facebook | mathema.romania@gmail.com
☰ Meniu principal
Memorator Algebră
clasele 5 - 8
- Numere naturale
- Ce sunt numerele naturale
- Scrierea și citirea numerelor naturale
- Scrierea unui număr natural ca sumă de produse
- Succesor. Predecesor
- Aproximarea. Estimarea. Rotunjirea
- Reprezentarea pe axa numerelor
- Compararea numerelor naturale
- Operații cu numere naturale
- • Adunarea
- • Scăderea
- • Înmulțirea. Factor comun
- • Împărțirea
- Ordinea operațiilor +, -, x, :
- Puterea cu exponent natural a unui număr natural
- Divizibilitatea
- Descompunerea unui număr natural în produs de puteri de numere prime
- Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.)
- Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.)
- Proprietăţile divizibilităţii numerelor naturale
- Ce sunt fracţiile
- Fracţii subunitare, echiunitare, supraunitare
- Fracţii echivalente
- Reprezentarea fracţiilor pe axa numerelor
- Compararea fracţiilor
- Introducerea întregilor în fracţie
- Scoaterea întregilor din fracţie
- Amplificarea fracţiilor
- Simplificarea fracţiilor
- Fracţii ireductibile
- Aducerea fracţiilor la acelaşi numitor
- Adunarea şi scăderea fracţiilor
- Înmulţirea fracţiilor
- Împărţirea fracţiilor
- O fracţie dintr-un număr. O fracţie dintr-o fracţie
- Procente. Procent dintr-un număr. Procent dintr-o fracţie
- Media aritmetică
- Puterea unei fracţii
- Ce este fracţia zecimală
- Transformarea unei fracţii ordinare în fracţie zecimală
- Transformarea unei fracţii zecimale în fracţie ordinară
- Reprezentarea fracţiilor zecimale pe axa numerelor
- Compararea fracţiilor zecimale
- Adunarea şi scăderea fracţiilor zecimale
- Înmulțirea fracțiilor zecimale cu un număr finit de zecimale nenule
- Împărțirea a două numere naturale cu rezultat fracție zecimală
- Împărţirea unei fracţii zecimale cu un număr finit de zecimale nenule la un număr natural nenul
- Ce sunt numerele întregi
- Adunarea numerelor întregi
- Scăderea numerelor întregi
- Înmulţirea numerelor întregi
- Împărţirea numerelor întregi
- Puterea cu exponent număr natural a unui număr întreg nenul
- Ordinea efectuării operaţiilor şi folosirea parantezelor - numere întregi
- Ecuaţii care se rezolvă în mulţimea numerelor întregi
- Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor în \({ℤ}\)
- Inecuaţii care se rezolvă în mulţimea numerelor întregi
- Probleme care se rezolvă cu ajutorul inecuaţiilor în \({ℤ}\)
- Ce sunt numerele raţionale
- • Relaţia între numerele naturale, numerele întregi şi numerele raţionale
- • Opusul unui număr rațional
- • Reprezentarea pe axă a unui număr rațional
- • Modulul unui număr rațional
- • Compararea numerelor raționale
- Adunarea și scăderea numerelor raţionale
- • Proprietăți
- Înmulţirea numerelor raţionale
- Împărţirea numerelor raţionale
- Puterea cu exponent număr întreg a unui număr raţional nenul
- Ordinea efectuării operaţiilor cu numere raţionale şi folosirea parantezelor
- Ecuaţii de gradul 1 în mulţimea numerelor raţionale
- Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor în mulţimea numerelor raţionale
- Rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural
- Rădăcina pătrată a pătratului unui număr întreg
- Rădăcina pătrată a pătratului unui număr rațional
- Cum încadrăm un număr între două pătrate perfecte consecutive
- Aproximarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv
- Scoaterea factorilor de sub radical
- Introducerea factorilor sub radical
- Numere iraționale
- Mulțimea numerelor reale
- Modulul unui număr real
- Compararea și ordonarea numerelor reale
- Reprezentarea prin aproximări a numerelor reale pe axa numerelor
- Operații cu numere reale
- • Adunarea și scăderea
- • Înmulțirea
- • Împărțirea
- • Puteri cu exponent număr întreg
- • Reguli de calcul cu radicali
- • Ordinea efectuării operațiilor
- Raționalizarea numitorului (prima parte) de forma \({a\sqrt{b}}\)
- Media geometrică (proporțională) a două numere reale pozitive
- Media aritmetică ponderată
- Ecuații de forma \({x^2 = a \in \mathbf{R}}\)
sisteme de ecuaţii liniare
- Transformarea unei egalități într-o egalitate echivalentă. Identități
