facebook | mathema.romania@gmail.com
☰ Meniu principal
Memorator Algebră
clasele 5 - 8
- Numere naturale
- Ce sunt numerele naturale
- Scrierea și citirea numerelor naturale
- Scrierea unui număr natural ca sumă de produse
- Succesor. Predecesor
- Aproximarea. Estimarea. Rotunjirea
- Reprezentarea pe axa numerelor
- Compararea numerelor naturale
- Operații cu numere naturale
- • Adunarea
- • Scăderea
- • Înmulțirea. Factor comun
- • Împărțirea
- Ordinea operațiilor +, -, x, :
- Puterea cu exponent natural a unui număr natural
- Divizibilitatea
- Descompunerea unui număr natural în produs de puteri de numere prime
- Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.)
- Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.)
- Proprietăţile divizibilităţii numerelor naturale
- Ce sunt fracţiile
- Fracţii subunitare, echiunitare, supraunitare
- Fracţii echivalente
- Reprezentarea fracţiilor pe axa numerelor
- Compararea fracţiilor
- Introducerea întregilor în fracţie
- Scoaterea întregilor din fracţie
- Amplificarea fracţiilor
- Simplificarea fracţiilor
- Fracţii ireductibile
- Aducerea fracţiilor la acelaşi numitor
- Adunarea şi scăderea fracţiilor
- Înmulţirea fracţiilor
- Împărţirea fracţiilor
- O fracţie dintr-un număr. O fracţie dintr-o fracţie
- Procente. Procent dintr-un număr. Procent dintr-o fracţie
- Media aritmetică
- Puterea unei fracţii
- Ce este fracţia zecimală
- Transformarea unei fracţii ordinare în fracţie zecimală
- Transformarea unei fracţii zecimale în fracţie ordinară
- Reprezentarea fracţiilor zecimale pe axa numerelor
- Compararea fracţiilor zecimale
- Adunarea şi scăderea fracţiilor zecimale
- Înmulțirea fracțiilor zecimale cu un număr finit de zecimale nenule
- Împărțirea a două numere naturale cu rezultat fracție zecimală
- Împărţirea unei fracţii zecimale cu un număr finit de zecimale nenule la un număr natural nenul
- Ce sunt numerele întregi
- Adunarea numerelor întregi
- Scăderea numerelor întregi
- Înmulţirea numerelor întregi
- Împărţirea numerelor întregi
- Puterea cu exponent număr natural a unui număr întreg nenul
- Ordinea efectuării operaţiilor şi folosirea parantezelor - numere întregi
- Ecuaţii care se rezolvă în mulţimea numerelor întregi
- Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor în \({ℤ}\)
- Inecuaţii care se rezolvă în mulţimea numerelor întregi
- Probleme care se rezolvă cu ajutorul inecuaţiilor în \({ℤ}\)
- Ce sunt numerele raţionale
- • Relaţia între numerele naturale, numerele întregi şi numerele raţionale
- • Opusul unui număr rațional
- • Reprezentarea pe axă a unui număr rațional
- • Modulul unui număr rațional
- • Compararea numerelor raționale
- Adunarea și scăderea numerelor raţionale
- • Proprietăți
- Înmulţirea numerelor raţionale
- Împărţirea numerelor raţionale
- Puterea cu exponent număr întreg a unui număr raţional nenul
- Ordinea efectuării operaţiilor cu numere raţionale şi folosirea parantezelor
- Ecuaţii de gradul 1 în mulţimea numerelor raţionale
- Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor în mulţimea numerelor raţionale
- Rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural
- Rădăcina pătrată a pătratului unui număr întreg
- Rădăcina pătrată a pătratului unui număr rațional
