\({\raise{4pt}{^{2)}}\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}=\frac{\displaystyle 1 \cdot 2}{\displaystyle 4 \cdot 2}=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 8}}\)

\({\raise{4pt}{^{2)}}\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}=\frac{\displaystyle 2 \cdot 2}{\displaystyle 3 \cdot 2}=\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6}}\)

\({\raise{4pt}{^{2)}}\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle 7 \cdot 2}{\displaystyle 2 \cdot 2}=\frac{\displaystyle 14}{\displaystyle 4}}\)

\({\raise{4pt}{^{2)}}\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}=\frac{\displaystyle 3 \cdot 2}{\displaystyle 5 \cdot 2}=\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 10}}\)

\({\raise{4pt}{^{2)}}\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 9}=\frac{\displaystyle 4 \cdot 2}{\displaystyle 9 \cdot 2}=\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 18}}\)

\({\raise{4pt}{^{2)}}\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 11}=\frac{\displaystyle 5 \cdot 2}{\displaystyle 11 \cdot 2}=\frac{\displaystyle 10}{\displaystyle 22}}\)

Prin amplificarea unei fracții, se obține o fracție echivalentă cu cea dată.

\({{}\raise{4pt}{^{5)}}{\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}}=\frac{\displaystyle 3 \cdot 5}{\displaystyle 4 \cdot 5}=\frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 20}}\)

\({\raise{4pt}{^{5)}}\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 6}=\frac{\displaystyle 5 \cdot 5}{\displaystyle 6 \cdot 5}=\frac{\displaystyle 25}{\displaystyle 30}}\)

\({\raise{4pt}{^{5)}}\frac{\displaystyle 20}{\displaystyle 7}=\frac{\displaystyle 20 \cdot 5}{\displaystyle 7 \cdot 5}=\frac{\displaystyle 100}{\displaystyle 35}}\)

\({\raise{4pt}{^{5)}}\frac{\displaystyle 13}{\displaystyle 25}=\frac{\displaystyle 13 \cdot 5}{\displaystyle 25 \cdot 5}=\frac{\displaystyle 65}{\displaystyle 125}}\)

\({\raise{4pt}{^{5)}}\frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 8}=\frac{\displaystyle 15 \cdot 5}{\displaystyle 8 \cdot 5}=\frac{\displaystyle 75}{\displaystyle 40}}\)

\({\raise{4pt}{^{5)}}\frac{\displaystyle 35}{\displaystyle 24}=\frac{\displaystyle 35 \cdot 5}{\displaystyle 24 \cdot 5}=\frac{\displaystyle 175}{\displaystyle 120}}\)

a) Se dă fracția \({\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 15}}\). Pentru a obține numărătorul 18, fracția trebuie amplificată cu 3.

Numărătorul fracției \({\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 15}}\) este 6. Ce număr, înmulțit cu 6, ne dă 18? Răspuns: 3 înmulțit cu 6 ne dă 18.

Dacă amplificăm fracția \({\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 15}}\) cu 3, obținem o fracție cu numărătorul 18, echivalentă cu cea dată.

\({\raise{4pt}{^{3)}}\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 15}=\frac{\displaystyle 6 \cdot 3}{\displaystyle 15 \cdot 3}=\frac{\displaystyle 18}{\displaystyle 45}}\)

b) Se dă fracția \({\frac{\displaystyle 21}{\displaystyle 8}}\). Pentru a obține numitorul 56, fracția trebuie amplificată cu 7.

Numitorul fracției \({\frac{\displaystyle 21}{\displaystyle 8}}\) este 8. Ce număr, înmulțit cu 8, ne dă 56? Răspuns: 7 înmulțit cu 8 ne dă 56.

Dacă amplificăm fracția \({\frac{\displaystyle 21}{\displaystyle 8}}\) cu 7, obținem o fracție cu numitorul 56, echivalentă cu cea dată.

\({\raise{4pt}{^{7)}}\frac{\displaystyle 21}{\displaystyle 8}=\frac{\displaystyle 21 \cdot 7}{\displaystyle 8 \cdot 7}=\frac{\displaystyle 147}{\displaystyle 56}}\)

a) Dacă amplificăm cu 7 fracția \({\frac{\displaystyle 18}{\displaystyle 12}}\), obținem fracția echivalentă \({\frac{\displaystyle 128}{\displaystyle 12}}\). F

• Dacă amplificăm cu 7 fracția \({\frac{\displaystyle 18}{\displaystyle 12}}\), înmulțim numărătorul și numitorul fracției cu 7. Obținem:

\({\raise{4pt}{^{7)}}\frac{\displaystyle 18}{\displaystyle 12}=\frac{\displaystyle 18 \cdot 7}{\displaystyle 12 \cdot 7}=\frac{\displaystyle 126}{\displaystyle 84}}\)

• Rezultă că afirmația este falsă.

b) Prin amplificarea fracției \({\frac{\displaystyle 21}{\displaystyle 10}}\) cu 6, obținem fracția echivalentă \({\frac{\displaystyle 126}{\displaystyle 100}}\). F

• Dacă amplificăm cu 6 fracția \({\frac{\displaystyle 21}{\displaystyle 10}}\), înmulțim numărătorul și numitorul fracției cu 6. Obținem:

\({\raise{4pt}{^{6)}}\frac{\displaystyle 21}{\displaystyle 10}=\frac{\displaystyle 21 \cdot 6}{\displaystyle 10 \cdot 6}=\frac{\displaystyle 126}{\displaystyle 60}}\)

• Rezultă că afirmația este falsă.

c) A amplifica o fracție cu un număr înseamnă a înmulți fracția cu numărul respectiv. F

