Dacă un număr natural \({a}\) se împarte exact la un alt număr natural \({b}\), atunci spunem că \({a}\) este divizibil (se divide) cu \({b}\) sau că \({b}\) divide pe \({a}\).

Orice număr natural este divizibil cu 1 și cu el însuși; aceștia se numesc divizori improprii ai numărului respectiv. Ceilalți divizori, dacă există, se numesc divizori proprii.

a) Divizorii lui 16 sunt 1, 2, 4, 8, 16.

• Cel mai mic divizor este 1; perechea lui este 16 pentru că \({16:1=16}\).
• Al doilea divizor este 2 pentru că ultima cifră a lui 16 este 6 (număr par), deci 16 se împarte exact la 2. Perechea acestui divizor este 8, pentru că \({16:2=8}\).
• Alt divizor este 4 pentru că 16 se împarte exact la 4. Perechea acestui divizor este tot 4, pentru că \({16:4=4}\).
• Alt divizor este 8 pentru că 16 se împarte exact la 8. Perechea acestui divizor este 2, pentru că \({16:8=2}\).
• Următorul divizor al lui 16 este chiar 16, deci ne oprim.
• Am obținut toți divizorii lui 16.

b) Divizorii lui 24 sunt 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

• Cel mai mic divizor este 1; perechea lui este 24 pentru că \({24:1=24}\).
• Al doilea divizor este 2 pentru că ultima cifră a lui 24 este 4 (număr par), deci 24 se împarte exact la 2. Perechea acestui divizor este 12, pentru că \({24:2=12}\).
• Alt divizor este 3 pentru că 24 se împarte exact la 3. Perechea acestui divizor este 8, pentru că \({24:3=8}\).
• Alt divizor este 4 pentru că 24 se împarte exact la 4. Perechea acestui divizor este 6, pentru că \({24:4=6}\).
• Alt divizor este 6 pentru că 24 se împarte exact la 6. Perechea acestui divizor este 4, pentru că \({24:6=4}\).
• De aici divizorii se vor repeta, deci ne oprim.
• Am obținut toți divizorii lui 24.

c) Divizorii comuni ai numerelor 16 și 24 sunt 1, 2, 4, 8.

d) Cel mai mare divizor comun al lui 16 și 24 este 8.

Dacă un număr natural \({a}\) se împarte exact la un alt număr natural \({b}\), atunci spunem că \({a}\) este divizibil (se divide) cu \({b}\) sau că \({b}\) divide pe \({a}\).

Orice număr natural este divizibil cu 1 și cu el însuși; aceștia se numesc divizori improprii ai numărului respectiv. Ceilalți divizori, dacă există, se numesc divizori proprii.

a) Divizorii lui 100 sunt 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

• Cel mai mic divizor este 1; perechea lui este 100 pentru că \({100:1=100}\).
• Al doilea divizor este 2 pentru că ultima cifră a lui 100 este 0, deci 100 se împarte exact la 2. Perechea acestui divizor este 50, pentru că \({100:2=50}\).
• Alt divizor este 4 pentru că ultimele două cifre ale lui 100 sunt 00, deci 100 se împarte exact la 4. Perechea acestui divizor este 25, pentru că \({100:4=25}\).
• Alt divizor este 5 pentru că ultima cifră a lui 100 este 0, deci 100 se împarte exact la 5. Perechea acestui divizor este 20, pentru că \({100:5=20}\).
• Alt divizor este 10 pentru că ultima cifră a lui 100 este 0, deci 100 se împarte exact la 10. Perechea acestui divizor este tot 10, pentru că \({100:10=10}\).
• Următorul divizor este 20; observăm că încep să se repete, deci ne oprim.
• Am obținut toți divizorii lui 100.

b) Divizorii lui 75 sunt 1, 3, 5, 15, 25, 75.