- Cum încadrăm un număr între două pătrate perfecte consecutive
- Aproximarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv
- Scoaterea factorilor de sub radical
- Introducerea factorilor sub radical
- Numere iraționale
- Mulțimea numerelor reale
- Modulul unui număr real
- Compararea și ordonarea numerelor reale
- Reprezentarea prin aproximări a numerelor reale pe axa numerelor
- Operații cu numere reale
- • Adunarea și scăderea
- • Înmulțirea
- • Împărțirea
- • Puteri cu exponent număr întreg
- • Reguli de calcul cu radicali
- • Ordinea efectuării operațiilor
- Raționalizarea numitorului (prima parte) de forma \({a\sqrt{b}}\)
- Media geometrică (proporțională) a două numere reale pozitive
- Media aritmetică ponderată
- Ecuații de forma \({x^2 = a \in \mathbf{R}}\)
sisteme de ecuaţii liniare
- Transformarea unei egalități într-o egalitate echivalentă. Identități
- Ecuații de forma \({ax + b = 0 }\), \({a, b \in \mathbf{R}}\)
- Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute
- • Metoda substituției
- • Metoda reducerii
- Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor
- Probleme care se rezolvă cu ajutorul sistemelor de ecuații
- Expresii algebrice
- Operații cu numere reale reprezentate prin litere
- • Adunarea și scăderea
- • Înmulțirea, împărțirea, ridicarea la putere
- Formule de calcul prescurtat
- • Raționalizarea numitorului - partea a doua
- Descompuneri în factori
- Fracții algebrice
- • Ce sunt fracțiile algebrice
- • Amplificarea și simplificarea fracțiilor algebrice
- • Operații cu fracții algebrice
- • Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice
- • Înmulțirea fracțiilor algebrice
- • Împărțirea fracțiilor algebrice
- • Ridicarea la putere a fracțiilor algebrice
a datelor
- Organizarea datelor. Tabele. Frecvențe
- Grafice
- • Grafice cu bare verticale (coloane)
- • Grafice cu bare orizontale (benzi)
- • Grafice cu linii
- • Diagrame circulare
- Indicatorii tendinței centrale
- • Media
- • Mediana
- • Modul și amplitudinea
- Probabilități
- Produs cartezian
- Sistem de axe ortogonale
- Distanța dintre două puncte știind coordonatele lor. Mijlocul unui segment
≡ Memorator Algebră
- 1. Numere naturale
- • Ce sunt numerele naturale
- • Scrierea și citirea numerelor naturale
- • Scrierea unui număr natural ca sumă de produse
- • Succesor. Predecesor
- • Aproximarea. Estimarea. Rotunjirea
- • Reprezentarea pe axa numerelor
- • Compararea numerelor naturale
- • Operații cu numere naturale
- • Adunarea
- • Scăderea
- • Înmulțirea. Factor comun
- • Împărțirea
- • Ordinea operațiilor +, -, x, :
- 2. Puterea cu exponent natural a unui număr natural
- • Ce sunt puterile. Pătratul unui număr natural
- • Reguli de calcul cu puteri
- • Compararea puterilor
- • Scrierea în baza 10. Scrierea în baza 2
- • Ordinea operațiilor +, -, x, :, ab
- 3. Divizibilitatea
- • Divizor. Multiplu
- • Criterii de divizibilitate
- • Numere prime. Numere compuse
- • Ciurul lui Eratostene
- • Cum stabilim dacă un număr natural este prim
- • Descompunerea unui număr natural în produs de puteri de numere prime
- • Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.)
- • Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.)
