Ne amintim formula pentru introducerea întregilor în fracție. Pentru \({a, b, c}\) numere naturale, \({a \neq 0, c \neq 0}\), avem:

a) \({2\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 5}=\frac{\displaystyle 2 \cdot 5+1}{\displaystyle 5}=\frac{\displaystyle 11}{\displaystyle 5}}\)

b) \({5\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 8}=\frac{\displaystyle 5 \cdot 8+2}{\displaystyle 8}=\frac{\displaystyle 42}{\displaystyle 8}}\)

c) \({4\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}=\frac{\displaystyle 4 \cdot 3+2}{\displaystyle 3}=\frac{\displaystyle 14}{\displaystyle 3}}\)

d) \({10\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 7}=\frac{\displaystyle 10 \cdot 7+6}{\displaystyle 7}=\frac{\displaystyle 76}{\displaystyle 7}}\)

e) \({3\frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 10}=\frac{\displaystyle 3 \cdot 10+9}{\displaystyle 10}=\frac{\displaystyle 39}{\displaystyle 10}}\)

f) \({12\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 5}=\frac{\displaystyle 12 \cdot 5+4}{\displaystyle 5}=\frac{\displaystyle 64}{\displaystyle 5}}\)

Ne amintim:

• Putem scoate întregii doar din fracții supraunitare.
• Pentru a scoate întregii din fracția \({\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}}\), unde \({a, b}\) sunt numere naturale, \({b \neq 0}\), procedăm astfel:
• Efectuăm împărțirea \({a : b=c \; \text{rest} \; c}\), unde \({c, r}\) sunt numere naturale, \({r < b}\).


• Avem \({\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}=c\frac{\displaystyle r}{\displaystyle b}}\).

a) \({\frac{\displaystyle 17}{\displaystyle 6}=2\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 6}}\)

\({17 : 6= 2 \; \text{rest} \; 5}\)

b) \({\frac{\displaystyle 26}{\displaystyle 9}=2\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 9}}\)

\({26 : 9= 2 \; \text{rest} \; 8}\)

c) \({\frac{\displaystyle 34}{\displaystyle 5}=6\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 5}}\)

\({34 : 5= 6 \; \text{rest} \; 4}\)

d) \({\frac{\displaystyle 59}{\displaystyle 12}=4\frac{\displaystyle 11}{\displaystyle 12}}\)

\({59 : 12= 4 \; \text{rest} \; 11}\)

e) \({\frac{\displaystyle 123}{\displaystyle 20}=6\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 20}}\)

\({123 : 20= 6 \; \text{rest} \; 3}\)

f) \({\frac{\displaystyle 146}{\displaystyle 7}=20\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 7}}\)

\({146 : 7= 20 \; \text{rest} \; 6}\)

g) \({\frac{\displaystyle 259}{\displaystyle 50}=5\frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 50}}\)

\({259 : 50= 5 \; \text{rest} \; 9}\)

h) \({\frac{\displaystyle 373}{\displaystyle 90}=4\frac{\displaystyle 13}{\displaystyle 90}}\)

\({373 : 90= 4 \; \text{rest} \; 13}\)

a) Reprezentăm prin desen fracția \({\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 3}}\). Putem gândi astfel:

Varianta 1:

• Fracția \({\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 3}}\) înseamnă 7 treimi. Fracția este supraunitară, deci vom avea mai mulți întregi pe care va trebui să-i împărțim în câte 3 părți egale.
• Desenăm un dreptunghi (primul întreg), îl împărțim în 3 părți egale pe care le colorăm pentru că le considerăm pe toate.
• Mai desenăm un dreptunghi (al doilea întreg), îl împărțim în 3 părți egale pe care le colorăm pentru că le considerăm pe toate. Avem până acum 6 treimi. Ne mai trebuie 1 treime.
• Mai desenăm un dreptunghi, îl împărțim în 3 părți egale și colorăm 1 parte.
• Acum avem colorate 7 treimi, deci am reprezentat prin desen fracția \({\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 3}}\).

Varianta 2:

• Fracția \({\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 3}}\) este egală cu \({2\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}}\) ( 2 întregi și 1 treime).
• Desenăm 3 dreptunghiuri pe care le împărțim în câte 3 părți egale. Colorăm 7 astfel de părți.
• Am reprezentat prin desen fracția \({\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 3}}\).

Reprezentăm fracția \({\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 3}}\) pe axa numerelor. Desenăm axa numerelor, indicăm sensul pozitiv (săgeata la dreapta), stabilim originea și unitatea de măsură. Fracția \({\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 3}}\) este egală cu \({2\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}}\) ( 2 întregi și 1 treime).

Avem mai mult decât 2 întregi, deci reprezentăm pe axă numerele 1, 2 și 3. Unitatea de măsură dintre 2 și 3 o împărțim în 3 părți egale (în 3 treimi). De la numărul 2 mai numărăm încă o treime și obținem fracția \({\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 3}}\).

b) Reprezentăm prin desen fracția \({\frac{\displaystyle 14}{\displaystyle 5}}\). Putem gândi astfel:

Varianta 1:

• Fracția \({\frac{\displaystyle 14}{\displaystyle 5}}\) înseamnă 14 cincimi. Fracția este supraunitară, deci vom avea mai mulți întregi pe care va trebui să-i împărțim în câte 5 părți egale.
• Desenăm un dreptunghi (primul întreg), îl împărțim în 5 părți egale pe care le colorăm pentru că le considerăm pe toate.
• Mai desenăm un dreptunghi (al doilea întreg), îl împărțim în 5 părți egale pe care le colorăm pentru că le considerăm pe toate. Avem până acum 10 cincimi. Ne mai trebuie 4 cincimi.
• Mai desenăm un dreptunghi, îl împărțim în 5 părți egale și colorăm 4 părți.
• Acum avem colorate 14 cincimi, deci am reprezentat prin desen fracția \({\frac{\displaystyle 14}{\displaystyle 5}}\).

