Ne amintim:

• Numărul de sub linia de fracție se numește numitorul fracției.

Numitorul unei fracții ne arată în câte părți egale a fost împărțit întregul.



• Numărul de deasupra liniei de fracție se numește numărătorul fracției.

Numărătorul unei fracții ne arată câte părți egale se iau în considerare.

a) Observăm primul caz.

• Ambele dreptunghiuri sunt egale.
• Observăm că fiecare dreptunghi este împărțit în părți egale.
• Mai observăm că porțiunea colorată din primul dreptunghi este egală cu porțiunea colorată din cel de-al doilea dreptunghi.

Primul dreptunghi este împărțit în două părți egale; o parte este colorată. Rezultă că avem colorată o jumătate din dreptunghi, adică avem fracția \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\).

Să analizăm acum al doilea dreptunghi. Împărțim fiecare dintre cele 2 jumătăți în 2 părți egale, adică în sferturi. Înseamnă că numărul total de părți egale crește de 2 ori (2 înmulțit cu 2 ne dă 4). Avem în total 4 părți egale, iar 2 dintre ele sunt colorate. Rezultă fracția \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4}}\).

Avem:

Ce a rămas la fel?

• Valoare fracției a rămas aceeași, pentru că în ambele dreptunghiuri avem aceeași porțiune colorată.

Ce s-a schimbat?

• S-a schimbat numărul total al părților egale, adică s-au schimbat numitorii fracțiilor. Numărul total al părților egale a crescut de două ori, de la 2 la 4 (2 înmulțit cu 2 ne dă 4). Prima fracție are numitorul 2, a doua fracție are numitorul 4.
• Tot de 2 ori a crescut și numărul părților colorate, adică numărătorii s-au schimbat: prima fracție are numărătorul 1, a doua fracție are numărătorul 2 (1 înmulțit cu 2 ne dă 2).

Am obținut fracțiile echivalente \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\) și \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4}}\). Înmulțind cu 2 numitorul și numărătorul fracției \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\), obținem fracția echivalentă \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4}}\). Cele două fracții au aceeași valoare.

\({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4}}\)

b) Să analizăm cele două dreptunghiuri.

• Ambele dreptunghiuri sunt egale.
• Observăm că fiecare dreptunghi este împărțit în părți egale.
• Mai observăm că porțiunea colorată din primul dreptunghi este egală cu porțiunea colorată din cel de-al doilea dreptunghi.

Primul dreptunghi este împărțit în două părți egale; o parte este colorată. Rezultă că avem colorată o jumătate din dreptunghi, adică avem fracția \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\).

Să analizăm acum al doilea dreptunghi. Împărțim fiecare dintre cele 2 jumătăți în 3 părți egale. Înseamnă că numărul total de părți egale crește de 3 ori (2 înmulțit cu 3 ne dă 6). Avem în total 6 părți egale, iar 3 dintre ele sunt colorate. Rezultă fracția \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 6}}\).

Avem:

Ce a rămas la fel?

• Valoare fracției a rămas aceeași, pentru că în ambele dreptunghiuri avem aceeași porțiune colorată.

Ce s-a schimbat?

• S-a schimbat numărul total al părților egale, adică s-au schimbat numitorii fracțiilor. Numărul total al părților egale a crescut de trei ori, de la 2 la 6 (2 înmulțit cu 3 ne dă 6). Prima fracție are numitorul 2, a doua fracție are numitorul 6.
• Tot de 3 ori a crescut și numărul părților colorate, adică numărătorii s-au schimbat: prima fracție are numărătorul 1, a doua fracție are numărătorul 3 (1 înmulțit cu 3 ne dă 3).

Am obținut fracțiile echivalente \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\) și \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 6}}\). Înmulțind cu 3 numitorul și numărătorul fracției \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\), obținem fracția echivalentă \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 6}}\). Cele două fracții au aceeași valoare.

\({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 6}}\)

Considerând subpunctele a) și b), rezultă fracțiile echivalente \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\), \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4}}\) și \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 6}}\).