• Cel mai mic divizor este 1; perechea lui este 75 pentru că \({75:1=75}\).
• Al doilea divizor este 3 pentru că suma cifrelor lui 75 se împarte exact la 3 (7 plus 5 este egal cu 12, se împarte exact la 3). Perechea acestui divizor este 25, pentru că \({75:3=25}\).
• Alt divizor este 5 pentru că ultima cifră este 5, deci 75 se împarte exact la 5. Perechea acestui divizor este 15, pentru că \({75:5=15}\).
• Următorul număr mai mare decât 5 care-l divide pe 75 este 15, deci divizorii încep să se repete. Ne oprim.
• Am obținut toți divizorii lui 75.

c) Divizorii comuni ai numerelor 100 și 75 sunt 1, 5, 25.

d) Cel mai mare divizor comun al lui 16 și 24 este 25.

Dacă un număr natural \({a}\) se împarte exact la un alt număr natural \({b}\), atunci spunem că \({a}\) este divizibil (se divide) cu \({b}\) sau că \({b}\) divide pe \({a}\).

Orice număr natural este divizibil cu 1 și cu el însuși; aceștia se numesc divizori improprii ai numărului respectiv. Ceilalți divizori, dacă există, se numesc divizori proprii.

a) Divizorii lui 36 sunt 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

• Cel mai mic divizor este 1; perechea lui este 36 pentru că \({36 : 1=36}\).
• Al doilea divizor este 2 pentru că ultima cifră a lui 36 este 6 (număr par), deci 36 se împarte exact la 2. Perechea acestui divizor este 18, pentru că \({36 : 2=18}\).
• Următorul divizor este 3 pentru că suma cifrelor lui 36 este 9, iar 9 se împarte exact la 3. Perechea acestui divizor este 12, pentru că \({36 : 3=12}\).
• Alt divizor este 4 pentru că 36 se împarte exact la 4. Perechea acestui divizor este 9, pentru că \({36:4=9}\).
• Alt divizor este 6 pentru că 36 se împarte exact la 6. Perechea acestui divizor este tot 6, pentru că \({36:6=6}\).
• Următorul divizor este 9; observăm că încep să se repete, deci ne oprim.
• Am obținut toți divizorii lui 36.

b) Divizorii lui 84 sunt 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.

• Cel mai mic divizor este 1; perechea lui este 84 pentru că \({84 : 1=84}\).
• Al doilea divizor este 2 pentru că 84 este număr par. Perechea acestui divizor este 42, pentru că \({84 : 2 = 42}\).
• Alt divizor este 3 pentru că suma cifrelor lui 84 este 12, iar 12 se împarte exact la 3. Perechea acestui divizor este 28, pentru că \({84 : 3=28}\).
• Alt divizor este 4 pentru că 84 se împarte exact la 4. Perechea acestui divizor este 21, pentru că \({84 :4=21}\).
• Alt divizor este 6 pentru că 84 se împarte exact la 2 și la 3, deci se împarte exact la 6. Perechea acestui divizor este 14, pentru că \({84 : 6=14}\).
• Alt divizor este 7 pentru că 84 se împarte exact la 7. Perechea acestui divizor este 14, pentru că \({84 : 7=12}\).
• Următorul divizor este 12, deci divizorii încep să se repete. Ne oprim.
• Am obținut toți divizorii lui 84.

c) Divizorii comuni ai numerelor 36 și 84 sunt 1, 2, 3, 4, 6, 12.

d) Cel mai mare divizor comun al lui 36 și 84 este 12.

Dacă un număr natural \({a}\) se împarte exact la un alt număr natural \({b}\), atunci spunem că \({a}\) este divizibil (se divide) cu \({b}\) sau că \({b}\) divide pe \({a}\).

Orice număr natural este divizibil cu 1 și cu el însuși; aceștia se numesc divizori improprii ai numărului respectiv. Ceilalți divizori, dacă există, se numesc divizori proprii.

a) Divizorii lui 55 sunt 1, 5, 11, 55.

• Cel mai mic divizor este 1; perechea lui este 55 pentru că \({55 : 1=55}\).
• Al doilea divizor este 5 pentru că ultima cifră a lui 55 este 5, deci 55 se împarte exact la 5. Perechea acestui divizor este 11, pentru că \({55 : 5=11}\).
• Următorul divizor este 11; observăm că încep să se repete, deci ne oprim.
• Am obținut toți divizorii lui 55.

b) Divizorii lui 8 sunt 1, 2, 4, 8.