• O fracție poate fi amplificată doar cu un număr natural nenul, adică diferit de 0.
• Pentru a amplifica o fracție cu un număr natural nenul, înmulțim numărătorul și numitorul fracției cu numărul respectiv.
• Înmulțirea unei fracții cu un număr natural (care poate fi 0) înseamnă înmulțirea numărătorului fracției cu numărul respectiv.
• Amplificarea unei fracții cu un număr este diferită de înmulțirea fracției cu un număr.
• Rezultă că afirmația este falsă.

d) Dacă vrem să obținem o fracție echivalentă cu o fracție dată, amplificăm fracția dată cu un număr natural nenul. A

• Afirmația este adevărată.
• Prin amplificarea unei fracții cu un număr natural nenul (diferit de 0) se obține o fracție echivalentă cu fracția inițială. Cele două fracții au aceeași valoare.
• Există o infinitate de numere naturale nenule cu care putem amplifica o fracție. Rezultă că există o infinitate de fracții echivalente cu fracția dată, obținute prin amplificarea acesteia.

e) A amplifica o fracție cu un număr natural diferit de 0 înseamnă a înmulți numărătorul și numitorul fracției cu numărul respectiv. A

• Afirmația este adevărată.

f) Fracția \({\frac{\displaystyle 25}{\displaystyle 9}}\) este obținută prin amplificarea fracției \({\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 3}}\). F

• Dacă afirmația ar fi adevărată, atunci cele două fracții ar fi echivalente. Ar însemna că:

\({\frac{\displaystyle 25}{\displaystyle 9}=\frac{\displaystyle 5 }{\displaystyle 3}}\)

\({25 \cdot 3=5 \cdot 9 \; \; \; fals}\)

\({75=45 \; \; \; fals}\)

• Rezultă că afirmația este falsă.

g) Prin amplificarea fracției \({\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 7}}\) cu 2, obținem fracția \({\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 14}}\). Prima fracție este jumătate din cea de-a doua fracție. F

• Amplificăm cu 2 fracția \({\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 7}}\).

\({\raise{4pt}{^{2)}}\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 7}=\frac{\displaystyle 4 \cdot 2}{\displaystyle 7 \cdot 2}=\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 14}}\)

• E adevărat că prin amplificarea cu 2 a fracției \({\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 7}}\) obținem fracția \({\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 14}}\).
• Cele două fracții sunt echivalente; au aceeași valoare, deci nu este adevărat că prima fracție este jumătate din cea de-a doua fracție.
• Rezultă că afirmația este falsă.

h) Prin amplificarea unei fracții cu 0, obținem 0. F

• Afirmația este falsă.
• Nu putem amplifica o fracție cu 0 (am obține o fracție cu numitorul 0, ceea ce nu se poate).

Numitorul fracției \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}}\) este 2. Cu ce numere trebuie înmulțit 2 pentru a obține un pătrat perfect?

Ce este un pătrat perfect? Un pătrat perfect este un număr care poate fi scris ca putere cu exponentul 2.

Știm că \({2=2^1}\).

Mai știm că \({a^n \cdot a^m=a^{m+n}}\).

Înseamnă că, dacă-l înmulțim pe 2 cu o putere a lui 2 cu exponent impar, vom obține o putere cu baza 2 și exponentul par (1 plus un număr impar ne dă număr par), adică vom obține un pătrat perfect (un număr par se poate scrie ca 2 înmulțit cu un număr).

Altă variantă: dacă-l înmulțim pe 2 cu produsul dintre o putere a lui 2 cu exponent impar și un pătrat perfect, vom obține un pătrat perfect.

Exemple:

• 1. Amplificăm fracția \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}}\) cu 2. Numitorul fracției obținute astfel este 4, pătrat perfect (\({4=2^2}\)).



\({\raise{4pt}{^{2)}}\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle 3 \cdot 2}{\displaystyle 2 \cdot 2}=\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 4}}\)




• 2. Amplificăm fracția \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}}\) cu \({8=2^3}\). Numitorul fracției obținute astfel este 16, pătrat perfect (\({16=4^2}\)).



\({\raise{4pt}{^{8)}}\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle 3 \cdot 8}{\displaystyle 2 \cdot 8}=\frac{\displaystyle 24}{\displaystyle 16}}\)




• 3. Amplificăm fracția \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}}\) cu \({18=3^2 \cdot 2}\). Numitorul fracției obținute astfel este 36, pătrat perfect (\({36=6^2}\)).



\({\raise{4pt}{^{18)}}\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle 3 \cdot 18}{\displaystyle 2 \cdot 18}=\frac{\displaystyle 54}{\displaystyle 36}}\)




• 4. Amplificăm fracția \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}}\) cu \({32=4^2 \cdot 2}\). Numitorul fracției obținute astfel este 64, pătrat perfect (\({64=8^2}\)).



\({4^2}\) este pătrat perfect

\({2=2^1}\) este o putere a lui 2 cu exponent impar

\({\raise{4pt}{^{32)}}\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle 3 \cdot 32}{\displaystyle 2 \cdot 32}=\frac{\displaystyle 96}{\displaystyle 64}}\)




• 4. Amplificăm fracția \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}}\) cu \({72=3^2 \cdot 2^3}\). Numitorul fracției obținute astfel este 144, pătrat perfect (\({144=12^2}\)).



\({3^2}\) este pătrat perfect

\({2^3}\) este o putere a lui 2 cu exponent impar

\({\raise{4pt}{^{72)}}\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle 3 \cdot 72}{\displaystyle 2 \cdot 72}=\frac{\displaystyle 216}{\displaystyle 144}}\)