a) Primii cinci multipli ai lui 3 sunt 0, 3, 6, 9, 12.
Îl considerăm și pe 0 multiplu al lui 3, pentru că nu se precizează altfel în enunț.
Pentru a calcula primii multipli ai lui 3, îl înmulțim pe 3, pe rând, cu 0, 1, 2, 3, 4, ....
Se cer primii cinci multipli ai lui 3. Îi calculăm astfel:
\({3 \cdot 0 = 0}\)
\({3 \cdot 1 = 3}\)
\({3 \cdot 2 = 6}\)
\({3 \cdot 3 = 9}\)
\({3 \cdot 4 = 12}\)
b) Primii cinci multipli nenuli ai lui 3 sunt 3, 6, 9, 12, 15.
În enunț se cer doar multiplii nenuli, adică diferiți de 0. Înseamnă că nu-l considerăm pe 0.
Pentru a calcula primii multipli nenuli ai lui 3, îl înmulțim pe 3, pe rând, cu 1, 2, 3, 4, ....
Se cer primii cinci multipli ai lui 3. Îi calculăm astfel:
\({3 \cdot 1 = 3}\)
\({3 \cdot 2 = 6}\)
\({3 \cdot 3 = 9}\)
\({3 \cdot 4 = 12}\)
\({3 \cdot 5 = 15}\)
c) Primii șase multipli nenuli ai lui 5 sunt 5, 10, 15, 20, 25, 30.
În enunț se cer doar multiplii nenuli, adică diferiți de 0. Înseamnă că nu-l considerăm pe 0.
Pentru a calcula primii multipli nenuli ai lui 5, îl înmulțim pe 5, pe rând, cu 1, 2, 3, 4, ....
Se cer primii șase multipli ai lui 5. Îi calculăm astfel:
\({5 \cdot 1 = 5}\)
\({5 \cdot 2 = 10}\)
\({5 \cdot 3 = 15}\)
\({5 \cdot 4 = 20}\)
\({5 \cdot 5 = 25}\)
\({5 \cdot 6 = 30}\)
d) Primii șase multipli nenuli ai lui 7 sunt 7, 14, 21, 28, 35, 42.
În enunț se cer doar multiplii nenuli, adică diferiți de 0. Înseamnă că nu-l considerăm pe 0.
Pentru a calcula primii multipli nenuli ai lui 7, îl înmulțim pe 7, pe rând, cu 1, 2, 3, 4, ....
Se cer primii șase multipli ai lui 7. Îi calculăm astfel:
\({7 \cdot 1 = 7}\)
\({7 \cdot 2 = 14}\)
\({7 \cdot 3 = 21}\)
\({7 \cdot 4 = 28}\)
\({7 \cdot 5 = 35}\)
\({7 \cdot 6 = 42}\)
e) Primii șapte multipli nenuli ai lui 10 sunt 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70.
În enunț se cer doar multiplii nenuli, adică diferiți de 0. Înseamnă că nu-l considerăm pe 0.
Pentru a calcula primii multipli nenuli ai lui 10, îl înmulțim pe 10, pe rând, cu 1, 2, 3, 4, ....
Se cer primii șase multipli ai lui 5. Îi calculăm astfel:
\({10 \cdot 1 = 10}\)
\({10 \cdot 2 = 20}\)
\({10 \cdot 3 = 30}\)
\({10 \cdot 4 = 40}\)
\({10 \cdot 5 = 50}\)
\({10 \cdot 6 = 60}\)
\({10 \cdot 7 = 70}\)
2. Calculați cel mai mic multiplu comun al următoarelor perechi de numere, conform modelului dat. Completați apoi casetele, astfel încât să obțineți afirmații adevărate:
Model: Cel mai mic multiplu comun al numerelor 6 și 9 este 18.
Multiplii nenuli (diferiți de 0) ai lui 6 sunt: 6, 12, 18, 24, 30, ...
Multiplii nenuli (diferiți de 0) ai lui 9 sunt: 9, 18, ...
Cel mai mic multiplu comun al numerelor 6 și 9 este 18.
Scriem \({[6, 9]=18}\)
a) Cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 și 6 este .
b) Cel mai mic multiplu comun al numerelor 9 și 5 este .
c) Cel mai mic multiplu comun al numerelor 10 și 4 este .
d) Cel mai mic multiplu comun al numerelor 5 și 15 este .
e) Cel mai mic multiplu comun al numerelor 21 și 14 este .
calculăm cel mai mic multiplu comun al numerelor date;
înmulțim cel mai mic multiplu comun al numerelor date cu un număr natural și obținem un alt multiplu al numerelor respective.
