Folosim formulele

\({a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}}\),

\({-a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2 \cdot b}}\),

unde \({a \ge 0}\) și \({b \ge 0}\).

• a) \({\textcolor{deeppink}{2}\sqrt{3}=\sqrt{\textcolor{deeppink}{2}^\textcolor{#6495ed}{\textbf{2}} \cdot 3}=\sqrt{4 \cdot 3}=\sqrt{12}}\)


• b) \({\textcolor{deeppink}{3}\sqrt{14}=\sqrt{\textcolor{deeppink}{3}^\textcolor{#6495ed}{\textbf{2}} \cdot 14}=\sqrt{9 \cdot 14}=\sqrt{126}}\)


• c) \({\textcolor{deeppink}{2}\sqrt{5}=\sqrt{\textcolor{deeppink}{2}^\textcolor{#6495ed}{\textbf{2}} \cdot 5}=\sqrt{4 \cdot 5}=\sqrt{20}}\)


• d) \({\textcolor{deeppink}{3}\sqrt{6}=\sqrt{\textcolor{deeppink}{3}^\textcolor{#6495ed}{\textbf{2}} \cdot 6}=\sqrt{9 \cdot 6}=\sqrt{54}}\)


• e) \({\textcolor{deeppink}{5}\sqrt{2}=\sqrt{\textcolor{deeppink}{5}^\textcolor{#6495ed}{\textbf{2}} \cdot 2}=\sqrt{25 \cdot 2}=\sqrt{50}}\)


• f) \({\textcolor{deeppink}{4}\sqrt{22 }=\sqrt{\textcolor{deeppink}{4}^\textcolor{#6495ed}{\textbf{2}} \cdot 22}=\sqrt{16 \cdot 22}=\sqrt{352}}\)


• g) \({\textcolor{deeppink}{10}\sqrt{10 }=\sqrt{\textcolor{deeppink}{10}^\textcolor{#6495ed}{\textbf{2}} \cdot 10}=\sqrt{100 \cdot 10}=\sqrt{1000}}\)


• h) \({\textcolor{deeppink}{9}\sqrt{3 }=\sqrt{\textcolor{deeppink}{9}^\textcolor{#6495ed}{\textbf{2}} \cdot 3}=\sqrt{81 \cdot 3}=\sqrt{243}}\)


• i) \({\textcolor{deeppink}{7}\sqrt{5 }=\sqrt{\textcolor{deeppink}{7}^\textcolor{#6495ed}{\textbf{2}} \cdot 5}=\sqrt{49 \cdot 5}=\sqrt{245}}\)


• j) \({-\textcolor{deeppink}{2}\sqrt{15}=-\sqrt{\textcolor{deeppink}{2}^\textcolor{#6495ed}{\textbf{2}} \cdot 15}=-\sqrt{4 \cdot 15}=-\sqrt{60}}\)



Semnul „-” (minus) rămâne în fața radicalului.

Folosim proprietățile:

Dacă \({A\sqrt{x} = B\sqrt{x}}\), atunci \({A=B}\).

Dacă \({A\sqrt{x} = A\sqrt{y}}\), atunci \({x=y}\).

a) Să găsim numărul \({a}\), știind că \({6\sqrt{2}=\sqrt{a}}\).

• observăm că în partea stângă a egalului avem \({6\sqrt{2}}\); factorul 6 este scos de sub radical;


• în partea dreaptă a egalului avem \({\sqrt{a}}\); nu avem factori scoși de sub radical;


• în \({6\sqrt{2}}\), introducem factorul sub radical și obținem:



\({\textcolor{deeppink}{6}\sqrt{2}=\sqrt{\textcolor{deeppink}{6}^\textcolor{#6495ed}{\textbf{2}} \cdot 2}=\sqrt{36 \cdot 2}=\sqrt{72}}\)



• obținem că \({\sqrt{72}=\sqrt{a}}\);


• rezultă că \({a=72}\).

b) Să găsim numărul \({a}\), știind că \({a\sqrt{3}=\sqrt{147}}\).

• observăm că în partea stângă a egalului avem \({a\sqrt{3}}\); factorul \({a}\) este scos de sub radical;


• în partea dreaptă a egalului avem \({\sqrt{147}}\); nu avem factori scoși de sub radical;


• Varianta 1: în \({a\sqrt{3}}\), introducem factorul \({a}\) sub radical și obținem:



(factorul care se introduce sub radical este număr pozitiv)

\({\textcolor{deeppink}{a}\sqrt{3}=\sqrt{\textcolor{deeppink}{a}^\textcolor{#6495ed}{\textbf{2}} \cdot 3}=\sqrt{3a^2}}\)

\({\sqrt{3a^2}=\sqrt{147}}\)

Rezultă că \({3a^2=147 \;\,\, \mid \, :3}\)

\({a^2=147 :3}\)

\({a^2=49}\)

Ce număr, ridicat la pătrat, ne dă 49?

Avem \({7^2=49}\), deci \({a=7}\).

Varianta \({(-7)^2=49}\) nu ne convine, pentru că noi căutăm numere pozitive.



• Varianta 2: în \({\sqrt{147}}\), scoatem factorii sub radical:





\({147=3 \cdot 7^2}\)

\({\sqrt{147}=\sqrt{3 \cdot 7^2}=7\sqrt{3}}\)

Avem \({a\sqrt{3}=7\sqrt{3}}\), rezultă că \({a=7}\).

c) Să găsim numărul \({a}\), știind că \({\sqrt{108}=3\sqrt{a}}\).