- • Proprietăţile divizibilităţii numerelor naturale
- 4. Fracţii
- • Ce sunt fracţiile
- • Fracţii subunitare, echiunitare, supraunitare
- • Fracţii echivalente
- • Reprezentarea fracţiilor pe axa numerelor
- • Compararea fracţiilor
- • Introducerea întregilor în fracţie
- • Scoaterea întregilor din fracţie
- • Amplificarea fracţiilor
- • Simplificarea fracţiilor
- • Fracţii ireductibile
- • Aducerea fracţiilor la acelaşi numitor
- • Adunarea şi scăderea fracţiilor
- • Înmulţirea fracţiilor
- • Împărţirea fracţiilor
- • O fracţie dintr-un număr. O fracţie dintr-o fracţie
- • Procente. Procent dintr-un număr. Procent dintr-o fracţie
- • Media aritmetică
- • Puterea unei fracţii
- 5. Fracții zecimale
- • Ce este fracţia zecimală
- • Transformarea unei fracţii ordinare în fracţie zecimală
- • Transformarea unei fracţii zecimale în fracţie ordinară
- • Reprezentarea fracţiilor zecimale pe axa numerelor
- • Compararea fracţiilor zecimale
- • Adunarea şi scăderea fracţiilor zecimale
- • Înmulțirea fracțiilor zecimale cu un număr finit de zecimale nenule
- • Împărțirea a două numere naturale cu rezultat fracție zecimală
- • Împărţirea unei fracţii zecimale cu un număr finit de zecimale nenule la un număr natural nenul
- 6. Mulțimi
- • Ce sunt mulţimile
- • Relaţii între mulţimi
- • Operaţii cu mulţimi
- • Mulțimi speciale
- 7. Rapoarte şi proporţii
- • Ce sunt rapoartele şi proporţiile
Proprietatea fundamentală a proporţiilor - • Determinarea unui termen necunoscut dintr-o proporție
- • Proporții derivate
- • Șir de rapoarte egale
- • Mărimi direct proporționale
- • Mărimi invers proporționale
- • Regula de trei simplă
- 8. Numere întregi
- • Ce sunt numerele întregi
- • Adunarea numerelor întregi
- • Scăderea numerelor întregi
- • Înmulţirea numerelor întregi
- • Împărţirea numerelor întregi
- • Puterea cu exponent număr natural a unui număr întreg nenul
- • Ordinea efectuării operaţiilor şi folosirea parantezelor - numere întregi
- • Ecuaţii care se rezolvă în mulţimea numerelor întregi
- • Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor în \({ℤ}\)
- • Inecuaţii care se rezolvă în mulţimea numerelor întregi
- • Probleme care se rezolvă cu ajutorul inecuaţiilor în \({ℤ}\)
- 9. Numere raţionale
- • Ce sunt numerele raţionale
- • Relaţia între numerele naturale, numerele întregi şi numerele raţionale
- • Opusul unui număr rațional
- • Reprezentarea pe axă a unui număr rațional
- • Modulul unui număr rațional
- • Compararea numerelor raționale
- • Adunarea și scăderea numerelor raţionale
- • Proprietăți
- • Înmulţirea numerelor raţionale
- • Împărţirea numerelor raţionale
- • Puterea cu exponent număr întreg a unui număr raţional nenul
- • Ordinea efectuării operaţiilor cu numere raţionale şi folosirea parantezelor
- • Ecuaţii de gradul 1 în mulţimea numerelor raţionale
- • Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor în mulţimea numerelor raţionale
- 10. Numere reale
- • Rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural
- • Rădăcina pătrată a pătratului unui număr întreg
- • Rădăcina pătrată a pătratului unui număr rațional
- • Cum încadrăm un număr între două pătrate perfecte consecutive
- • Aproximarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv
- • Scoaterea factorilor de sub radical
- • Introducerea factorilor sub radical
- • Numere iraționale
- • Mulțimea numerelor reale
- • Modulul unui număr real
- • Compararea și ordonarea numerelor reale
- • Reprezentarea prin aproximări a numerelor reale pe axa numerelor
- • Operații cu numere reale
- • Adunarea și scăderea
- • Înmulțirea
- • Împărțirea
- • Puteri cu exponent număr întreg
- • Reguli de calcul cu radicali
- • Ordinea efectuării operațiilor
- • Raționalizarea numitorului (prima parte) de forma \({a\sqrt{b}}\)
- • Media geometrică (proporțională) a două numere reale pozitive
- • Media aritmetică ponderată
- • Ecuații de forma \({x^2 = a \in \mathbf{R}}\)