Varianta 2:
calculăm produsul numerelor date; acesta este un multiplu comun al acestora (nu neapărat cel mai mic);
înmulțim multiplul comun găsit cu un număr natural și obținem un alt multiplu comun.
a) Să calculăm patru multipli comuni ai numerelor 7 și 9.
Calculăm cel mai mic multiplu comun al numerelor 7 și 9:
Multiplii nenuli ai lui 7 sunt 7, 14, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, ...
Multiplii nenuli ai lui 9 sunt 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, ...
Cel mai mic multiplu comun al numerelor 7 și 9 este 63.
Înmulțim cel mai mic multiplu comun al numerelor date cu un număr natural și obținem un alt multiplu al numerelor respective. Calculăm câteva exemple:
\({63 \cdot 2=126}\)
\({63 \cdot 3=189}\)
\({63 \cdot 4=252}\)
\({63 \cdot 10=630}\)
Exemple de multipli comuni ai numerelor 7 și 9: 63, 126, 189, 252, 630.
b) Să calculăm patru multipli comuni ai numerelor 12 și 30.
Calculăm cel mai mic multiplu comun al numerelor 12 și 30:
Multiplii nenuli ai lui 12 sunt 12, 24, 36, 48, 60, 72, ...
Multiplii nenuli ai lui 30 sunt 30, 60, 90, ...
Cel mai mic multiplu comun al numerelor 12 și 30 este 60.
Înmulțim cel mai mic multiplu comun al numerelor date cu un număr natural și obținem un alt multiplu al numerelor respective. Calculăm câteva exemple:
\({60 \cdot 2=120}\)
\({60 \cdot 3=180}\)
\({60 \cdot 4=240}\)
\({60 \cdot 5=300}\)
Exemple de multipli comuni ai numerelor 12 și 30: 60, 120, 180, 240, 300.
c) Să calculăm patru multipli comuni ai numerelor 6 și 14.
Calculăm produsul numerelor date; rezultatul este un multiplu comun al acestora.
\({6 \cdot 14=84}\)
Am găsit că un multiplu comun al numerelor 6 și 14 este 84.
Înmulțim acest multiplu comun al numerelor date cu un număr natural și obținem un alt multiplu al numerelor respective. Calculăm câteva exemple:
\({84 \cdot 2=168}\)
\({84 \cdot 3=252}\)
\({84 \cdot 4=336}\)
\({84 \cdot 10=840}\)
Exemple de multipli comuni ai numerelor 6 și 14: 84, 168, 252, 336, 840.
d) Să calculăm patru multipli comuni ai numerelor 18 și 20.
Calculăm produsul numerelor date; rezultatul este un multiplu comun al acestora.
\({18 \cdot 20=360}\)
Am găsit că un multiplu comun al numerelor 18 și 20 este 360.
Înmulțim acest multiplu comun al numerelor date cu un număr natural și obținem un alt multiplu al numerelor respective. Calculăm câteva exemple:
\({360 \cdot 2=720}\)
\({360 \cdot 3=1080}\)
\({360 \cdot 4=1440}\)
\({360 \cdot 10=3600}\)
Exemple de multipli comuni ai numerelor 18 și 20: 360, 720, 1080, 1440, 3600.
4. Calculați cel mai mic multiplu comun al următoarelor perechi de numere, conform modelului dat. Completați apoi casetele, astfel încât să obțineți afirmații adevărate:
Model: Cel mai mic multiplu comun al numerelor 3 și 5 este 15.
Numerele 3 și 5 sunt prime între ele, deci singurul lor divizor comun este 1. Scriem \({(3, 5)=1}\).
Aplicăm formula \({(a, b) \cdot [a, b]=a \cdot b}\), unde:
\({(a, b) }\) este cel mai mare divizor comun al numerelor naturale \({a}\) și \({b}\);
\({[a, b] }\) este cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale \({a}\) și \({b}\).
Am obținut că \({[7, 10]=70}\), adică cel mai mic multiplu comun al numerlor 7 și 10 este 70.
5. Calculați cel mai mic multiplu comun al următoarelor perechi de numere, conform modelului dat. Completați apoi casetele, astfel încât să obțineți afirmații adevărate:
Model: Cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 și 10 este 20.
Produsul a două numere naturale este egal cu produsul dintre cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun al numerelor respective.