- Ecuații de forma \({ax + b = 0 }\), \({a, b \in \mathbf{R}}\)
- Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute
- • Metoda substituției
- • Metoda reducerii
- Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor
- Probleme care se rezolvă cu ajutorul sistemelor de ecuații
- Expresii algebrice
- Operații cu numere reale reprezentate prin litere
- • Adunarea și scăderea
- • Înmulțirea, împărțirea, ridicarea la putere
- Formule de calcul prescurtat
- • Raționalizarea numitorului - partea a doua
- Descompuneri în factori
- Fracții algebrice
- • Ce sunt fracțiile algebrice
- • Amplificarea și simplificarea fracțiilor algebrice
- • Operații cu fracții algebrice
- • Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice
- • Înmulțirea fracțiilor algebrice
- • Împărțirea fracțiilor algebrice
- • Ridicarea la putere a fracțiilor algebrice
a datelor
- Organizarea datelor. Tabele. Frecvențe
- Grafice
- • Grafice cu bare verticale (coloane)
- • Grafice cu bare orizontale (benzi)
- • Grafice cu linii
- • Diagrame circulare
- Indicatorii tendinței centrale
- • Media
- • Mediana
- • Modul și amplitudinea
- Probabilități
- Produs cartezian
- Sistem de axe ortogonale
- Distanța dintre două puncte știind coordonatele lor. Mijlocul unui segment
≡ Memorator Algebră
- 1. Numere naturale
- • Ce sunt numerele naturale
- • Scrierea și citirea numerelor naturale
- • Scrierea unui număr natural ca sumă de produse
- • Succesor. Predecesor
- • Aproximarea. Estimarea. Rotunjirea
- • Reprezentarea pe axa numerelor
- • Compararea numerelor naturale
- • Operații cu numere naturale
- • Adunarea
- • Scăderea
- • Înmulțirea. Factor comun
- • Împărțirea
- • Ordinea operațiilor +, -, x, :
- 2. Puterea cu exponent natural a unui număr natural
- • Ce sunt puterile. Pătratul unui număr natural
- • Reguli de calcul cu puteri
- • Compararea puterilor
- • Scrierea în baza 10. Scrierea în baza 2
- • Ordinea operațiilor +, -, x, :, ab
- 3. Divizibilitatea
- • Divizor. Multiplu
- • Criterii de divizibilitate
- • Numere prime. Numere compuse
- • Ciurul lui Eratostene
- • Cum stabilim dacă un număr natural este prim
- • Descompunerea unui număr natural în produs de puteri de numere prime
- • Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.)
- • Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.)
- • Proprietăţile divizibilităţii numerelor naturale
- 4. Fracţii
- • Ce sunt fracţiile
- • Fracţii subunitare, echiunitare, supraunitare
- • Fracţii echivalente
- • Reprezentarea fracţiilor pe axa numerelor
- • Compararea fracţiilor
- • Introducerea întregilor în fracţie
- • Scoaterea întregilor din fracţie
- • Amplificarea fracţiilor
- • Simplificarea fracţiilor
- • Fracţii ireductibile
- • Aducerea fracţiilor la acelaşi numitor
- • Adunarea şi scăderea fracţiilor
- • Înmulţirea fracţiilor
- • Împărţirea fracţiilor
- • O fracţie dintr-un număr. O fracţie dintr-o fracţie
- • Procente. Procent dintr-un număr. Procent dintr-o fracţie
- • Media aritmetică
- • Puterea unei fracţii
- 5. Fracții zecimale
- • Ce este fracţia zecimală
- • Transformarea unei fracţii ordinare în fracţie zecimală
- • Transformarea unei fracţii zecimale în fracţie ordinară
- • Reprezentarea fracţiilor zecimale pe axa numerelor
- • Compararea fracţiilor zecimale
- • Adunarea şi scăderea fracţiilor zecimale
- • Înmulțirea fracțiilor zecimale cu un număr finit de zecimale nenule
- • Împărțirea a două numere naturale cu rezultat fracție zecimală
- • Împărţirea unei fracţii zecimale cu un număr finit de zecimale nenule la un număr natural nenul
- 6. Mulțimi
- • Ce sunt mulţimile
- • Relaţii între mulţimi
- • Operaţii cu mulţimi
- • Mulțimi speciale
- 7. Rapoarte şi proporţii
- • Ce sunt rapoartele şi proporţiile
Proprietatea fundamentală a proporţiilor - • Determinarea unui termen necunoscut dintr-o proporție
- • Proporții derivate
- • Șir de rapoarte egale
- • Mărimi direct proporționale
- • Mărimi invers proporționale
- • Regula de trei simplă
- 8. Numere întregi
- • Ce sunt numerele întregi
- • Adunarea numerelor întregi
- • Scăderea numerelor întregi
- • Înmulţirea numerelor întregi
- • Împărţirea numerelor întregi
- • Puterea cu exponent număr natural a unui număr întreg nenul
