Paralelogramul. Proprietăți. Exemple

Exemple - proprietățile paralelogramului

Exemplu 1 Exemplu 2 Exemplu 3 Exemplu 4

Exemplu 1

În paralelogramul ABCD, măsura unghiului B este de 50°. Calculează măsurile celorlalte unghiuri ale paralelogramului.

Ipoteză

ABCD paralelogram

∢B = 50°

Concluzie

∢A = ?

∢C = ?

∢D = ?

Rezolvare

1) Desenăm paralelogramul (dacă simți că poți rezolva problema fără desen, e în regulă) și notăm pe el informațiile din ipoteză.

2) Ne gândim la proprietățile paralelogramului, în special la cele referitoare la unghiuri, pentru că în problemă ni se dă măsura unghiului B.

3) Ne gândim la alte teoreme importante referitoare la unghiurile paralelogramului sau patrulaterului convex, pentru că paralelogramul este patrulater convex.

4) Rezolvăm împreună; poți încerca singur(ă), apoi te verifici.

ABCD paralelogram ⇒ ∢A ≡ ∢C și ∢B ≡ ∢D ⇒ ∢B = ∢D = 50° 1

ABCD patrulater convex ⇒ ∢A + ∢B + ∢C + ∢D = 360° 2

Din 1 și 2 ⇒ ∢A + 50° + ∢C + 50° = 360°

adică ∢A + 50° + ∢A + 50° = 360°

2 ⋅ ∢A + 100° = 360°

2 ⋅ ∢A = 360° - 100°

2 ⋅ ∢A = 260°

∢A = 260° : 2

∢A = 130° = ∢C

Observație | Putem scrie calculele într-un singur exercițiu: ∢A = (360° - 2 ⋅ 50°) : 2 = 130°

Am obținut că unghiurile A și C au măsurile de 130° , iar unghiurile B și D au măsurile de 50°. Putem verifica prin adunare: 50 plus 50 plus 130 plus 130 egal cu 360 - corect.

Observație | Dacă știm măsura unui unghi al unui paralelogram, putem calcula și măsurile celorlalte unghiuri ale acestuia.

5) Ce teoreme importante am folosit pentru rezolvarea problemei? E important să le identificăm clar și să le ținem minte pentru când vom mai rezolva probleme la geometrie.

Răspuns: 1. Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente (egale) și 2. Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este de 360°.

Exemplu 2

În paralelogramul ABCD știm că ∢BDC = 50°, ∢ACB = 25° și ∢AOD = 140°, unde O este punctul de intersecție a diagonalelor paralelogramului. Calculați măsurile unghiurilor paralelogramului ABCD.

Ipoteză

ABCD paralelogram

∢BDC = 50°

∢ACB = 25°

∢AOD = 140°

Concluzie

∢BAD = ?

∢ABC = ?

Rezolvare

1) Desenăm paralelogramul și notăm pe el informațiile din ipoteză.

2) Observăm că două dintre unghiurile date în ipoteză sunt formate de diagonale cu laturile paralele ale paralelogramului, iar al treilea unghi este unghiul dintre diagonale.

3) Ce unghi e congruent (egal) cu ∢BDC?

Răspuns: Unghiul ABD; sunt unghiuri alterne interne formate de laturile paralele AB și CD și secanta BD.

4) Ce unghi e congruent (egal) cu ∢ACB?

Răspuns: Unghiul DAC; sunt unghiuri alterne interne formate de laturile paralele AD și BC și secanta AC.

5) Ce unghi e congruent (egal) cu ∢AOD?

Răspuns: Unghiul BOC; sunt unghiuri opuse la vârf.

6) Ce putem spune despre ∢AOD și ∢AOB?

Răspuns: Sunt suplementare (au suma de 180°).

7) Ce putem spune despre unghiurile triunghiului AOB?

Răspuns: Au suma de 180°. Suma unghiurilor oricărui triunghi este de 180°.