Aplicăm formula \({(a, b) \cdot [a, b]=a \cdot b}\), unde:
\({(a, b) }\) este cel mai mare divizor comun al numerelor naturale \({a}\) și \({b}\);
\({[a, b] }\) este cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale \({a}\) și \({b}\).
Rezultă că:
\({[a, b] =\frac{\displaystyle a \cdot b}{\displaystyle (a,b)}}\)
(împărțim produsul numerelor la cel mai mare divizor comun al acestora și obținem cel mai mic multiplu comun al numerelor date)
Calculăm mai întâi cel mai mare divizor comun al numerelor 4 și 10.
Divizorii lui 4 sunt 1, 2 și 4.
Divizorii lui 10 sunt 1, 2, 5 și 10.
Cel mai mare divizor comun al numerelor 4 și 10 este 2.
\({(4, 10) =2}\)
Rezultă că:
\({(4, 10) \cdot [4, 10]=4 \cdot 10 = 40}\)
\({2 \cdot [4, 10]= 40}\)
\({[4, 10]=40 : 2=20}\)
Am obținut că cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 și 10 este 20.
a) Cel mai mic multiplu comun al numerelor 12 și 15 este .
b) Cel mai mic multiplu comun al numerelor 10 și 14 este .
c) Cel mai mic multiplu comun al numerelor 8 și 20 este .
d) Cel mai mic multiplu comun al numerelor 18 și 27 este .
e) Cel mai mic multiplu comun al numerelor 16 și 24 este .
a) Cel mai mic multiplu comun al numerelor 12 și 15 este 60.
Produsul a două numere naturale este egal cu produsul dintre cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun al numerelor respective.
Aplicăm formula \({(a, b) \cdot [a, b]=a \cdot b}\), unde:
\({(a, b) }\) este cel mai mare divizor comun al numerelor naturale \({a}\) și \({b}\);
\({[a, b] }\) este cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale \({a}\) și \({b}\).
Calculăm mai întâi cel mai mare divizor comun al numerelor 12 și 15.
Divizorii lui 12 sunt 1, 2, 3, 4, 6 și 12.
Divizorii lui 15 sunt 1, 3, 5 și 15.
Cel mai mare divizor comun al numerelor 12 și 15 este 3.
\({(12, 15) =3}\)
Rezultă că:
\({(12, 15) \cdot [12, 15]=12 \cdot 15 = 180}\)
\({3 \cdot [12, 15]= 180}\)
\({[12, 15]=180 : 2=60}\)
Am obținut că cel mai mic multiplu comun al numerelor 12 și 15 este 60.
b) Cel mai mic multiplu comun al numerelor 10 și 14 este 70.
Produsul a două numere naturale este egal cu produsul dintre cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun al numerelor respective.
Aplicăm formula \({(a, b) \cdot [a, b]=a \cdot b}\), unde:
\({(a, b) }\) este cel mai mare divizor comun al numerelor naturale \({a}\) și \({b}\);
\({[a, b] }\) este cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale \({a}\) și \({b}\).
Calculăm mai întâi cel mai mare divizor comun al numerelor 10 și 14.
Divizorii lui 10 sunt 1, 2, 5 și 10.
Divizorii lui 14 sunt 1, 2, 7 și 14.
Cel mai mare divizor comun al numerelor 10 și 14 este 2.
\({(10, 14) =2}\)
Rezultă că:
\({(10, 14) \cdot [10, 14]=10 \cdot 14 = 140}\)
\({2 \cdot [10, 14]= 140}\)
\({[10, 14]=140 : 2=70}\)
Am obținut că cel mai mic multiplu comun al numerelor 10 și 14 este 70.
c) Cel mai mic multiplu comun al numerelor 8 și 20 este 40.
Produsul a două numere naturale este egal cu produsul dintre cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun al numerelor respective.
Aplicăm formula \({(a, b) \cdot [a, b]=a \cdot b}\), unde:
\({(a, b) }\) este cel mai mare divizor comun al numerelor naturale \({a}\) și \({b}\);
\({[a, b] }\) este cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale \({a}\) și \({b}\).
Calculăm mai întâi cel mai mare divizor comun al numerelor 8 și 20.
Divizorii lui 8 sunt 1, 2, 4 și 8.
Divizorii lui 20 sunt 1, 2, 4, 5, 10 și 20.
Cel mai mare divizor comun al numerelor 8 și 20 este 4.