- • Ordinea efectuării operaţiilor şi folosirea parantezelor - numere întregi
- • Ecuaţii care se rezolvă în mulţimea numerelor întregi
- • Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor în \({ℤ}\)
- • Inecuaţii care se rezolvă în mulţimea numerelor întregi
- • Probleme care se rezolvă cu ajutorul inecuaţiilor în \({ℤ}\)
- 9. Numere raţionale
- • Ce sunt numerele raţionale
- • Relaţia între numerele naturale, numerele întregi şi numerele raţionale
- • Opusul unui număr rațional
- • Reprezentarea pe axă a unui număr rațional
- • Modulul unui număr rațional
- • Compararea numerelor raționale
- • Adunarea și scăderea numerelor raţionale
- • Proprietăți
- • Înmulţirea numerelor raţionale
- • Împărţirea numerelor raţionale
- • Puterea cu exponent număr întreg a unui număr raţional nenul
- • Ordinea efectuării operaţiilor cu numere raţionale şi folosirea parantezelor
- • Ecuaţii de gradul 1 în mulţimea numerelor raţionale
- • Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor în mulţimea numerelor raţionale
- 10. Numere reale
- • Rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural
- • Rădăcina pătrată a pătratului unui număr întreg
- • Rădăcina pătrată a pătratului unui număr rațional
- • Cum încadrăm un număr între două pătrate perfecte consecutive
- • Aproximarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv
- • Scoaterea factorilor de sub radical
- • Introducerea factorilor sub radical
- • Numere iraționale
- • Mulțimea numerelor reale
- • Modulul unui număr real
- • Compararea și ordonarea numerelor reale
- • Reprezentarea prin aproximări a numerelor reale pe axa numerelor
- • Operații cu numere reale
- • Adunarea și scăderea
- • Înmulțirea
- • Împărțirea
- • Puteri cu exponent număr întreg
- • Reguli de calcul cu radicali
- • Ordinea efectuării operațiilor
- • Raționalizarea numitorului (prima parte) de forma \({a\sqrt{b}}\)
- • Media geometrică (proporțională) a două numere reale pozitive
- • Media aritmetică ponderată
- • Ecuații de forma \({x^2 = a \in \mathbf{R}}\)
- 11. Ecuaţii şi
sisteme de ecuaţii liniare - • Transformarea unei egalități într-o egalitate echivalentă. Identități
- • Ecuații de forma \({ax + b = 0 }\), \({a, b \in \mathbf{R}}\)
- • Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute
- • Metoda substituției
- • Metoda reducerii
- • Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor
- • Probleme care se rezolvă cu ajutorul sistemelor de ecuații
- 12. Intervale de numere reale
- • Mulțimi definite printr-o proprietate comună a elementelor lor
- • Intervale de numere reale
- • Explicitarea modulului
- • Partea întreagă. Partea fracționară
- • Operații cu intervale
- 13. Inecuaţii în \({\mathbf{R}}\)
- • Relația de inegalitate pe mulțimea numerelor reale
- • Inecuații de forma \({ax + b \ge 0 }\) (\({\le, <, > }\)), \({a, b \in \mathbf{R}}\)
- • Probleme care se rezolvă cu ajutorul inecuațiilor
- 14. Calcul algebric în \({\mathbf{R}}\)
- • Expresii algebrice
- • Operații cu numere reale reprezentate prin litere
- • Adunarea și scăderea
- • Înmulțirea, împărțirea, ridicarea la putere
- • Formule de calcul prescurtat
- • Raționalizarea numitorului - partea a doua
- • Descompuneri în factori
- • Fracții algebrice
- • Ce sunt fracțiile algebrice
- • Amplificarea și simplificarea fracțiilor algebrice
- • Operații cu fracții algebrice
- • Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice
- • Înmulțirea fracțiilor algebrice
- • Împărțirea fracțiilor algebrice
- • Ridicarea la putere a fracțiilor algebrice
- 15. Ecuația de gradul 2
- • Forma, rezolvarea, discuția ecuației de gradul 2
- • Descompunerea în factori
- • Relațiile lui Viète
- • Ecuații bipătrate
- 16. Funcţia de gradul 1
- • Ce sunt funcțiile
- • Graficul unei funcții. Reprezentarea geometrică a graficului
- • Funcția de gradul 1 - definită pe \({\mathbf{R}}\)
- • Definită pe un interval mărginit
- • Definită pe un interval nemărginit
- • Definită pe o mulțime finită
- 17. Elemente de organizare
a datelor - • Organizarea datelor. Tabele. Frecvențe
- • Grafice
- • Grafice cu bare verticale (coloane)
- • Grafice cu bare orizontale (benzi)