\({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} =\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4}= \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 6}}\)

c) Să analizăm cele două dreptunghiuri.

• Ambele dreptunghiuri sunt egale.
• Observăm că fiecare dreptunghi este împărțit în părți egale.
• Mai observăm că porțiunea colorată din primul dreptunghi este egală cu porțiunea colorată din cel de-al doilea dreptunghi.

Primul dreptunghi este împărțit în patru părți egale (în patru sferturi); trei astfel de părți sunt colorate. Rezultă că avem fracția \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}}\).

Să analizăm acum al doilea dreptunghi. Împărțim fiecare dintre cele 4 sferturi în 2 părți egale (în optimi). Înseamnă că numărul total de părți egale crește de 2 ori (4 înmulțit cu 2 ne dă 8). Avem în total 8 părți egale, iar 6 dintre ele sunt colorate. Rezultă fracția \({\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 8}}\).

Ce a rămas la fel?

• Valoare fracției a rămas aceeași, pentru că în ambele dreptunghiuri avem aceeași porțiune colorată.

Ce s-a schimbat?

• S-a schimbat numărul total al părților egale, adică s-au schimbat numitorii fracțiilor. Numărul total al părților egale a crescut de două ori, de la 4 la 8 (4 înmulțit cu 2 ne dă 8). Prima fracție are numitorul 4, a doua fracție are numitorul 8.
• Tot de 2 ori a crescut și numărul părților colorate, adică numărătorii s-au schimbat: prima fracție are numărătorul 3, a doua fracție are numărătorul 6 (3 înmulțit cu 2 ne dă 6).

Am obținut fracțiile echivalente \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}}\) și \({\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 8}}\). Înmulțind cu 2 numitorul și numărătorul fracției \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}}\), obținem fracția echivalentă \({\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 8}}\). Cele două fracții au aceeași valoare.

\({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 8}}\)

d) Să analizăm cele două dreptunghiuri.

• Ambele dreptunghiuri sunt egale.
• Observăm că fiecare dreptunghi este împărțit în părți egale.
• Mai observăm că porțiunea colorată din primul dreptunghi este egală cu porțiunea colorată din cel de-al doilea dreptunghi.

Primul dreptunghi este împărțit în patru părți egale (în patru sferturi); trei astfel de părți sunt colorate. Rezultă că avem fracția \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}}\).

Să analizăm acum al doilea dreptunghi. Împărțim fiecare dintre cele 4 sferturi în 3 părți egale. Înseamnă că numărul total de părți egale crește de 3 ori (4 înmulțit cu 3 ne dă 12). Avem în total 12 părți egale, iar 9 dintre ele sunt colorate. Rezultă fracția \({\frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 12}}\).

Ce a rămas la fel?

• Valoare fracției a rămas aceeași, pentru că în ambele dreptunghiuri avem aceeași porțiune colorată.

Ce s-a schimbat?

• S-a schimbat numărul total al părților egale, adică s-au schimbat numitorii fracțiilor. Numărul total al părților egale a crescut de trei ori, de la 4 la 12 (4 înmulțit cu 3 ne dă 12). Prima fracție are numitorul 4, a doua fracție are numitorul 12.
• Tot de 3 ori a crescut și numărul părților colorate, adică numărătorii s-au schimbat: prima fracție are numărătorul 3, a doua fracție are numărătorul 9 (3 înmulțit cu 3 ne dă 9).

Am obținut fracțiile echivalente \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}}\) și \({\frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 12}}\). Înmulțind cu 3 numitorul și numărătorul fracției \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}}\), obținem fracția echivalentă \({\frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 12}}\). Cele două fracții au aceeași valoare.

\({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 12}}\)

Considerând subpunctele c) și d), rezultă fracțiile echivalente \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}}\), \({\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 8}}\) și \({\frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 12}}\).

