Cum arătăm că un patrulater este paralelogram

Vom arăta că fiecare condiție ne conduce la un paralelogram. Vă invit să le încercați alături de mine; acesta este un bun prilej pentru a lucra la geometrie.

Condiția: 1 2 3 4 5 6 7

Condiția 1

Un patrulater convex care are laturile opuse paralele două câte două este paralelogram.

Scriem datele problemei:

Ipoteză

ABCD patrulater convex

AB ‖ CD

AD ‖ BC

Concluzie

ABCD paralelogram

Demonstrație

Paralelogramul este un patrulater convex care are ambele perechi de laturi opuse paralele (definiția paralelogramului). Cum ABCD este un patrulater convex cu laturile opuse paralele două câte două, înseamnă că el este paralelogram.

Condiția 2

Să arătăm că, dacă avem un patrulater convex în care două laturi opuse sunt congruente și paralele, atunci patrulaterul este paralelogram.

Scriem datele problemei:

Ipoteză

ABCD patrulater convex

AB ‖

AB ≡

Concluzie

ABCD paralelogram

Demonstrație

Mai întâi facem desenul. Vom desena de la început un paralelogram pentru a ne fi mai ușor să demonstrăm; îl vom nota cu literele A, B, C și D.

Pentru a arăta că ABCD este paralelogram, trebuie să avem laturile opuse paralele două câte două (definiția paralelogramului). Din ipoteză știm că AB este paralel cu . Mai trebuie să arătăm că și este paralel cu BC.

Două laturi opuse sunt paralele și congruente (egale). Una dintre laturi este AB. Care e cealaltă latură?

Din ipoteză, știm că două laturi opuse sunt paralele. Care sunt celelalte două laturi opuse despre care avem de arătat că sunt paralele?

Două laturi opuse sunt paralele și congruente (egale). Una dintre laturi este AB. Care e cealaltă latură? ❖❖❖ Din ipoteză, știm că două laturi opuse sunt paralele. Care sunt celelalte două laturi opuse despre care avem de arătat că sunt paralele?

Analizăm problema.

Cum putem arăta că două segmente sunt paralele?

Răspuns: O modalitate este să găsim două unghiuri congruente (sau despre care să putem arăta că sunt congruente) alterne interne sau alterne externe sau corespondente, formate de cele două segmente și o secantă.

Presupunem că AD și BC sunt paralele (nu am arătat încă, doar presupunem). E suficient pentru a avea unghiuri congruente?

Răspuns: Pentru că două drepte paralele să formeze unghiuri congruente este nevoie de o secantă, adică o dreaptă care să „taie” ambele drepte paralele.

Presupunem că AD și BC sunt paralele (nu am arătat încă, doar presupunem). Ce secantă avem sau putem desena și ce unghiuri congruente ar rezulta de aici?

Răspuns: Putem folosi ca secante diagonalele AC sau BD ale patrulaterului sau laturile AB sau CD. În cazul nostru, dacă AD și BC ar fi paralele, iar AC secantă, atunci unghiurile DAC și BCA ar fi congruente - alterne interne.

Putem arăta că aceste unghiuri sunt congruente? Dacă da, cum?

Răspuns: Arătăm că triunghiurile DAC și BCA sunt congruente.

Putem arăta că aceste triunghiuri sunt congruente? Dacă da, cum?

Răspuns: AC este latură comună. Din ipoteză știm că AB și CD sunt congruente. Tot din ipoteză știm că AB și CD sunt paralele; cum AC este secantă, înseamnă că unghiurile BAC și ACD sunt congruente (alterne interne). Rezultă că triunghiurile DAC și BCA sunt congruente (cazul L.U.L.).

Am analizat problema cu ajutorul întrebărilor. Am obținut că avem nevoie de o diagonală, de exemplu AC. Pentru a putea arăta că AD și BC sunt paralele, vom arăta mai întâi că triunghiurile DCA și BAC sunt congruente, iar de aici va rezulta că unghiurile DAC și BCA sunt congruente. Aceste unghiuri sunt alterne interne formate de AD și BC și secanta AC, deci AD și BC sunt paralele.

Să scriem demonstrația.