- • Grafice cu linii
- • Diagrame circulare
- • Indicatorii tendinței centrale
- • Media
- • Mediana
- • Modul și amplitudinea
- • Probabilități
- • Produs cartezian
- • Sistem de axe ortogonale
- • Distanța dintre două puncte știind coordonatele lor. Mijlocul unui segment
∎ Ecuația de gradul al doilea - descompunere în factori
Exersează! - 1
A. Fie ecuația \({3x^2-15x+12=0}\) cu soluțiile \({x_1=1}\) și \({x_2=4}\).
a) Completează casetele astfel încât să obții o afirmație adevărată.
\({3x^2-15x+12=}\)
b) Discriminantul \({∆}\) al ecuației \({3x^2-15x+12=0}\) este mai mic, mai mare sau egal cu 0? Răspunde fără a calcula.
a)
- folosim formula \({ax^2+bx+c=a(x-\textcolor{#fc4f05}{x_1})(x-\textcolor{#ce03f2}{x_2})}\)
- avem \({\textcolor{#1e90ff}{3}x^2-15x+12=0}\) cu soluțiile \({x_1=1}\) și \({x_2=4}\)
- avem \({\textcolor{#1e90ff}{a=3}}\) (coeficientul lui \({x^2}\))
- \({3x^2-15x+12=3(x-\textcolor{#fc4f05}{1})(x-\textcolor{#ce03f2}{4})}\)
b) Deoarece ecuația are două soluții diferite, înseamnă că \({∆>0}\).
B. Fie ecuația \({2x^2+4x-6=0}\) cu soluțiile \({x_1=-3}\) și \({x_2=1}\).
a) Completează casetele astfel încât să obții o afirmație adevărată.
\({2x^2+4x-6=}\)
b) Discriminantul \({∆}\) al ecuației \({2x^2+4x-6=0}\) este mai mic, mai mare sau egal cu 0? Răspunde fără a calcula.
a)
- folosim formula \({ax^2+bx+c=a(x-\textcolor{#fc4f05}{x_1})(x-\textcolor{#ce03f2}{x_2})}\)
- avem \({\textcolor{#1e90ff}{2}x^2+4x-6=0}\) cu soluțiile \({x_1=-3}\) și \({x_2=1}\)
- avem \({\textcolor{#1e90ff}{a=2}}\) (coeficientul lui \({x^2}\))
- \({2x^2+4x-6=2[x-\textcolor{#fc4f05}{(-3)}](x-\textcolor{#ce03f2}{1})}\)
\({\textcolor{white}{2x^2+4x-6}=2(x+3)(x-1)}\)
\({x-(-3)=x+3}\) pentru că \({- \; \cdot \; -=+}\)
b) Deoarece ecuația are două soluții diferite, înseamnă că \({∆>0}\).
C. Fie ecuația \({x^2+5x+6=0}\) cu soluțiile \({x_1=-2}\) și \({x_2=-3}\).
a) Completează casetele astfel încât să obții o afirmație adevărată.
\({x^2+5x+6=}\)
b) Discriminantul \({∆}\) al ecuației \({x^2+5x+6=0}\) este mai mic, mai mare sau egal cu 0? Răspunde fără a calcula.
a)
- folosim formula \({ax^2+bx+c=a(x-\textcolor{#fc4f05}{x_1})(x-\textcolor{#ce03f2}{x_2})}\)
- avem \({\textcolor{#1e90ff}{1 \cdot} x^2+4x-6=0}\) cu soluțiile \({x_1=-2}\) și \({x_2=-3}\)
- avem \({\textcolor{#1e90ff}{a=1}}\) (coeficientul lui \({x^2}\); dacă nu este scris, înseamnă că este egal cu 1)
- \({x^2+4x-6=1 \cdot [x-\textcolor{#fc4f05}{(-2)}][x-\textcolor{#ce03f2}{(-3)}]}\)
\({\textcolor{white}{x^2+4x-6}=(x+2)(x+3)}\)
\({x-(-2)=x+2}\)
\({x-(-3)=x+3}\)
pentru că \({- \; \cdot \; -=+}\)
b) Deoarece ecuația are două soluții diferite, înseamnă că \({∆>0}\).
