a) Să arătăm că numărul \({A=10^n+8}\) este divizibil cu 3 și cu 9, unde \({ n \in ℕ}\).
Un număr este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3.
Un număr este divizibil cu 9 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 9. Un număr divizibil cu 9 este divizibil și cu 3, pentru că 9 se împarte exact la 3.
Înseamnă că, dacă suma cifrelor unui număr este divizibilă cu 9, atunci este divizibil și cu 9, și cu 3.
Să calculăm suma cifrelor numărului \({A=10^n+8}\).
Numărul \({10^n}\) este format din cifra 1 urmată de \({n}\) zerouri.
\({10^n=1\underbrace{0...0}_{\displaystyle de \; n \;ori}}\)
Rezultă că:
\({A=1\underbrace{0...0}_{\displaystyle de \; n \;ori}+8=1\underbrace{0...0}_{\displaystyle de \; n-1 \;ori}8}\)
Numărul \({A=10...08}\) are suma cifrelor egală cu 9, deci numărul este divizibil și cu 3, și cu 9.
\({1+0 \; + \; ... \; + \; 0+8=9}\)
9 este divizibil cu 3 (scriem \({9 \; \vdots \; 3}\)), deci numărul \({A=10^n+8}\) este divizibil cu 3.
9 este divizibil cu 9 (scriem \({9 \; \vdots \; 9}\)), deci numărul \({A=10^n+8}\) este divizibil cu 9.
b) Să arătăm că numărul \({B=2^6 \cdot 5^3+1}\) este divizibil cu 3 și cu 9. Efectuăm calculul.
\({2^6 \cdot 5^3+1=64 \cdot 125 +1}\)
\({\textcolor{white}{2^6 \cdot 5^3+1}=8000 +1}\)
\({\textcolor{white}{2^6 \cdot 5^3+1}=8001}\)
sau
\({2^6 \cdot 5^3+1=2^{3 \; + \; 3} \cdot 5^3 +1}\)
\({\textcolor{white}{2^6 \cdot 5^3+1}=2^3 \cdot 2^3 \cdot 5^3 +1}\)
\({\textcolor{white}{2^6 \cdot 5^3+1}=2^3 \cdot 5^3 \cdot 2^3 +1}\)
\({\textcolor{white}{2^6 \cdot 5^3+1}=(2 \cdot 5)^3 \cdot 2^3 +1}\)
\({\textcolor{white}{2^6 \cdot 5^3+1}=10^3 \cdot 8 +1}\)
\({\textcolor{white}{2^6 \cdot 5^3+1}=1000 \cdot 8 +1}\)
\({\textcolor{white}{2^6 \cdot 5^3+1}=8000 +1}\)
\({\textcolor{white}{2^6 \cdot 5^3+1}=8001}\)
Am obținut că \({B=2^6 \cdot 5^3+1=8001}\). Suma cifrelor acestui număr este egală cu 9 și este divizibilă și cu 3, și cu 9. Rezultă că numărul B este divizibil cu 3 și 9.
\({8+0 +0+1=9}\)
9 este divizibil cu 3 (scriem \({9 \; \vdots \; 3}\)), deci numărul \({B}\) este divizibil cu 3.
9 este divizibil cu 9 (scriem \({9 \; \vdots \; 9}\)), deci numărul \({B}\) este divizibil cu 9.
c) Să arătăm că numărul \({C=2^{534} +2^{531}}\) este divizibil cu 3 și cu 9. Exponenții sunt foarte mari, deci nu vom calcula aceste puteri. Vom folosi regulile de calcul cu puteri; ne așteptăm să putem scrie numărul dat ca produs în care unul dintre factori să fie divizibil cu 3 și cu 9.
\({2^{534} +2^{531}=2^{531}(2^{534 \; - \; 531}+2^{531 \; - \; 531})}\)
\({\textcolor{white}{2^{534} +2^{531}}=2^{531}(2^{3}+2^{0})}\)
\({\textcolor{white}{2^{534} +2^{531}}=2^{531}(8+1)}\)
\({\textcolor{white}{2^{534} +2^{531}}=2^{531} \cdot 9}\)
Am scris numărul \({C=2^{534} +2^{531}}\) ca produs în care unul dintre factori este 9. Deoarece 9 este divizibil cu 3 și cu 9, rezultă că numărul \({C}\) este și el divizibil cu 3 și cu 9.
\({C=2^{534} +2^{531}=2^{531} \cdot 9}\)
9 este divizibil cu 3 (scriem \({9 \; \vdots \; 3}\)), deci numărul \({C}\) este divizibil cu 3.
9 este divizibil cu 9 (scriem \({9 \; \vdots \; 9}\)), deci numărul \({C}\) este divizibil cu 9.
d) Să arătăm că numărul \({D=5^{161} \cdot 2+ 25^{80} \cdot 11}\) este divizibil cu 3 și cu 5. Exponenții sunt foarte mari, deci nu vom calcula puterile. Vom folosi regulile de calcul cu puteri; ne așteptăm să putem scrie numărul dat ca produs în care unul dintre factori să fie divizibil cu 3 și cu 5.
\({5^{161} \cdot 2+ 25^{80} \cdot 11=5^{161} \cdot 2 + (5^2)^{80} \cdot 11}\)
\({\textcolor{white}{5^{161} \cdot 2+ 25^{80} \cdot 11}=5^{161} \cdot 2 + 5^{2 \; \cdot \; 80} \cdot 11}\)
\({\textcolor{white}{5^{161} \cdot 2+ 25^{80} \cdot 11}=5^{161} \cdot 2 + 5^{160} \cdot 11}\)
\({\textcolor{white}{5^{161} \cdot 2+ 25^{80} \cdot 11}=5^{160} (5^{161 \; - \; 160} \cdot 2 + 5^{160 \; - \; 160} \cdot 11)}\)
\({\textcolor{white}{5^{161} \cdot 2+ 25^{80} \cdot 11}=5^{160} (5^{1} \cdot 2 + 5^{0} \cdot 11)}\)
\({\textcolor{white}{5^{161} \cdot 2+ 25^{80} \cdot 11}=5^{160} (5 \cdot 2 + 1 \cdot 11)}\)
\({\textcolor{white}{5^{161} \cdot 2+ 25^{80} \cdot 11}=5^{160} (10 + 11)}\)
\({\textcolor{white}{5^{161} \cdot 2+ 25^{80} \cdot 11}=5^{160} \cdot 21}\)
Am scris numărul \({D}\) ca produs în care unul dintre factori este divizibil cu 3 (factorul 21), iar celălalt factor este divizibil cu 5 (factorul \({5^{160}}\)).
\({D=5^{161} \cdot 2+ 25^{80} \cdot 11=5^{160} \cdot 21}\)
21 este divizibil cu 3 (scriem \({21 \; \vdots \; 3}\)), deci numărul \({D}\) este divizibil cu 3.
\({5^{160}}\) este divizibil cu 5 (scriem \({5^{160} \; \vdots \; 5}\)), deci numărul \({D}\) este divizibil cu 5.