• Cel mai mic divizor este 1; perechea lui este 8 pentru că \({8 : 1=8}\).
• Al doilea divizor este 2 pentru că 8 este număr par. Perechea acestui divizor este 4, pentru că \({8 : 2 = 4}\).
• Alt divizor este 4 pentru că 8 se împarte exact la 4. Perechea acestui divizor este 2, pentru că \({8:4=2}\).
• Ultimul divizor al lui 8 este el însuși.
• Am obținut toți divizorii lui 8.

c) Divizorii comuni ai numerelor 55 și 8 sunt 1.

d) Cel mai mare divizor comun al lui 36 și 84 este 1.

Spunem că numerele 55 și 8 sunt prime între ele, pentru că singurul lor divizor comun este 1.

a) Trebuie să găsim două numere naturale al căror cel mai mare divizor comun este 16. Pentru aceasta, îl înmulțim pe 16 cu numere prime, astfel:

Exemple:

\({16 = 16 \cdot 1}\)

\({32 = 16 \cdot 2}\)

• Cel mai mare divizor comun al numerelor 16 și 32 este 16.
• Divizorii lui 16 sunt 1, 2, 4, 8 și 16.



\({16 : 1 =16; \; 1 \; și\; 16 \; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 16}\)

\({16 : 2 =8; \; 2 \; și \; 8 \; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 16}\)

\({16 : 4 =4; \; 4 \; este \; divizor \; al \; lui \; 16}\)

\({16 : 8 =2; \; 8 \; și \; 2 \; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 16}\)

Divizorii încep să se repete, deci ne oprim.

• Divizorii lui 32 sunt 1, 2, 4, 8, 16 și 32.



\({32 : 1 =32; \; 1 \; și\; 32 \; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 32}\)

\({32 : 2 =16; \; 2 \; și \; 16 \; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 32}\)

\({32 : 4 =8; \; 4 \; și \; 8 \; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 32}\)

\({32 : 8 =4; \; 8 \; și \; 4 \; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 32}\)

Divizorii încep să se repete, deci ne oprim.

\({32 = 16 \cdot 2}\)

\({48 = 16 \cdot 3}\)

• Cel mai mare divizor comun al numerelor 32 și 48 este 16.
• Divizorii lui 32 sunt 1, 2, 4, 8, 16 și 32 (vezi mai sus).
• Divizorii lui 48 sunt 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 și 48.



1 și 48 sunt divizori improprii ai lui 48.

\({48 : 2 =24; \; 2 \; și \; 24 \; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 48}\)

\({48 : 3 =16; \; 3 \; și \; 16 \; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 48}\)

\({48 : 4 =12; \; 4 \; și \; 12 \; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 48}\)

\({48 : 6 =8; \; 6 \; și \; 8 \; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 48}\)

\({48 : 8 =6; \; 8 \; și \; 6 \; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 48}\)

Divizorii încep să se repete, deci ne oprim.

\({48 = 16 \cdot 3}\)

\({80 = 16 \cdot 5}\)

• Cel mai mare divizor comun al numerelor 48 și 80 este 16.
• Divizorii lui 48 sunt 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 și 48 (vezi mai sus).
• Divizorii lui 80 sunt 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40 și 80.



1 și 80 sunt divizori improprii ai lui 80.

\({80 : 2 =40; \; 2 \; și \; 40 \; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 80}\)

\({80 : 4 =20; \; 2 \; și \; 20 \; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 80}\)

\({80 : 5 =16; \; 5 \; și \; 16 \; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 80}\)

\({80 : 10 =8; \; 10 \; și \; 8 \; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 80}\)

\({80 : 16 =5; \; 16 \; și \; 5 \; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 80}\)

Divizorii încep să se repete, deci ne oprim.

\({176 = 16 \cdot 11}\)

\({208 = 16 \cdot 13}\)

• Cel mai mare divizor comun al numerelor 176 și 208 este 16.
• Divizorii lui 176 sunt 1, 2, 4, 8, 11, 16, 22, 44, 88 și 176.



1 și 176 sunt divizori improprii ai lui 176.