D. Fie ecuația \({3x^2-3x-36=0}\) cu soluțiile \({x_1=4}\) și \({x_2=-3}\).
a) Completează casetele astfel încât să obții o afirmație adevărată.
\({3x^2-3x-36=}\)
b) Discriminantul \({∆}\) al ecuației \({3x^2-3x-36=0}\) este mai mic, mai mare sau egal cu 0? Răspunde fără a calcula.
a)
- folosim formula \({ax^2+bx+c=a(x-\textcolor{#fc4f05}{x_1})(x-\textcolor{#ce03f2}{x_2})}\)
- avem \({\textcolor{#1e90ff}{3}x^2-3x-36=0}\) cu soluțiile \({x_1=4}\) și \({x_2=-3}\)
- avem \({\textcolor{#1e90ff}{a=3}}\) (coeficientul lui \({x^2}\))
- \({3x^2-3x-36=3(x-\textcolor{#fc4f05}{4})[x-\textcolor{#ce03f2}{(-3)}]}\)
\({\textcolor{white}{3x^2-3x-36}=3(x-4)(x+3)}\)
\({x-(-3)=x+3}\)
pentru că \({- \; \cdot \; -=+}\)
b) Deoarece ecuația are două soluții diferite, înseamnă că \({∆>0}\).
E. Fie ecuația \({-2x^2+8x-8=0}\) cu soluțiile \({x_1=x_2=2}\).
a) Scrie descompunerea în factori a expresiei \({E(x)=-2x^2+8x-8}\).
b) Discriminantul \({∆}\) al ecuației \({-2x^2+8x-8=0}\) este mai mic, mai mare sau egal cu 0? Răspunde fără a calcula.
a)
- folosim formula \({ax^2+bx+c=a(x-\textcolor{#fc4f05}{x_1})(x-\textcolor{#ce03f2}{x_2})}\)
- avem \({\textcolor{#1e90ff}{-2}x^2+8x-8=0}\) cu soluțiile \({x_1=x_2=2}\)
- avem \({\textcolor{#1e90ff}{a=-2}}\) (coeficientul lui \({x^2}\))
- \({-2x^2+8x-8=-2(x-\textcolor{#fc4f05}{2})(x-\textcolor{#ce03f2}{2})}\)
- ↓↓↓ alt mod de a rezolva ↓↓↓
- îl dăm factor comun pe -2
- aplicăm formula \({(x+y)^2=x^2+2xy+y^2}\)
\({\textcolor{white}{-2x^2+8x-8}=-2(x-2)^2}\)
\({-2x^2+8x-8=-2(x^2-4x+4)}\)
\({-2x^2+8x-8=-2(x^2-4x+4)}\)
\({\textcolor{white}{-2x^2+8x-8}=-2(x-2)^2}\)
b) Deoarece ecuația are soluțiile egale, înseamnă că \({∆=0}\).
F. Fie ecuația \({5x^2+10x+5=0}\) cu soluțiile \({x_1=x_2=-1}\).
a) Scrie descompunerea în factori a expresiei \({E(x)=5x^2+10x+5}\).
b) Discriminantul \({∆}\) al ecuației \({5x^2+10x+5=0}\) este mai mic, mai mare sau egal cu 0? Răspunde fără a calcula.
a)
- folosim formula \({ax^2+bx+c=a(x-\textcolor{#fc4f05}{x_1})(x-\textcolor{#ce03f2}{x_2})}\)
- avem \({\textcolor{#1e90ff}{5}x^2+10x+5=0}\) cu soluțiile \({x_1=x_2=-1}\)
- avem \({\textcolor{#1e90ff}{a=5}}\) (coeficientul lui \({x^2}\))
- \({5x^2+10x+5=5[x-\textcolor{#fc4f05}{(-1)}][x-\textcolor{#ce03f2}{(-1)}]}\)
- ↓↓↓ alt mod de a rezolva ↓↓↓
- îl dăm factor comun pe 5
- aplicăm formula \({(x+y)^2=x^2+2xy+y^2}\)
\({\textcolor{white}{5x^2+10x+5}=5(x+1)(x+1)}\)
\({\textcolor{white}{5x^2+10x+5}=5(x+1)^2}\)
\({x-(-1)=x+1}\)
pentru că \({- \; \cdot \; -=+}\)
\({5x^2+10x+5=5(x^2+2x+1)}\)
\({5x^2+10x+5=5(x^2+2x+1)}\)
\({\textcolor{white}{5x^2+10x+5}=5(x+1)^2}\)
b) Deoarece ecuația are soluțiile egale, înseamnă că \({∆=0}\).
Exersează 1 | Exersează 2 | Exersează 3 | Exersează 4 | Exersează 5