\({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} =\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 8}= \frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 12}}\)

Ne amintim:

• Numărul de sub linia de fracție se numește numitorul fracției.

Numitorul unei fracții ne arată în câte părți egale a fost împărțit întregul.



• Numărul de deasupra liniei de fracție se numește numărătorul fracției.

Numărătorul unei fracții ne arată câte părți egale se iau în considerare.

a) Începem să analizăm.

• Ambele dreptunghiuri sunt egale.
• Fiecare dreptunghi este împărțit în părți egale.
• Porțiunea colorată din primul dreptunghi este egală cu porțiunea colorată din cel de-al doilea dreptunghi.





• Primul dreptunghi este împărțit în 6 părți egale. Fiecare astfel de parte reprezintă \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}}\) din total. Porțiunea colorată reprezintă \({\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6}}\) din total.





• Al doilea dreptunghi este împărțit în 3 părți egale. Fiecare astfel de parte reprezintă \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}}\) din total. Porțiunea colorată reprezintă \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}\) din total.





• Observăm că 2 părți din primul dreptunghi sunt egale cu o parte din al doilea dreptunghi (au aceeași suprafață). Rezultă că \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6}=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}}\). Acestea sunt fracții echivalente, adică au aceeași valoare. Ele reprezintă aceeași porțiune colorată din dreptunghi.
• În primul dreptunghi avem 6 părți egale (6 șesimi), dintre care 4 sunt colorate. Dacă unim câte 2 astfel de părți, obținem 3 părți egale (3 treimi), dintre care 2 sunt colorate. Numărul total al părților egale se micșorează astfel de 2 ori, de la 6 părți egale ajungem la 3 părți egale. Facem operația de împărțire (6 împărțit la 2 ne dă 3). Numărul părților colorate se micșorează tot de 2 ori, de la 4 părți colorate ajungem la 2 părți colorate (4 împărțit la 2 ne dă 2).





• Obținem fracțiile echivalente \({\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6}}\) și \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}\). Acestea sunt fracții echivalente, adică au aceeași valoare. Ele reprezintă aceeași porțiune colorată din dreptunghi.

Ce a rămas la fel?

• Valoare fracției a rămas aceeași, pentru că în ambele dreptunghiuri avem aceeași porțiune colorată.

Ce s-a schimbat?

• S-a schimbat numărul total al părților egale, adică s-au schimbat numitorii fracțiilor. Numărul total al părților egale a scăzut de 2 ori, de la 6 la 3 (6 împărțit la 2 ne dă 3). Prima fracție are numitorul 6, a doua fracție are numitorul 3.
• Tot de 2 ori a scăzut și numărul părților colorate, adică numărătorii s-au schimbat: prima fracție are numărătorul 4, a doua fracție are numărătorul 2 (4 împărțit la 2 ne dă 2).

Am obținut fracțiile echivalente \({\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6}}\) și \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}\). Împărțind cu 2 numitorul și numărătorul fracției \({\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6}}\), obținem fracția echivalentă \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}\). Cele două fracții au aceeași valoare.

\({\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}\)

b) Începem să analizăm.

• Ambele dreptunghiuri sunt egale.
• Fiecare dreptunghi este împărțit în părți egale.
• Porțiunea colorată din primul dreptunghi este egală cu porțiunea colorată din cel de-al doilea dreptunghi.





• Primul dreptunghi este împărțit în 12 părți egale. Fiecare astfel de parte reprezintă \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}}\) din total. Porțiunea colorată reprezintă \({\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 12}}\) din total.





• Al doilea dreptunghi este împărțit în 3 părți egale. Fiecare astfel de parte reprezintă \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}}\) din total. Porțiunea colorată reprezintă \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}\) din total.





