∎ Criterii de divizibilitate cu 2, 5, 10
Exersează! - 1
1. Completați tabelul următor cu DA sau NU:
Arată rezolvarea
Ne amintim:
- Criteriul de divizibilitate cu 2:
Numerele care au ultima cifră 0, 2, 4, 6 sau 8 sunt divizibile cu 2.
- Criteriul de divizibilitate cu 5:
Numerele care au ultima cifră 0 sau 5 sunt divizibile cu 5.
- Criteriul de divizibilitate cu 10:
Numerele care au ultima cifră 0 sunt divizibile cu 10.
- Criteriul de divizibilitate cu \({10^n}\):
Numerele care au ultimele \({n}\) cifre egale cu 0 sunt divizibile cu \({10^n}\), unde \({n}\) este număr natural mai mare sau egal cu 1.
Completăm tabelul:
| Numărul |
437 |
130 |
5135 |
26 |
20400 |
| \({\text{divizibil}\;\text{cu} \;2}\) |
NU |
DA |
NU |
DA |
DA |
| \({\text{divizibil}\;\text{cu} \;5}\) |
NU |
DA |
DA |
NU |
DA |
| \({\text{divizibil}\;\text{cu} \;10}\) |
NU |
DA |
NU |
NU |
DA |
| \({\text{divizibil}\;\text{cu} \;100}\) |
NU |
NU |
NU |
NU |
DA |
| \({\text{divizibil}\;\text{cu} \;10000}\) |
NU |
NU |
NU |
NU |
NU |
2. Dați trei exemple de numere naturale care au cifra zecilor 7 și sunt divizibile cu 2.
Arată rezolvarea
Ne amintim că numerele care sunt divizibile cu 2 au ultima cifră (cifra unităților) egală cu 0, 2, 4, 6 sau 8.
Există o infinitate de numere care să aibă cifra zecilor egală cu 7 și care sunt divizibile cu 2. De exemplu, 78, 974, 10372 sunt astfel de numere. Alte asemenea numere sunt 2576, 105772, 93874.
3. Dați cinci exemple de numere naturale care care sunt divizibile cu 2, 5 și 10.
Arată rezolvarea
Ne amintim:
- Numerele care au ultima cifră 0, 2, 4, 6 sau 8 sunt divizibile cu 2.
- Numerele care au ultima cifră 0 sau 5 sunt divizibile cu 5.
- Numerele care au ultima cifră 0 sunt divizibile cu 10.
Rezultă că, pentru a fi divizibile cu 2, 5 și 10, un număr trebuie să aibă ultima cifră 0.
Numere divizibile cu 2, 5 și 10 sunt, de exemplu, 10, 30, 90, 1040, 34780, 5580, 2610.
4. Scrieți toate numerele divizibile cu 5 de forma:
a) \({\overline{571x}}\);
b) \({\overline{x34x}}\);
c) \({\overline{29xx}}\);
d) \({\overline{90x0}}\);
e) \({\overline{x0yx}, x \neq y}\).
f) \({\overline{xx4y}, x \neq y}\).
Arată rezolvarea
Ne amintim:
- Numerele care au ultima cifră 0 sau 5 sunt divizibile cu 5.
a) Vrem să găsim numerele de forma \({\overline{571x}}\) divizibile cu 5. Rezultă că aceste numere trebuie să aibă ultima cifră egală cu 0 sau 5. Deci \({x}\) poate fi 0 sau 5.
Am obținut că numerele de forma \({\overline{571x}}\) divizibile cu 5 sunt \({571\color{#ad6f03}0}\) și \({571\color{#ad6f03}5}\).
b) Vrem să găsim numerele de forma \({\overline{x34x}}\) divizibile cu 5. Rezultă că aceste numere trebuie să aibă ultima cifră egală cu 0 sau 5. Deci \({x}\) poate fi 0 sau 5.
Observăm că prima cifră este \({x}\). Prima cifră a unui număr nu poate fi 0, deci \({x}\) nu poate fi 0. Rezultă că \({x}\) este egal cu 5.
Am obținut că există un singur număr de forma \({\overline{x34x}}\) divizibil cu 5. Acesta este \({\textcolor{#ad6f03}{5}34\color{#ad6f03}5}\).
c) Vrem să găsim numerele de forma \({\overline{29xx}}\) divizibile cu 5. Rezultă că aceste numere trebuie să aibă ultima cifră egală cu 0 sau 5. Deci \({x}\) poate fi 0 sau 5.
Rezultă că numerele de forma \({\overline{29xx}}\) divizibile cu 5 sunt \({29\textcolor{#ad6f03}{00}}\) și \({29\textcolor{#ad6f03}{55}}\).
d) Vrem să găsim numerele de forma \({\overline{90x0}}\) divizibile cu 5. Acestea au ultima cifră egală cu 0, deci toate sunt divizibile cu 5. Rezultă că \({x}\) poate fi orice cifră: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sau 9.
Rezultă că numerele de forma \({\overline{90x0}}\) divizibile cu 5 sunt \({90\textcolor{#ad6f03}{0}0}\), \({90\textcolor{#ad6f03}{1}0}\), \({90\textcolor{#ad6f03}{2}0}\), \({90\textcolor{#ad6f03}{3}0}\), \({90\textcolor{#ad6f03}{4}0}\), \({90\textcolor{#ad6f03}{5}0}\), \({90\textcolor{#ad6f03}{6}0}\), \({90\textcolor{#ad6f03}{7}0}\), \({90\textcolor{#ad6f03}{8}0}\) și \({90\textcolor{#ad6f03}{9}0}\).
e) Vrem să găsim numerele de forma \({\overline{x0yx}}\) divizibile cu 5, cu \({x \neq y}\). Pentru a fi divizibile cu 5, aceste numere trebuie să aibă ultima cifră 0 sau 5.