\({176 : 2 =88; \; 2 \; și \; 88 \; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 176}\)

\({176 : 4 =44; \; 4 \; și \; 44\; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 176}\)

\({176 : 8 =22; \; 8 \; și \; 22 \; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 176}\)

\({176 : 11 =16; \; 11 \; și \; 16 \; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 176}\)

\({176 : 16 =11; \; 16 \; și \; 11 \; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 176}\)

Divizorii încep să se repete, deci ne oprim.

• Divizorii lui 208 sunt 1, 2, 4, 8, 13, 16, 26, 52, 104 și 208.



1 și 208 sunt divizori improprii ai lui 208.

\({208 : 2 =104; \; 2 \; și \; 104 \; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 208}\)

\({208 : 4 =52; \; 4 \; și \; 52 \; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 208}\)

\({208 : 8 =26; \; 8 \; și \; 26 \; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 208}\)

\({208 : 13 =16; \; 13 \; și \; 16 \; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 208}\)

\({208 : 16 =13; \; 16 \; și \; 13 \; sunt \; divizori \; ai \; lui \; 208}\)

Divizorii încep să se repete, deci ne oprim.

b) Trebuie să găsim două numere naturale al căror cel mai mare divizor comun este 21. Pentru aceasta, îl înmulțim pe 21 cu numere prime, astfel:

Exemple:

\({21 = 21 \cdot 1}\)

\({42 = 21 \cdot 2}\)

• Cel mai mare divizor comun al numerelor 21 și 42 este 21.

\({42 = 21 \cdot 2}\)

\({63 = 21 \cdot 3}\)

• Cel mai mare divizor comun al numerelor 42 și 63 este 21.

\({105 = 21 \cdot 5}\)

\({147 = 21 \cdot 7}\)

• Cel mai mare divizor comun al numerelor 105 și 147 este 21.

\({273 = 21 \cdot 13}\)

\({21 = 21 \cdot 1}\)

• Cel mai mare divizor comun al numerelor 273 și 21 este 21.

c) Trebuie să găsim două numere naturale al căror cel mai mare divizor comun este 9. Pentru aceasta, îl înmulțim pe 9 cu numere prime, astfel:

Exemple:

\({9 = 9 \cdot 1}\)

\({18 = 9 \cdot 2}\)

• Cel mai mare divizor comun al numerelor 9 și 18 este 9.

\({18 = 9 \cdot 2}\)

\({27 = 9 \cdot 3}\)

• Cel mai mare divizor comun al numerelor 18 și 27 este 9.

\({27 = 9 \cdot 3}\)

\({9 = 9 \cdot 1}\)

• Cel mai mare divizor comun al numerelor 27 și 9 este 9.

\({135 = 9 \cdot 3 \cdot 5}\)

\({63 = 9 \cdot 7}\)

• Cel mai mare divizor comun al numerelor 135 și 63 este 9.

a) Divizorii lui 9 sunt 1, 3 și 9.

Divizorii lui 12 sunt 1, 2, 3, 4, 6 și 12.

Cel mai mare divizor comun al numerelor 9 și 12 este 3.

b) Divizorii lui 12 sunt 1, 2, 3, 4, 6 și 12.

Divizorii lui 16 sunt 1, 2, 4, 8 și 16.

Cel mai mare divizor comun al numerelor 12 și 16 este 4.

c) Divizorii lui 20 sunt 1, 2, 4, 5, 10 și 20.

Divizorii lui 15 sunt 1, 3, 5 și 15.

Cel mai mare divizor comun al numerelor 20 și 15 este 5.

d) Divizorii lui 14 sunt 1, 2, 7 și 14.

Divizorii lui 28 sunt 1, 2, 4, 7, 14 și 28.

Cel mai mare divizor comun al numerelor 14 și 28 este 14.

e) Divizorii lui 10 sunt 1, 2, 5 și 10.

Divizorii lui 21 sunt 1, 3, 7 și 21.

Cel mai mare divizor comun al numerelor 10 și 21 este 1 (sunt prime între ele).

f) Divizorii lui 18 sunt 1, 2, 3, 6, 9 și 18.

Divizorii lui 81 sunt 1, 3, 9, 27 și 81.

Divizorii lui 27 sunt 1, 3, 9 și 27.

Cel mai mare divizor comun al numerelor 18, 81 și 27 este 9.