\({(8, 20) =4}\)
Rezultă că:
\({(8, 20) \cdot [8, 20]=8 \cdot 20 = 160}\)
\({4 \cdot [8, 20]= 160}\)
\({[8, 20]=160 : 4=40}\)
Am obținut că cel mai mic multiplu comun al numerelor 8 și 20 este 40.
d) Cel mai mic multiplu comun al numerelor 18 și 27 este 54.
Produsul a două numere naturale este egal cu produsul dintre cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun al numerelor respective.
Aplicăm formula \({(a, b) \cdot [a, b]=a \cdot b}\), unde:
\({(a, b) }\) este cel mai mare divizor comun al numerelor naturale \({a}\) și \({b}\);
\({[a, b] }\) este cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale \({a}\) și \({b}\).
Calculăm mai întâi cel mai mare divizor comun al numerelor 18 și 27.
Divizorii lui 18 sunt 1, 2, 3, 6, 9 și 18.
Divizorii lui 27 sunt 1, 3, 9 și 27.
Cel mai mare divizor comun al numerelor 18 și 27 este 9.
\({(18, 27) =9}\)
Rezultă că:
\({(18, 27) \cdot [18, 27]=18 \cdot 27 = 486}\)
\({9 \cdot [18, 27]= 486}\)
\({[18, 27]=486 : 9=54}\)
Am obținut că cel mai mic multiplu comun al numerelor 18 și 27 este 54.
e) Cel mai mic multiplu comun al numerelor 16 și 24 este 48.
Produsul a două numere naturale este egal cu produsul dintre cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun al numerelor respective.
Aplicăm formula \({(a, b) \cdot [a, b]=a \cdot b}\), unde:
\({(a, b) }\) este cel mai mare divizor comun al numerelor naturale \({a}\) și \({b}\);
\({[a, b] }\) este cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale \({a}\) și \({b}\).
Calculăm mai întâi cel mai mare divizor comun al numerelor 16 și 24.
Divizorii lui 16 sunt 1, 2, 4, 8 și 16.
Divizorii lui 24 sunt 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 și 24.
Cel mai mare divizor comun al numerelor 16 și 24 este 8.
\({(16, 24) =8}\)
Rezultă că:
\({(16, 24) \cdot [16, 24]=16 \cdot 24 = 384}\)
\({8 \cdot [16, 24]= 384}\)
\({[16, 24]=384 : 8=48}\)
Am obținut că cel mai mic multiplu comun al numerelor 16 și 24 este 48.
Rezumat
Ne amintim:
Pentru a a calcula un multiplu al două sau mai multe numere naturale, înmulțim numerele.
Pentru a calcula cel mai mic multiplu al două numere naturale \({a}\) și \({b}\) (notat \({[a, b]}\)), putem proceda astfel:
Metoda 1:
Scriem primii multipli diferiți de 0 ai lui \({a}\).
Scriem primii multipli diferiți de 0 ai lui \({b}\).
Observăm care este cel mai mic multiplu comun al celor două numere.
Metoda 2:
Aplicăm formula \({(a, b) \cdot [a, b]=a \cdot b}\), unde:
\({(a, b) }\) este cel mai mare divizor comun al numerelor naturale \({a}\) și \({b}\);
\({[a, b] }\) este cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale \({a}\) și \({b}\).
Calculăm mai întâi cel mai mare divizor comun al numerelor \({a}\) și \({b}\).
Scriem divizorii lui \({a}\).
Scriem divizorii lui \({b}\).
Observăm care este cel mai mare divizor comun al celor două numere.
Calculăm produsul numerelor \({a}\) și \({b}\).
Calculăm cel mai mic multiplu comun al numerelor \({a}\) și \({b}\).
\({[a, b]=\frac{\displaystyle a \cdot b}{\displaystyle (a, b)}}\)
Am obținut că cel mai mic multiplu comun al numerelor \({a}\) și \({b}\) este egal cu produsul numerelor împărțit la cel mai mare divizor comun al acestora.
Cel mai mic multiplu comun al două numere naturale prime între ele este egal cu produsul numerelor respective.
Numerele care au un singur divizor comun (egal cu 1) se numesc numere prime între ele. De exemplu, 2 și 5 sunt numere prime între ele. Cel mai mic multiplu comun al lor este 10 (egal cu 2 înmulțit cu 5).
Dacă vreți să susțineți funcționarea și dezvoltarea mathema.ro, puteți contribui prin donație. Aceasta nu elimină reclamele existente, dar îmi permite să accelerez dezvoltarea website-ului și să acopăr costurile de funcționare.