Observăm că prima și ultima cifră sunt egale cu \({x}\). Cum prima cifră a unui număr nu poate fi 0, rezultă că \({x}\) poate fi egal doar cu 5.
Avem \({x=5}\). Condiția \({x \neq y}\) ne indică faptul că \({y}\) poate fi orice cifră diferită de 5, adică \({y}\) poate fi 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 sau 9.
Am obținut că numerele de forma \({\overline{x0yx}}\) divizibile cu 5, cu \({x \neq y}\) sunt \({\textcolor{#0371b0}{5}0\textcolor{#ad6f03}{0}\textcolor{#0371b0}{5}}\), \({\textcolor{#0371b0}{5}0\textcolor{#ad6f03}{1}\textcolor{#0371b0}{5}}\), \({\textcolor{#0371b0}{5}0\textcolor{#ad6f03}{2}\textcolor{#0371b0}{5}}\), \({\textcolor{#0371b0}{5}0\textcolor{#ad6f03}{3}\textcolor{#0371b0}{5}}\), \({\textcolor{#0371b0}{5}0\textcolor{#ad6f03}{4}\textcolor{#0371b0}{5}}\), \({\textcolor{#0371b0}{5}0\textcolor{#ad6f03}{6}\textcolor{#0371b0}{5}}\), \({\textcolor{#0371b0}{5}0\textcolor{#ad6f03}{7}\textcolor{#0371b0}{5}}\), \({\textcolor{#0371b0}{5}0\textcolor{#ad6f03}{8}\textcolor{#0371b0}{5}}\) și \({\textcolor{#0371b0}{5}0\textcolor{#ad6f03}{9}\textcolor{#0371b0}{5}}\).
f) Vrem să găsim numerele de forma \({\overline{xx4y}}\) divizibile cu 5, cu \({x \neq y}\). Pentru a fi divizibile cu 5, aceste numere trebuie să aibă ultima cifră 0 sau 5.
Rezultă că \({y}\) poate fi 0 sau 5.
Un număr nu poate avea prima cifră 0, deci \({x}\) nu poate fi 0. Înseamnă că \({x}\) poate fi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sau 9.
Trebuie să fim atenți la condiția \({x \neq y}\). Pentru \({y=5}\), nu putem avea \({x =5}\).
- Pentru \({y=0}\), obținem următoarele numere: \({\textcolor{#0371b0}{11}4\textcolor{#ad6f03}{0}}\), \({\textcolor{#0371b0}{22}4\textcolor{#ad6f03}{0}}\), \({\textcolor{#0371b0}{33}4\textcolor{#ad6f03}{0}}\), \({\textcolor{#0371b0}{44}4\textcolor{#ad6f03}{0}}\), \({\textcolor{#0371b0}{55}4\textcolor{#ad6f03}{0}}\), \({\textcolor{#0371b0}{66}4\textcolor{#ad6f03}{0}}\), \({\textcolor{#0371b0}{77}4\textcolor{#ad6f03}{0}}\), \({\textcolor{#0371b0}{88}4\textcolor{#ad6f03}{0}}\) și \({\textcolor{#0371b0}{99}4\textcolor{#ad6f03}{0}}\).
- Pentru \({y=5}\), obținem următoarele numere: \({\textcolor{#0371b0}{11}4\textcolor{#ad6f03}{5}}\), \({\textcolor{#0371b0}{22}4\textcolor{#ad6f03}{5}}\), \({\textcolor{#0371b0}{33}4\textcolor{#ad6f03}{5}}\), \({\textcolor{#0371b0}{44}4\textcolor{#ad6f03}{5}}\), \({\textcolor{#0371b0}{66}4\textcolor{#ad6f03}{5}}\), \({\textcolor{#0371b0}{77}4\textcolor{#ad6f03}{5}}\), \({\textcolor{#0371b0}{88}4\textcolor{#ad6f03}{5}}\) și \({\textcolor{#0371b0}{99}4\textcolor{#ad6f03}{5}}\).
Numărul \({\textcolor{#0371b0}{55}4\textcolor{#ad6f03}{5}}\) nu respectă condiția \({x \neq y}\), deci nu îl vom considera.

Ne amintim:
- Criteriul de divizibilitate cu 2:
Numerele care au ultima cifră 0, 2, 4, 6 sau 8 sunt divizibile cu 2.
- Criteriul de divizibilitate cu 5:
Numerele care au ultima cifră 0 sau 5 sunt divizibile cu 5.
- Criteriul de divizibilitate cu 10:
Numerele care au ultima cifră 0 sunt divizibile cu 10.
- Criteriul de divizibilitate cu \({10^n}\):
Numerele care au ultimele \({n}\) cifre egale cu 0 sunt divizibile cu \({10^n}\), unde \({n}\) este număr natural mai mare sau egal cu 1.
Dacă vreți să susțineți funcționarea și dezvoltarea mathema.ro, puteți contribui prin donație. Aceasta nu elimină reclamele existente, dar îmi permite să accelerez dezvoltarea website-ului și să acopăr costurile de funcționare.
Nume titular: GEORGIU LIVIA-NICOLETA
IBAN: RO20BTRLRONCRT0287588001
SWIFT: BTRLRO22
Mulțumesc! ❤️