• Observăm că 4 părți din primul dreptunghi sunt egale cu o parte din al doilea dreptunghi (au aceeași suprafață). Înseamnă că \({\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 12}=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}}\). Acestea sunt fracții echivalente, adică au aceeași valoare. Ele reprezintă aceeași porțiune colorată din dreptunghi.
• În primul dreptunghi avem 12 părți egale, dintre care 8 sunt colorate. Dacă unim câte 4 astfel de părți, obținem 3 părți egale (3 treimi), dintre care 2 sunt colorate. Numărul total al părților egale se micșorează astfel de 4 ori, de la 12 părți egale ajungem la 3 părți egale. Facem operația de împărțire (12 împărțit la 4 ne dă 3). Numărul părților colorate se micșorează tot de 4 ori, de la 8 părți colorate ajungem la 2 părți colorate (8 împărțit la 4 ne dă 2).





• Obținem fracțiile echivalente \({\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 12}}\) și \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}\). Acestea sunt fracții echivalente, adică au aceeași valoare. Ele reprezintă aceeași porțiune colorată din dreptunghi.

Ce a rămas la fel?

• Valoare fracției a rămas aceeași, pentru că în ambele dreptunghiuri avem aceeași porțiune colorată.

Ce s-a schimbat?

• S-a schimbat numărul total al părților egale, adică s-au schimbat numitorii fracțiilor. Numărul total al părților egale a scăzut de 4 ori, de la 12 la 3 (12 împărțit la 4 ne dă 3). Prima fracție are numitorul 12, a doua fracție are numitorul 3.
• Tot de 4 ori a scăzut și numărul părților colorate, adică numărătorii s-au schimbat: prima fracție are numărătorul 8, a doua fracție are numărătorul 2 (8 împărțit la 4 ne dă 2).

Am obținut fracțiile echivalente \({\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 12}}\) și \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}\). Împărțind cu 4 numitorul și numărătorul fracției \({\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 12}}\), obținem fracția echivalentă \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}\). Cele două fracții au aceeași valoare.

\({\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 12} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}\)

Considerând subpunctele a) și b), rezultă fracțiile echivalente \({\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6}}\), \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}\) și \({\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 12}}\).

\({\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6} =\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}= \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 12}}\)

c) Începem să analizăm.

• Ambele dreptunghiuri sunt egale.
• Fiecare dreptunghi este împărțit în părți egale.
• Porțiunea colorată din primul dreptunghi este egală cu porțiunea colorată din cel de-al doilea dreptunghi.





• Primul dreptunghi este împărțit în 10 părți egale. Fiecare astfel de parte reprezintă \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 10}}\) din total. Porțiunea colorată reprezintă \({\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 10}}\) din total.





• Al doilea dreptunghi este împărțit în 5 părți egale. Fiecare astfel de parte reprezintă \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 5}}\) din total. Porțiunea colorată reprezintă \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}}\) din total.





• Observăm că 2 părți din primul dreptunghi sunt egale cu 1 parte din al doilea dreptunghi (au aceeași suprafață). Înseamnă că \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 10}=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 5}}\). Acestea sunt fracții echivalente, adică au aceeași valoare. Ele reprezintă aceeași porțiune colorată din dreptunghi.
• În primul dreptunghi avem 10 părți egale, dintre care 6 sunt colorate. Dacă unim câte 2 astfel de părți, obținem 5 părți egale, dintre care 3 sunt colorate. Numărul total al părților egale se micșorează astfel de 2 ori, de la 10 părți egale ajungem la 5 părți egale. Facem operația de împărțire (10 împărțit la 2 ne dă 5). Numărul părților colorate se micșorează tot de 2 ori, de la 6 părți colorate ajungem la 3 părți colorate (6 împărțit la 2 ne dă 3).





• Obținem fracțiile echivalente \({\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 10}}\) și \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}}\). Acestea sunt fracții echivalente, adică au aceeași valoare. Ele reprezintă aceeași porțiune colorată din dreptunghi.

Ce a rămas la fel?

• Valoare fracției a rămas aceeași, pentru că în ambele dreptunghiuri avem aceeași porțiune colorată.

Ce s-a schimbat?