- 11. Ecuaţii şi
sisteme de ecuaţii liniare - • Transformarea unei egalități într-o egalitate echivalentă. Identități
- • Ecuații de forma \({ax + b = 0 }\), \({a, b \in \mathbf{R}}\)
- • Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute
- • Metoda substituției
- • Metoda reducerii
- • Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor
- • Probleme care se rezolvă cu ajutorul sistemelor de ecuații
- 12. Intervale de numere reale
- • Mulțimi definite printr-o proprietate comună a elementelor lor
- • Intervale de numere reale
- • Explicitarea modulului
- • Partea întreagă. Partea fracționară
- • Operații cu intervale
- 13. Inecuaţii în \({\mathbf{R}}\)
- • Relația de inegalitate pe mulțimea numerelor reale
- • Inecuații de forma \({ax + b \ge 0 }\) (\({\le, <, > }\)), \({a, b \in \mathbf{R}}\)
- • Probleme care se rezolvă cu ajutorul inecuațiilor
- 14. Calcul algebric în \({\mathbf{R}}\)
- • Expresii algebrice
- • Operații cu numere reale reprezentate prin litere
- • Adunarea și scăderea
- • Înmulțirea, împărțirea, ridicarea la putere
- • Formule de calcul prescurtat
- • Raționalizarea numitorului - partea a doua
- • Descompuneri în factori
- • Fracții algebrice
- • Ce sunt fracțiile algebrice
- • Amplificarea și simplificarea fracțiilor algebrice
- • Operații cu fracții algebrice
- • Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice
- • Înmulțirea fracțiilor algebrice
- • Împărțirea fracțiilor algebrice
- • Ridicarea la putere a fracțiilor algebrice
- 15. Ecuația de gradul 2
- • Forma, rezolvarea, discuția ecuației de gradul 2
- • Descompunerea în factori
- • Relațiile lui Viète
- • Ecuații bipătrate
- 16. Funcţia de gradul 1
- • Ce sunt funcțiile
- • Graficul unei funcții. Reprezentarea geometrică a graficului
- • Funcția de gradul 1 - definită pe \({\mathbf{R}}\)
- • Definită pe un interval mărginit
- • Definită pe un interval nemărginit
- • Definită pe o mulțime finită
- 17. Elemente de organizare
a datelor - • Organizarea datelor. Tabele. Frecvențe
- • Grafice
- • Grafice cu bare verticale (coloane)
- • Grafice cu bare orizontale (benzi)
- • Grafice cu linii
- • Diagrame circulare
- • Indicatorii tendinței centrale
- • Media
- • Mediana
- • Modul și amplitudinea
- • Probabilități
- • Produs cartezian
- • Sistem de axe ortogonale
- • Distanța dintre două puncte știind coordonatele lor. Mijlocul unui segment
∎ Numere prime. Numere compuse
Exersează! - 1
A. Scrieți în ordine crescătoare toate numerele naturale prime mai mici decât 100. Câte astfel de numere sunt?
Numerele prime mai mici decât 100 sunt: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Sunt 25 de numere prime mai mici decât 100.
Putem folosi Ciurul lui Eratostene sau putem verifica în gând fiecare număr natural.
Scriem toate numerele de la 0 la 100. Începem să tăiem numerele care știm că nu sunt prime, astfel:
- 0 și 1 nu sunt nici prime, nici compuse, deci le tăiem;
- 2 este cel mai mic număr prim și singurul număr prim par; el rămâne;
- 3 este număr prim, el rămâne;
- 4 este număr par, deci nu este număr prim; îl tăiem;
- 5 este număr prim; rămâne;
- 6 este număr par, deci nu este prim; îl tăiem;
- 7 este număr prim; rămâne;
- 8 este număr par, deci nu este prim; îl tăiem;
- 9 se împarte exact la 3, deci nu este prim; îl tăiem;
- tăiem toate celelalte numere pare (care au ultima cifră număr par: 0, 2, 4, 6 sau 8);
- tăiem toate celelalte numere care se împart exact la 3; unele dintre ele sunt deja tăiate, pentru că se împart exact și la 2;
- tăiem toate celelalte numere care se împart exact la 5; unele dintre ele sunt deja tăiate, pentru că se împart exact și la 2, și la 3;
- tăiem toate celelalte numere care se împart exact la 7; unele dintre ele sunt deja tăiate;
- numerele tăiate sunt numere compuse (cu excepția lui 0 și a lui 1, care nu sunt nici prime, nici compuse);
- numerele care au rămas sunt numere prime.