AC diagonală

AB ‖ CD (din ipoteză), AC secantă ⇒ ∢BAC ≡ ∢ (alterne interne) 1

AB ≡ CD (din ipoteză) 2

AC latură comună 3

Din 1, 2 și 3 ⇒ △ ≡ △BCA (cazul L.U.L.) ⇒ ∢DAC ≡ ∢ ⇒ ‖ BC, AC secantă

AB ‖ CD (ipoteză) și ‖ BC ⇒ ABCD paralelogram (conform definiției)

Condiția 3

Fie ABCD patrulater convex în care laturile opuse sunt congruente (egale) două câte două. Arătați că ABCD este paralelogram.

Scriem datele problemei.

Ipoteză

ABCD patrulater convex

AB ≡ CD

AD ≡ BC

Concluzie

ABCD paralelogram

Demonstrație

Desenăm un patrulater convex. Deoarece știm că trebuie să arătăm că e paralelogram, desenăm de la început un paralelogram, pentru a ne fi mai ușor să demonstrăm.

A arăta că ABCD este paralelogram înseamnă a arăta că laturile opuse sunt paralele două câte două: AB paralel cu CD, iar AD paralel cu BC.

Analizăm problema.

Cum putem arăta că două drepte sunt paralele?

Răspuns: Arătăm că cele două drepte tăiate de o secantă formează unghiuri congruente (alterne sau corespondente) sau suplementare.

Arătăm că AD și BC sunt paralele. Ce secantă le intersectează?

Răspuns: Diagonalele pot fi secante. Celelalte două laturi pot fi secante. De exemplu, vom considera diagonala AC.

Arătăm că AD și BC sunt paralele, cu AC secantă. Pentru asta, arătăm că unghiurile DAC și ACB sunt congruente (alterne interne).

Cum putem arăta că două unghiuri sunt congruente?

Răspuns: Le încadrăm ca unghiuri omoloage în două triunghiuri congruente (sau despre care putem arăta că sunt congruente).

Pentru unghiurile noastre, ce triunghiuri am putea arăta că sunt congruente? Folosește desenul și intuiția.

Răspuns: Arătăm că triunghiurile ADC și CBA sunt congruente.

Cum arătăm că sunt triunghiuri congruente?

Răspuns: Cazul L.L.L: din ipoteză avem două perechi de laturi congruente, iar AC este latură comună.

Să scriem demonstrația.

Fie AC diagonala patrulaterului.

Arătăm că △ADC ≡ △CBA.

AB ≡ (din ipoteză) 1

≡ BC (din ipoteză) 2

latură comună 3

Din 1, 2 și 3 ⇒ △ADC ≡ △CBA (cazul L.L.L.) ⇒ ∢DAC ≡ ∢ ⇒ AD ‖ , AC secantă (unghiuri alterne interne)

△ADC ≡ △CBA ⇒ ∢ ≡ ∢ACD ⇒ ‖ CD, AC secantă (unghiuri alterne interne)

Cum cele două perechi de laturi opuse (AB și CD, AD și BC) sunt paralele, înseamnă că ABCD este paralelogram (conform definiției).

Condiția 4

Fie ABCD un patrulater convex în care unghiurile opuse sunt congruente (egale) două câte două. Arătați că ABCD este paralelogram.

Să scriem datele problemei.

Ipoteză

ABCD patrulater convex

∢A ≡ ∢

∢ ≡ ∢D

Concluzie

ABCD paralelogram

Demonstrație

Desenăm un patrulater convex. Deoarece știm că trebuie să arătăm că e paralelogram, desenăm de la început un paralelogram, pentru a ne fi mai ușor să demonstrăm.

A arăta că ABCD este paralelogram înseamnă a arăta că laturile opuse sunt paralele două câte două: AB paralel cu CD, iar AD paralel cu BC.

Analizăm problema.

Cum putem arăta că două drepte sunt paralele?

Răspuns: Arătăm că cele două drepte tăiate de o secantă formează unghiuri congruente (alterne interne sau externe sau corespondente) sau suplementare (interne sau externe de aceeași parte a secantei).

Ce secantă avem sau putem desena pentru a arăta că AD este paralel cu BC?

Răspuns: Putem folosi diagonalele AC sau BD sau putem folosi laturile AB sau CD.

Ai mai întâlnit probleme asemănătoare?