• S-a schimbat numărul total al părților egale, adică s-au schimbat numitorii fracțiilor. Numărul total al părților egale a scăzut de 2 ori, de la 10 la 5 (10 împărțit la 2 ne dă 5). Prima fracție are numitorul 10, a doua fracție are numitorul 5.
• Tot de 2 ori a scăzut și numărul părților colorate, adică numărătorii s-au schimbat: prima fracție are numărătorul 6, a doua fracție are numărătorul 3 (6 împărțit la 2 ne dă 3).

Am obținut fracțiile echivalente \({\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 10}}\) și \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}}\). Împărțind cu 2 numitorul și numărătorul fracției \({\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 10}}\), obținem fracția echivalentă \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}}\). Cele două fracții au aceeași valoare.

\({\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 10} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}}\)

d) Începem să analizăm.

• Ambele dreptunghiuri sunt egale.
• Fiecare dreptunghi este împărțit în părți egale.
• Porțiunea colorată din primul dreptunghi este egală cu porțiunea colorată din cel de-al doilea dreptunghi.





• Primul dreptunghi este împărțit în 20 părți egale. Fiecare astfel de parte reprezintă \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 20}}\) din total. Porțiunea colorată reprezintă \({\frac{\displaystyle 12}{\displaystyle 20}}\) din total.





• Al doilea dreptunghi este împărțit în 5 părți egale. Fiecare astfel de parte reprezintă \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 5}}\) din total. Porțiunea colorată reprezintă \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}}\) din total.





• Observăm că 4 părți din primul dreptunghi sunt egale cu 1 parte din al doilea dreptunghi (au aceeași suprafață). Înseamnă că \({\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 20}=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 5}}\). Acestea sunt fracții echivalente, adică au aceeași valoare. Ele reprezintă aceeași porțiune colorată din dreptunghi.
• În primul dreptunghi avem 20 de părți egale, dintre care 12 sunt colorate. Dacă unim câte 4 astfel de părți, obținem 5 părți egale, dintre care 3 sunt colorate. Numărul total al părților egale se micșorează astfel de 4 ori, de la 20 de părți egale ajungem la 5 părți egale. Facem operația de împărțire (20 împărțit la 4 ne dă 5). Numărul părților colorate se micșorează tot de 4 ori, de la 12 părți colorate ajungem la 3 părți colorate (12 împărțit la 4 ne dă 3).





• Obținem fracțiile echivalente \({\frac{\displaystyle 12}{\displaystyle 20}}\) și \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}}\). Acestea sunt fracții echivalente, adică au aceeași valoare. Ele reprezintă aceeași porțiune colorată din dreptunghi.

Ce a rămas la fel?

• Valoare fracției a rămas aceeași, pentru că în ambele dreptunghiuri avem aceeași porțiune colorată.

Ce s-a schimbat?

• S-a schimbat numărul total al părților egale, adică s-au schimbat numitorii fracțiilor. Numărul total al părților egale a scăzut de 4 ori, de la 20 la 5 (20 împărțit la 4 ne dă 5). Prima fracție are numitorul 20, a doua fracție are numitorul 5.
• Tot de 4 ori a scăzut și numărul părților colorate, adică numărătorii s-au schimbat: prima fracție are numărătorul 12, a doua fracție are numărătorul 3 (12 împărțit la 4 ne dă 3).

Am obținut fracțiile echivalente \({\frac{\displaystyle 12}{\displaystyle 20}}\) și \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}}\). Împărțind cu 4 numitorul și numărătorul fracției \({\frac{\displaystyle 12}{\displaystyle 20}}\), obținem fracția echivalentă \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}}\). Cele două fracții au aceeași valoare.

\({\frac{\displaystyle 12}{\displaystyle 20} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}}\)

Considerând subpunctele c) și d), rezultă fracțiile echivalente \({\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 10}}\), \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}}\) și \({\frac{\displaystyle 12}{\displaystyle 20}}\).

\({\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 10} =\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}= \frac{\displaystyle 12}{\displaystyle 20}}\)