B. Scrieți toate numerele naturale care sunt prime și pare.
Singurul număr par și prim este 2.
C. Scrieți cinci numere naturale consecutive compuse.
Analizăm numerele prime mai mici decât 100, pentru că am lucrat deja cu ele și sunt cele mai simple exemple. Mai jos sunt numerele prime mai mici decât 100. Numerele prime sunt cele scrise îngroșat; numerele tăiate sunt numere compuse (cu excepția lui 0 și a lui 1, care nu sunt nici prime, nici compuse). Observăm că dintre acestea, putem da mai multe exemple de câte 5 numere consecutive compuse; avem chiar și șapte astfel de numere.
- 24, 25, 26, 27, 28 - cinci numere consecutive compuse;
- 32, 33, 34, 35, 36 - cinci numere consecutive compuse;
- 48, 49, 50, 51, 52 - cinci numere consecutive compuse;
- 54, 55, 56, 57, 58 - cinci numere consecutive compuse;
- 62, 63, 64, 65, 66 - cinci numere consecutive compuse;
- 74, 75, 76, 77, 78 - cinci numere consecutive compuse;
- 84, 85, 86, 87, 88 - cinci numere consecutive compuse;
- 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96 - șapte numere consecutive compuse.
Dacă analizăm numere prime mai mari decât 100, vom găsi și alte secvențe de cinci numere consecutive compuse.
D. Scrieți două numere naturale consecutive prime.
Singurele numere naturale consecutive care sunt și prime sunt 2 și 3.
E. Care dintre numerele 2740, 55336, 4725, 99728, 762, 8734 este număr prim?
Dacă ultima cifră a unui număr este 0, 2, 4, 6 sau 8, înseamnă că numărul este par, deci nu este număr prim. Regula este valabilă pentru numere care au mai mult de o cifră; numărul 0 nu este nici prim, nici compus, iar numărul 2 este număr prim.
Dacă ultima cifră a unui număr este 5, înseamnă că nu este număr prim. Regula este valabilă pentru numere care au mai mult de o cifră; numărul 5 este prim.
- 2740 are ultima cifră 0, deci nu este număr prim;
- 55336 are ultima cifră 6, deci nu este număr prim;
- 4725 are ultima cifră 5, deci nu este număr prim;
- 99728 are ultima cifră 8, deci nu este număr prim;
- 762 are ultima cifră 2, deci nu este număr prim;
- 8734 are ultima cifră 4, deci nu este număr prim;
- reținem concluzia: cu excepția numărului 2, toate numere pare sunt numere compuse, adică nu sunt prime.
Nici unul dintre numerele date nu este prim; toate sunt numere compuse.
F. Care dintre numerele 121, 49, 81, 169, 289 este număr prim?
Numerele care sunt pătrate perfecte nu sunt numere prime.
- \({121=11^2}\), deci \({121}\) este pătrat perfect; nu este număr prim;
- \({49=7^2}\), deci \({49}\) este pătrat perfect; nu este număr prim;
- \({81=9^2}\), deci \({81}\) este pătrat perfect; nu este număr prim;
- \({169=13^2}\), deci \({169}\) este pătrat perfect; nu este număr prim;
- \({289=17^2}\), deci \({289}\) este pătrat perfect; nu este număr prim;
- observăm că toate numerele date sunt impare; concluzia este că un număr impar poate sau nu să fie prim.
