Paralelogramul. Proprietăți

Fiecare proprietate a paralelogramului este detaliată mai jos. Demonstrațiile lor sunt un bun mijloc să exersăm, așa că vă invit să le încercați.

Proprietatea 1

Într-un paralelogram, laturile opuse sunt congruente (egale) două câte două.

De ce?

Laturile AB și CD sunt opuse; arătăm că sunt congruente (egale).

Cum arătăm că două segmente sunt congruente? O metodă este să le încadrăm în două triunghiuri despre care vom arăta că sunt congruente (cele două segmente trebuie să fie laturi omoloage). Dar noi nu avem triunghiuri, avem doar un paralelogram! Cum facem?

Desenăm o diagonală a paralelogramului, de exemplu diagonala AC. Acum avem două triunghiuri, ABC și ADC. Putem arăta că sunt congruente? Ar fi minunat dacă ar fi congruente, pentru că AB și CD sunt laturi omoloage în aceste triunghiuri. Dacă triunghiurile sunt congruente, atunci AB și CD sunt congruente.

Triunghiurile ABC și CDA au latura AC comună; acum ne interesează unghiurile alăturate acestei laturi, să vedem dacă ne încadrăm în cazul U.L.U.

AD este paralelă cu BC și AC este secantă, înseamnă că unghiurile DAC și ACB sunt congruente;

AB este paralelă cu CD și AC este secantă, deci unghiurile BAC și ACD sunt congruente;

înseamnă că triunghiurile ABC și CDA sunt congruente (cazul U.L.U.), deci AB este congruentă cu CD și AD este congruentă cu BC.

Cum scriem în limbaj matematic?

Proprietatea 2

Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente (egale) două câte două.

De ce?

Laturile opuse sunt paralele, deci ne gândim la proprietățile dreptelor paralele. Luăm pe rând cele două perechi de laturi paralele:

AD este paralelă cu BC și AB este secantă (adică taie cele două drepte paralele), înseamnă că unghiurile A și B sunt suplementare (adică suma lor este 180° );

{ Astfel am mai găsit o proprietate importantantă a paralelogramului:

Proprietatea 3

Într-un paralelogram, unghiurile alăturate sunt suplementare (au suma egală cu 180° ). }

AB este paralelă cu CD și BC este secantă, înseamnă că unghiurile B și C sunt suplementare;

cum A și B sunt unghiuri suplementare și B și C sunt, de asemenea, suplementare, înseamnă că A și C sunt unghiuri congruente.

Cum scriem în limbaj matematic?

Proprietatea 4

Într-un paralelogram, unghiurile alăturate sunt suplementare (au suma egală cu 180° ).

De ce?

ABCD paralelogram ⇒ AD ‖ , AB secantă ⇒ ∢ și ∢BAD sunt suplementare (interne și de aceeași parte a secantei)

ABCD paralelogram ⇒ ‖ BC, CD secantă ⇒ ∢ADC și ∢ sunt suplementare (interne și de aceeași parte a secantei)

ABCD paralelogram ⇒ AB ‖ , secantă ⇒ ∢BAD și ∢ADC sunt suplementare (interne și de aceeași parte a secantei)

ABCD paralelogram ⇒ ‖ CD, BC secantă ⇒ ∢ și ∢DCB sunt suplementare (interne și de aceeași parte a secantei)

Proprietatea 5

Într-un paralelogram, diagonalele se înjumătățesc.

De ce?

Ipoteza este că în paralelogramul ABCD diagonalele se intersectează în punctul O. Să arătăm că AO este congruentă cu OC și că BO este congruentă cu OD.

Scriem datele problemei:

Ipoteză

ABCD paralelogram

AC, diagonale

AC ⋂ = {}

Concluzie

AO ≡

≡ DO

Demonstrație

1) Desenăm paralelogramul, notăm vârfurile cu A, B, C, D având grijă la ordinea literelor, desenăm diagonalele și notăm cu O punctul lor de intersecție.

2) Cum putem arăta că două segmente sunt congruente?

Răspuns: O metodă este să le încadrăm ca laturi omoloage (corespunzătoare) în două triunghiuri despre care știm (sau putem arăta) că sunt congruente.

3) În ce triunghiuri găsim segmentele despre care trebuie să arătăm că sunt congruente?

Răspuns: În triunghiurile AOB, BOC, COD și AOD.

4) Arătăm că triunghiurile AOB și sunt congruente.

5) ABCD este paralelogram; este singura informație din ipoteză. Să vedem ce putem deduce de aici.

ABCD este paralelogram, rezultă că este paralelă cu CD, iar AC este secantă. Înseamnă că unghiurile BAC și sunt congruente. 1

Din faptul că AB și sunt paralele și este secantă rezultă că unghiurile ABD și BDC sunt congruente. 2

Laturile AB și ale paralelogramului sunt congruente. 3

Din 1 , 2 și 3 rezultă că triunghiurile AOB și sunt congruente (cazul ). De aici rezultă că AO este congruentă cu OC și că BO este congruentă cu OD, ceea ce am avut de demonstrat.

Proprietatea 6

Într-un paralelogram, fiecare diagonală formează unghiuri congruente (egale) cu laturile opuse.

De ce?

Arătăm că unghiurile formate de diagonala AC (secantă) și laturile paralele AD și BC sunt congruente. Pentru diagonala BD se lucrează în mod asemănător.

Scriem datele problemei:

Ipoteză

ABCD paralelogram

AC diagonală

Concluzie

1 ∢BAC ≡ ∢

2 ∢ ≡ ∢ACB

Demonstrație

1) Desenăm paralelogramul, notăm vârfurile cu A, B, C, D având grijă la ordinea literelor, apoi desenăm diagonala AC. Identificăm cele două perechi de unghiuri despre care vom arăta că sunt congruente.

2) Cum putem arăta că două unghiuri sunt congruente?

Răspuns: O modalitate este să arătăm că sunt unghiuri formate de două drepte paralele tăiate de o secantă.

3) În problema noastră avem drepte paralele? Dacă da, care sunt?

Răspuns: Da. ABCD este paralelogram, deci laturile opuse sunt paralele. Avem două perechi de drepte paralele: AB este paralelă cu CD, AD este paralelă cu BC.

4) Să ne concentrăm pe perechea de unghiuri BAC și ACD. Avem două drepte paralele care să fie tăiate de o secantă și să formeze aceste unghiuri?

Răspuns: Unghiurile BAC și ACD sunt formate de dreptele paralele AB și CD și de secanta AC.

4) Ce putem spune de unghiurile BAC și ACD?

Răspuns: Unghiurile BAC și ACD sunt alterne interne și congruente (egale).

5) Să scriem demonstrația în limbaj matematic.

ABCD paralelogram ⇒ ‖ CD, AC secantă ⇒ ∢BAC ≡ ∢ (alterne )1

ABCD paralelogram ⇒ ‖ BC, AC secantă ⇒ ∢DAC ≡ ∢ (alterne )2

Puteți citi și ...

Ce este patrulaterul?

Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex

Despre mediatoare

Cum desenăm un cub folosind două pătrate egale

Dacă vreți să susțineți funcționarea și dezvoltarea mathema.ro, puteți contribui prin donație. Aceasta nu elimină reclamele existente, dar îmi permite să accelerez dezvoltarea website-ului și să acopăr costurile de funcționare.

Nume titular: GEORGIU LIVIA-NICOLETA

IBAN: RO20BTRLRONCRT0287588001

SWIFT: BTRLRO22

Mulțumesc! ❤️