Răspuns: Da, atunci cănd am arătat că un patrulater convex cu laturile opuse congruente două câte două este paralelogram. Am considerat ca secantă diagonala AC, am arătat că triunghiurile formate de ea cu laturile patrulaterului sunt congruente și am obținut două unghiuri alterne interne congruente.

Pentru a arăta că AD și BC sunt paralele, să încercăm metoda pe care am folosit-o la condiția 3. Să considerăm că diagonala AC este secantă. Cum arătăm că triunghiurile ABC și CDA sunt congruente?

Răspuns: Avem latura comună AC și unghiurile B și D congruente din ipoteză. Altceva nu mai avem și nici nu putem arăta.

Am aflat că metoda anterioară nu merge aici. Să mai citim o dată problema, să vedem ce alte date ne oferă.

ABCD este patrulater convex. Ce proprietăți are patrulaterul convex?

Răspuns: Suma măsurilor unghiurilor patrulaterului convex este de 180° .

Atenție | Ne amintim că două drepte sunt paralele dacă, fiind tăiate de o secantă, formează unghiuri interne suplementare aceeași parte a secantei (ca unghiurile 3 și 6 din desenul acesta). Pentru a demonstra că AD și BC sunt paralele, vom folosi ca secantă o latură a patrulaterului, de exemplu AB. Înseamnă că vrem să arătăm că unghiurile A și D sunt suplementare (ele sunt formate de AD și BC și secanta AB).

Să folosim proprietatea referitoare la suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex.

∢A + ∢B + ∢C + ∢D = ° 1

∢A ≡ ∢(din ipoteză)

∢B ≡ ∢ (din ipoteză)

Relația 1 devine ∢A + ∢D + ∢A + ∢D = °

adică 2 ⋅ ∢A + 2 ⋅ ∢ = °

adică 2 ⋅ (∢A + ∢) = °

deci ∢A + ∢ = ° 2

Unghiurile A și D sunt suplementare. Ele sunt interne de aceeași parte a secantei AD, deci AB și sunt paralele.

Observație | Pentru a demonstra că AB și CD sunt paralele, am arătat că împreună cu secanta AD formează unghiuri suplementare.

De data aceasta, am considerat ca secantă una dintre laturile patrulaterului. Și diagonalele AC și BD sunt secante pentru AB și CD, dar ele nu ne conduc la rezolvarea problemei.

Să arătăm că AD și BC sunt paralele. Vom arăta că AD și BC împreună cu o secantă formează unghiuri suplementare. Ca secante, putem considera una dintre laturile AB sau CD. Să considerăm AB secantă. AD și BC tăiate de secanta AB formează unghiurile A și B ale patrulaterului. Despre aceste unghiuri vrem să arătăm că sunt suplementare. Pentru asta, folosim relația 2 (se poate folosi și relația 1, dar nu are rost să scriem de la început). Știm că unghiurile A și D sunt suplementare. Mai știm că unghiurile B și D sunt egale. Să vedem ce obținem de aici.

∢A + ∢D = ° ⇒ ∢A + ∢ = °

Unghiurile A și B sunt suplementare; ele sunt interne de aceeași parte a secantei AB, deci AD și sunt paralele.

Cum AB paralel cu CD și AD paralel cu BC, rezultă că ABCD este paralelogram (conform definiției).

Condiția 5

Fie ABCD un patrulater convex în care oricare două unghiuri alăturate sunt suplementare. Arătați că ABCD este paralelogram.

Să scriem datele problemei.

Ipoteză

ABCD patrulater convex

∢A + ∢B = °

∢B + ∢C = °

∢C + ∢D = °

∢A + ∢D = °

Concluzie

ABCD paralelogram

Demonstrație

Ce înseamnă „unghiuri suplementare”?

Răspuns: Unghiurile suplementare au suma de 180° .

Desenăm un patrulater convex. Deoarece știm că trebuie să arătăm că e paralelogram, desenăm de la început un paralelogram, pentru a ne fi mai ușor să demonstrăm.

∢A + ∢B = °

Unghiurile A și B sunt unghiuri de aceeași parte a secantei ⇒ AD ‖ BC 1

∢B + ∢C = °

Unghiurile B și C sunt unghiuri de aceeași parte a secantei ⇒ AB ‖ CD 2

Din 1 și 2 ⇒ ABCD paralelogram (conform definiției)

Condiția 6

Fie ABCD un patrulater convex în care diagonalele AC și BD se intersectează în punctul O. Știind că AO este congruent cu CO și că BO este congruent cu DO, arătați că ABCD este paralelogram.