G. Care dintre numerele 351, 507, 87, 879, 771 este număr prim?
Numerele date sunt impare, deci este posibil să fie și prime. Să vedem cu ce numere prime sunt divizibile. Fiind impare, nu sunt divizibile cu 2.
Să vedem dacă sunt divizibile cu 3. Calculăm suma cifrelor pentru fiecare număr dat. Dacă suma este divizibilă cu 3, atunci numărul este și el divizibil cu 3. În caz contrar, numărul nu este divizibil cu 3 și continuăm cercetarea cu următorul număr prim.
- suma cifrelor lui 351 este 9 (3 plus 5 plus 1), deci numărul 351 are ca divizor pe 3; având și alt divizor în afara lui 1 și a lui însuși, rezultă că nu este număr prim;
- suma cifrelor lui 507 este 12 (5 plus 0 plus 7), deci numărul 507 are ca divizor pe 3; având și alt divizor în afara lui 1 și a lui însuși, rezultă că nu este număr prim;
- suma cifrelor lui 87 este 15 (8 plus 7), deci numărul 87 are ca divizor pe 3; având și alt divizor în afara lui 1 și a lui însuși, rezultă că nu este număr prim;
- suma cifrelor lui 879 este 24 (8 plus 7 plus 9); cum 24 se împarte exact la 3, rezultă că numărul 879 are ca divizor pe 3; având și alt divizor în afara lui 1 și a lui însuși, rezultă că nu este număr prim;
- suma cifrelor lui 771 este 15 (7 plus 7 plus 1); cum 15 se împarte exact la 3, rezultă că numărul 771 are ca divizor pe 3; având și alt divizor în afara lui 1 și a lui însuși, rezultă că nu este număr prim.
Am obținut că toate numerele 351, 507, 87, 879 și 771 sunt prime.
H. Dați trei exemple de numere compuse mai mari decât 100. Motivați fiecare exemplu.
Cea mai simplă metodă este să alegem trei numere pare sau numere care au ultima cifră 5. Acestea sunt și numere compuse (cu excepția numerelor 2 și 5).
Alegem cele trei exemple de numere compuse mai mari decât 100:
- numărul 102 este număr par pentru că ultima sa cifră este 2, deci 102 se împarte exact la 2. Rezultă că acest număr are cel puțin trei divizori: pe 1, 2 și 102, deci nu este număr prim;
- numărul 605 are ultima cifră 5, deci 605 se împarte exact la 5. Rezultă că acest număr are cel puțin trei divizori: pe 1, 5 și 605, deci nu este număr prim;
- numărul 214 este număr par pentru că ultima sa cifră este 4, deci 214 se împarte exact la 2. Rezultă că acest număr are cel puțin trei divizori: pe 1, 2 și 214, deci nu este număr prim.
Puteam alege și numere care au suma cifrelor egală cu un multiplu de 3. Acestea sunt divizibile cu 3. De exemplu, ne propunem să alegem un număr care are suma cifrelor egală cu 6. Un astfel de număr este 501 (5 plus 0 plus 1 egal cu 6; 6 se împarte exact la 3, deci și 501 se împarte exact la 3). Numărul 501 are cel puțin trei divizori, pe 1, 3 și 501, deci nu este prim.
Pentru a construi alte exemple de numere compuse, folosim criteriile de divizibilitate.
I. Dați trei exemple de numere impare mai mari decât 100, care sunt și numere prime. Motivați fiecare exemplu.
Cercetăm cele mai mici numere mai mari decât 100, pentru a avea calcule cât mai ușoare.
Începem cu 101. Cercetăm dacă se împarte exact la numerele prime mai mici decât el, considerate în ordine crescătoare:
- 101 nu se împarte exact la 2 pentru că 101 este număr impar;
- 101 nu se împarte exact la 3 pentru că suma cifrelor sale nu se împarte exact la 3;
- 101 nu se împarte exact la 5 pentru că 101 are cifra unităților diferită de 0 sau 5;
- să vedem dacă 101 se împarte exact la 7; efectuăm împărțirea:
- să vedem dacă 101 se împarte exact la 11; efectuăm împărțirea:
\({101 : 7 = 14 \; \text{rest} \; 3}\) câtul 14 este mai mare decât împărțitorul 7, deci continuăm să cercetăm.