• observăm că în partea stângă a egalului avem \({\sqrt{108}}\); nu avem factori scoși de sub radical;


• în partea dreaptă a egalului avem \({3\sqrt{a}}\); factorul \({3}\) este scos de sub radical;


• Varianta 1: în \({3\sqrt{a}}\), introducem factorul \({3}\) sub radical și obținem:



\({\textcolor{deeppink}{3}\sqrt{a}=\sqrt{\textcolor{deeppink}{3}^\textcolor{#6495ed}{\textbf{2}} \cdot a}=\sqrt{9a}}\)

\({\sqrt{9a}=\sqrt{108}}\)

Rezultă că \({9a=108 \;\,\, \mid \, :9}\)

\({a=108 :9}\)

\({a=12}\)



• Varianta 2: în \({\sqrt{108}}\), scoatem factorii sub radical:





\({108=2^2 \cdot 3^2 \cdot 3}\)

Vrem să-l scriem pe \({\sqrt{108}}\) ca \({3\sqrt{x}}\), adică vrem ca în fața radicalului să-l avem pe 3. De aceea, de sub radical îl vom scoate doar pe 3:

\({\sqrt{108}=\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 3}=3\sqrt{2^2 \cdot 3}=3\sqrt{4 \cdot 3}=3\sqrt{12}}\)

Avem \({\sqrt{108}=3\sqrt{12}=3\sqrt{a}}\), rezultă că \({a=12}\).

d) Să găsim numărul \({a}\), știind că \({\sqrt{8}=a\sqrt{a}}\).

• observăm că în partea stângă a egalului avem \({\sqrt{8}}\); nu avem factori scoși de sub radical;


• în partea dreaptă a egalului avem \({a\sqrt{a}}\); factorul \({a}\) este scos de sub radical;



(factorul care se introduce sub radical este număr pozitiv)

• Varianta 1: în \({a\sqrt{a}}\), introducem factorul \({a}\) sub radical și obținem:



\({\textcolor{deeppink}{a}\sqrt{a}=\sqrt{\textcolor{deeppink}{a}^\textcolor{#6495ed}{\textbf{2}} \cdot a}=\sqrt{a^{2+1}}=\sqrt{a^3}}\)

\({\sqrt{8}=\sqrt{a^3}}\)

Rezultă că \({8=a^3}\)

\({a^3=a \cdot a \cdot a}\)

Ce număr, înmulțit cu el însuși de 3 ori, ne dă 8?

\({8=2 \cdot 4=2 \cdot 2 \cdot 2}\)

Rezultă că \({a=2}\)



• Varianta 2: în \({\sqrt{8}}\), scoatem factorii sub radical:



\({8=2^3=2^2 \cdot 2}\)

\({\sqrt{8}=\sqrt{2^2 \cdot 2}=2\sqrt{2}}\)

Avem \({\sqrt{8}=2\sqrt{2}=a\sqrt{a}}\), rezultă că \({a=2}\).

e) Să găsim numărul \({a}\), știind că \({\sqrt{100}=2\sqrt{a^2}}\).

• observăm că în partea stângă a egalului avem \({\sqrt{100}}\); nu avem factori scoși de sub radical;


• în partea dreaptă a egalului avem \({2\sqrt{a^2}}\); factorul \({2}\) este scos de sub radical;


• Varianta 1: în \({2\sqrt{a^2}}\), introducem factorul \({2}\) sub radical și obținem:



\({\textcolor{deeppink}{2}\sqrt{a^2}=\sqrt{\textcolor{deeppink}{2}^\textcolor{#6495ed}{\textbf{2}} \cdot a^2}=\sqrt{4a^2}}\)

\({\sqrt{100}=\sqrt{4a^2}}\)

Rezultă că \({100=4a^2\;\,\, \mid \, :4}\)

\({25=a^2}\)

Ce număr, înmulțit cu el însuși, ne dă 25? sau Ce număr ridicat la pătrat, ne dă 25?

\({25=5 \cdot 5=5^2}\)

Rezultă că \({a=5}\)



• Varianta 2: în \({\sqrt{100}}\), scoatem factorii sub radical:



\({100=4 \cdot 25=2^2 \cdot 5^2 }\)

Vrem să-l scriem pe \({\sqrt{100}}\) ca \({2\sqrt{x}}\), adică vrem ca în fața radicalului să-l avem pe 2. De aceea, de sub radical îl vom scoate doar pe 2:

\({\sqrt{100}=\sqrt{2^2 \cdot 5^2}=2\sqrt{5^2 }}\)

Avem \({\sqrt{100}=2\sqrt{5^2}=2\sqrt{a^2 }}\), rezultă că \({a=5}\).

Vom introduce factorii sub radical în prima coloană (o altă variantă este să scoatem factorii de sub radical în coloana a doua).

Folosim formula

\({a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}}\),

unde \({a \ge 0}\) și \({b \ge 0}\).

\({\textcolor{deeppink}{2}\sqrt{7}=\sqrt{\textcolor{deeppink}{2}^\textcolor{#6495ed}{\textbf{2}} \cdot 7}=\sqrt{4 \cdot 7}=\sqrt{28}}\)

\({\textcolor{deeppink}{4}\sqrt{7}=\sqrt{\textcolor{deeppink}{4}^\textcolor{#6495ed}{\textbf{2}} \cdot 7}=\sqrt{16 \cdot 7}=\sqrt{112}}\)

\({\textcolor{deeppink}{5}\sqrt{11}=\sqrt{\textcolor{deeppink}{5}^\textcolor{#6495ed}{\textbf{2}} \cdot 11}=\sqrt{25 \cdot 11}=\sqrt{275}}\)

\({\textcolor{deeppink}{7}\sqrt{4}=\sqrt{\textcolor{deeppink}{7}^\textcolor{#6495ed}{\textbf{2}} \cdot 4}=\sqrt{49 \cdot 4}=\sqrt{196}}\)