Varianta 2:

• Fracția \({\frac{\displaystyle 14}{\displaystyle 5}}\) este egală cu \({2\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 5}}\) ( 2 întregi și 4 cincimi).
• Desenăm 3 dreptunghiuri pe care le împărțim în câte 5 părți egale. Colorăm 14 astfel de părți.
• Am reprezentat prin desen fracția \({\frac{\displaystyle 14}{\displaystyle 5}}\).

Reprezentăm fracția \({\frac{\displaystyle 14}{\displaystyle 5}}\) pe axa numerelor. Desenăm axa numerelor, indicăm sensul pozitiv (săgeata la dreapta), stabilim originea și unitatea de măsură. Fracția \({\frac{\displaystyle 14}{\displaystyle 5}}\) este egală cu \({2\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 5}}\) ( 2 întregi și 4 cincimi).

Avem mai mult decât 2 întregi, deci reprezentăm pe axă numerele 1, 2 și 3. Unitatea de măsură dintre 2 și 3 o împărțim în 5 părți egale (în 5 cincimi). De la numărul 2 mai numărăm încă 4 cincimi și obținem fracția \({\frac{\displaystyle 14}{\displaystyle 5}}\).

c) Reprezentăm prin desen fracția \({4\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}}\). Putem gândi astfel:

• Avem mai mult de 4 întregi.
• Desenăm 5 dreptunghiuri pe care le împărțim în câte 4 părți egale. Colorăm 4 dreptunghiuri și o parte (un sfert) din al cincilea dreptunghi.
• Am reprezentat prin desen fracția \({4\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}}\).

Reprezentăm fracția \({4\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}}\) pe axa numerelor. Desenăm axa numerelor, indicăm sensul pozitiv (săgeata la dreapta), stabilim originea și unitatea de măsură.

Avem mai mult decât 4 întregi, deci reprezentăm pe axă numerele 1, 2, 3, 4 și 5. Unitatea de măsură dintre 4 și 5 o împărțim în 4 părți egale (în 4 sferturi). De la numărul 4 mai numărăm încă 1 sfert și obținem fracția \({4\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}}\).

d) Reprezentăm prin desen fracția \({2\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 6}}\). Putem gândi astfel:

• Avem mai mult de 2 întregi.
• Desenăm 3 dreptunghiuri pe care le împărțim în câte 6 părți egale. Colorăm 2 dreptunghiuri și 5 părți din al cincilea dreptunghi.
• Am reprezentat prin desen fracția \({2\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 6}}\).

Reprezentăm fracția \({2\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 6}}\) pe axa numerelor. Desenăm axa numerelor, indicăm sensul pozitiv (săgeata la dreapta), stabilim originea și unitatea de măsură.

Avem mai mult decât 2 întregi, deci reprezentăm pe axă numerele 1, 2 și 3. Unitatea de măsură dintre 2 și 3 o împărțim în 6 părți egale. De la numărul 2 mai numărăm încă 5 șesimi și obținem fracția \({2\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 6}}\).

Pentru a rezolva exercițiul, scoatem mai întâi întregii din fracție. Numărul întregilor este numărul natural mai mic decât fracția dată. Adunăm 1 și obținem numărul natural mai mare decât fracția dată.

a) 2 < \({\frac{\displaystyle 26}{\displaystyle 12}}\) < 3;

\({26 : 12=2 \; \text{rest} \; 2}\)

\({\frac{\displaystyle 26}{\displaystyle 12}=2\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 12}}\)

\({2 < \frac{\displaystyle 26}{\displaystyle 12} < 3}\)

b) 8 < \({\frac{\displaystyle 35}{\displaystyle 4}}\) < 9;

\({34 : 4=8 \; \text{rest} \; 3}\)

\({\frac{\displaystyle 35}{\displaystyle 4}=8\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}}\)

\({8 < \frac{\displaystyle 35}{\displaystyle 4} < 9}\)

c) 18 < \({\frac{\displaystyle 56}{\displaystyle 3}}\) < 19;

\({56 : 3=18 \; \text{rest} \; 2}\)

\({\frac{\displaystyle 56}{\displaystyle 3}=18\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}\)

\({18 < \frac{\displaystyle 56}{\displaystyle 3} < 19}\)

d) 10 < \({\frac{\displaystyle 104}{\displaystyle 10}}\) < 11;

\({104 : 10=10 \; \text{rest} \; 4}\)

\({\frac{\displaystyle 104}{\displaystyle 10}=10\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 10}}\)

\({10 < \frac{\displaystyle 104}{\displaystyle 10} < 11}\)

e) 5 < \({\frac{\displaystyle 64}{\displaystyle 12}}\) < 6;

\({64 : 12=5 \; \text{rest} \; 4}\)

\({\frac{\displaystyle 64}{\displaystyle 12}=5\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 12}}\)

\({5 < \frac{\displaystyle 64}{\displaystyle 12} < 6}\)

f) 52 < \({\frac{\displaystyle 263}{\displaystyle 5}}\) < 53.

\({263 : 5=52 \; \text{rest} \; 3}\)

\({\frac{\displaystyle 263}{\displaystyle 5}=52\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}}\)

\({52 < \frac{\displaystyle 263}{\displaystyle 5} < 53}\)