\({101 : 11 = 9 \; \text{rest} \; 2}\) câtul 9 este mai mic decât împărțitorul 11, deci numărul 101 este număr prim.
Mai avem de dat încă două exemple de numere impare și prime mai mari decât 100. Numărul 102 este par, deci nu este prim. Să-l cercetăm pe 103.
- 103 nu se împarte exact la 2 pentru că 103 este număr impar;
- 103 nu se împarte exact la 3 pentru că suma cifrelor sale nu se împarte exact la 3;
- 103 nu se împarte exact la 5 pentru că 101 are cifra unităților diferită de 0 sau 5;
- să vedem dacă 103 se împarte exact la 7; efectuăm împărțirea:
- să vedem dacă 103 se împarte exact la 11; efectuăm împărțirea:
\({103 : 7 = 14 \; \text{rest} \; 5}\) câtul 14 este mai mare decât împărțitorul 7, deci continuăm să cercetăm.
\({103 : 11 = 9 \; \text{rest} \; 4}\) câtul 9 este mai mic decât împărțitorul 11, deci numărul 103 este număr prim.
Am găsit două exemple de numere impare și prime mai mari decât 100 (numerele 101 și 103). Să găsim și al treilea exemplu.
Numerele 104 și 106 nu se potrivesc pentru că sunt numere pare, deci divizibile cu 2. Numărul 105 nu se potrivește pentru că este divizibil cu 5 (are cifra unităților 5). Cercetăm numărul 107.
- 107 nu se împarte exact la 2 pentru că este număr impar;
- 107 nu se împarte exact la 3 pentru că suma cifrelor sale nu se împarte exact la 3;
- 107 nu se împarte exact la 5 pentru că 107 are cifra unităților diferită de 0 sau 5;
- să vedem dacă 107 se împarte exact la 7; efectuăm împărțirea:
- să vedem dacă 107 se împarte exact la 11; efectuăm împărțirea:
\({107 : 7 = 15 \; \text{rest} \; 2}\) câtul 15 este mai mare decât împărțitorul 7, deci continuăm să cercetăm.
\({107 : 11 = 9 \; \text{rest} \; 8}\) câtul 9 este mai mic decât împărțitorul 11, deci numărul 107 este număr prim.
Astfel, trei exemple de numere impare și prime mai mari decât 100 sunt numerele 101, 103 și 107.
J. Dați trei exemple de numere impare mai mari decât 100, care nu sunt și numere prime. Motivați fiecare exemplu.
Numerele impare au cifra unităților (ultima cifră) egală cu 1, 3, 5, 7 sau 9.
Cea mai ușoară cale pentru a găsi numere impare și care nu sunt prime este să le alegem pe cele care cel puțin două cifre, iar cifra unităților (ultima cifră) să fie egală cu 5. Acestea sunt numere impare și sunt divizibile cu 5. De exemplu:
- 115 este număr impar și are ultima cifră 5, deci este divizibil cu 5; rezultă că are cel puțin trei divizori (pe 1, 5 și 115), deci nu este număr prim;
- 245 este număr impar și are ultima cifră 5, deci este divizibil cu 5; rezultă că are cel puțin trei divizori (pe 1, 5 și 245), deci nu este număr prim;
- 1105 este număr impar și are ultima cifră 5, deci este divizibil cu 5; rezultă că are cel puțin trei divizori (pe 1, 5 și 1105), deci nu este număr prim.
Astfel, trei exemple de numere impare mai mari decât 100, care nu sunt și numere prime sunt numerele 115, 245 și 1105.
Pentru a găsi și alte exemple, folosim criteriile de divizibilitate.
Exersează 1 | Exersează 2