Să scriem datele problemei.

Ipoteză

ABCD patrulater convex

AC ⋂ = {}

AO ≡

BO ≡

Concluzie

ABCD paralelogram

Demonstrație

Desenăm un patrulater convex. Deoarece știm că trebuie să arătăm că e paralelogram, desenăm de la început un paralelogram, pentru a ne fi mai ușor să demonstrăm.

A arăta că ABCD este paralelogram înseamnă a arăta că AD este paralel cu BC, iar AB este paralel cu CD (definiția paralelogramului).

Arătăm mai întâi că AD și BC sunt paralele.

Cum putem arăta că două drepte sunt paralele?

Răspuns: Arătăm că cele două drepte împreună cu o secantă formează unghiuri congruente (alterne interne sau externe sau corespondente) sau unghiuri suplementare (de aceeași parte a secantei, interne sau externe).

Vrem să arătăm că AD și BC sunt paralele. Ce secante avem sau putem desena?

Răspuns: Avem ca secante diagonalele patrulaterului și laturile AB și CD. Considerăm pe rând fiecare secantă a dreptelor AD și BC și vedem ce putem afla.

Ce variantă ne oferă cele mai multe informații și ne conduce la rezolvarea problemei?

Răspuns: Dacă vom considera ca secantă una dintre diagonalele AC sau BD ale patrulaterului, atunci vom obține două perechi de triunghiuri congruente, care ne conduc la unghiuri congruente alterne interne, astfel încât să obținem că AD este paralelă cu BC.

Arătăm că AD este paralel cu BC, folosind secanta AC (se procedează la fel și cu diagonala BD).

AO ≡ 1

BO ≡ 2

∢AOD ≡ ∢ (opuse la vârf) 3

Din 1, 2 și 3 ⇒ △AOD ≡ △ (cazul L.U.L.) ⇒ ∢DAC ≡ ∢ ⇒ ‖ BC, AC secantă (alterne interne)

AO ≡ a

BO ≡ b

∢AOB ≡ ∢ (opuse la vârf) c

Din a, b și c ⇒ △AOB ≡ △ (cazul L.U.L.) ⇒ ∢BAC ≡ ∢ ⇒ ‖ CD, AC secantă (alterne interne)

Cum AD este paralel cu BC și AB este paralel cu CD, înseamnă că ABCD este paralelogram.

Condiția 7

Fie ABCD un patrulater convex în care ∢BAC este congruent cu ∢ACD, iar ∢DAC este congruent cu ∢ACB. Arătați că ABCD este paralelogram.

Să scriem datele problemei.

Ipoteză

ABCD patrulater convex

∢BAC ≡ ∢ACD

∢DAC ≡ ∢ACB

Concluzie

ABCD paralelogram

Demonstrație

Desenăm un patrulater convex. Deoarece știm că trebuie să arătăm că e paralelogram, desenăm de la început un paralelogram, pentru a ne fi mai ușor să demonstrăm.

A arăta că ABCD este paralelogram înseamnă a arăta că AD este paralel cu BC, iar AB este paralel cu CD (definiția paralelogramului).

Arătăm mai întâi că AD și BC sunt paralele.

∢BAC ≡ ∢ ⇒ ‖ CD, secantă 1

Arătăm că AB și CD sunt paralele.

∢ ≡ ∢ACB ⇒ AD ‖ , secantă 2

Din 1 și 2 ⇒ ABCD este paralelogram.

Te felicit că ai avut răbdarea să lucrezi exemplele din acest articol. Te invit să urmărești mathema.ro și pentru alte articole care ți-ar putea folosi.

Puteți citi și ...

Ce este patrulaterul?

Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex

Despre mediatoare

Cum desenăm un cub folosind două pătrate egale

Dacă vreți să susțineți funcționarea și dezvoltarea mathema.ro, puteți contribui prin donație. Aceasta nu elimină reclamele existente, dar îmi permite să accelerez dezvoltarea website-ului și să acopăr costurile de funcționare.

Nume titular: GEORGIU LIVIA-NICOLETA

IBAN: RO20BTRLRONCRT0287588001

SWIFT: BTRLRO22

Mulțumesc! ❤️