,}3= 20 }\)

Calculăm câte sticle mici, de \({ 0{,}25 \; litri }\) sunt.

\({ 38-20=18 \; sticle}\)

Am obținut că sunt 18 sticle de \({ 0{,}25 \; litri }\) și 20 de sticle de \({ 0{,}55 \; litri }\).





• Alt mod de a rezolva problema: presupunem că Raluca a folosit doar sticle de \({0{,}55 \; litri}\).



Presupunem că cele 38 de sticle folosite sunt de \({0{,}55 \; litri}\). Câți litri de sirop ar avea Raluca de îmbuteliat în acest caz?

\({ 0{,}55 \cdot 38=20{,}9 \; litri }\)

Dacă toate cele 38 de sticle ar fi de \({0{,}55 \; litri}\), ar rezulta cu \({5{,}4 \; litri}\) mai mult sirop decât este în realitate.

\({ 20{,}9 -15{,}5=5{,}4 \; litri }\)

Înseamnă că printre sticle sunt și mai mici, de doar \({0{,}25 \; litri}\). Câte sticle mici sunt?

Putem gândi astfel: luăm o stică de \({0{,}55 \; litri}\); cu o parte umplem o sticlă mai mică, de doar \({0{,}25 \; litri}\), iar restul, de \({0{,}3 \; litri}\), îl aruncăm. Astfel, înlocuim o sticlă mare cu una mai mică.

\({ 0{,}55 -0{,}25=0{,}3 \; litri }\)

Repetăm acțiunea: conținutul unei sticle mari îl golim într-o sticlă mică și aruncăm \({0{,}3 \; litri}\).

De câte ori repetăm această acțiune? Altfel spus, de câte ori aruncăm câte \({0{,}3 \; litri}\)? Răspunsul ne va arăta câte sticle mici sunt, pentru că fiecare \({0{,}3 \; litri}\) aruncați corespunde unei sticle mici, de \({0{,}25 \; litri}\).

Răspuns: până terminăm cei \({5{,}4 \; litri}\) care sunt în plus. Adică împărțim \({5{,}4}\) la 3 și obținem că repetăm acțiunea de 18 ori. Deci sunt 18 sticle mici.

\({ 5{,}4 :0{,}3=18 }\)

În total sunt 38 de sticle, din care 18 sunt de \({0{,}25 \; litri}\). Rezultă că sunt 20 de sticle de \({0{,}55 \; litri}\).

\({ 38-18=20 \; sticle}\)

Am obținut că sunt 18 sticle de \({ 0{,}25 \; litri }\) și 20 de sticle de \({ 0{,}55 \; litri }\).