Să scriem totul în limbaj matematic și să efectuăm calculele.

ABCD paralelogram ⇒ AB ‖ CD și AD ‖ BC

AB ‖ CD, BD secantă ⇒ ∢ABD = ∢BDC = 50°

AD ‖ BC, AC secantă ⇒ ∢DAC = ∢ACB = 25°

∢AOD = ∢BOC = 140° (opuse la vârf)

∢AOD + ∢AOB = 180° (suplementare) ⇒ 140° + ∢AOB = 180° ⇒ ∢AOB = 40°

Am calculat măsurile mai multor unghiuri. Să le vedem pe desen.

8) Observăm că unghiul BAD este suma unghiurilor BAC și DAC; ∢DAC este de 25°. Cum calculăm măsura ∢BAC?

Răspuns: Unghiul BAC este (și) în triunghiul AOB. Folosim faptul că suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este de 180°; știm cât sunt unghiurile ABO și AOB, deci prin scădere calculăm și unghiul BAC.

În △AOB avem: ∢BAO + ∢AOB + ∢ABO = 180° ⇒ ∢BAO + 40° + 50° = 180° ⇒ ∢BAO = 90°

∢BAD = ∢ABO + ∢DAC = 90° + 25° = 115°

∢BAD = 115°

Calculăm măsura ∢ABC. Avem mai multe variante: putem calcula ca suma de două unghiuri, cum am calculat unghiul BAD sau putem calcula folosind faptul că într-un paralelogram unghiurile alăturate sunt suplementare sau putem calcula folosind metoda de la exemplul anterior.

∢ABC + ∢BAD = 180° (într-un paralelogram, unghiurile alăturate sunt suplementare)

∢ABC = 180° - 115° = 65°

∢ABC = 65°

9) Ce teoreme importante am folosit pentru rezolvarea problemei? E important să le identificăm clar și să le ținem minte pentru când vom mai rezolva probleme la geometrie.

Răspuns: 1. Unghiurile congruente formate de două drepte paralele tăiate de o secantă 2. Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180° 3. Unghiurile opuse la vârf sunt egale 4. Unghiurile suplementare au suma de 180°.

Exemplu 3

Fie paralelogramul ABCD în care știm că AB este de 5 cm, AD este de 7 cm, AC este de 6 cm, iar BD este de 10 cm. Calculați perimetrele paralelogramului ABCD și triunghiului AOB, unde O este punctul de intersecție a diagonalelor.

Ipoteză

ABCD paralelogram

AB = 5 cm

AD = 7 cm

AC = 6 cm

BD = 10 cm

AC ⋂ BD = {O}

Concluzie

P_ABCD = ?

P_AOB = ?

Rezolvare

1) Desenăm paralelogramul.

2) Ce este perimetrul?

Răspuns: Perimetrul înseamnă suma laturilor poligonului; în cazul nostru, avem de calculat mai întâi suma laturilor paralelogramului ABCD, apoi suma laturilor triunghiului AOB.

4) Ce ne lipsește și avem de aflat pentru a calcula perimetrul paralelogramului ABCD?

Răspuns: Știm lungimile laturilor AB și AD; avem de calculat lungimile laturilor BC și CD.

5) Ce proprietate a paralelogramului putem folosi?

Răspuns: Putem folosi proprietatea referitoare la laturi: laturile opuse sunt congruente (egale) două câte două.

Să scriem în limbaj matematic.

ABCD paralelogram ⇒ AB = CD = 5 cm și AD = BC = 7 cm

Calculăm perimetrul paralelogramului ABCD.

P_ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 7 = 10 + 14 = 24 cm

P_ABCD = 24 cm

Să calculăm perimetrul triunghiului AOB.

6) Ce ne lipsește și avem de aflat pentru a calcula perimetrul triunghiului AOB?

Răspuns: Știm lungimea laturii AB; avem de aflat lungimile laturilor AO și OB.

7) Ce proprietate a paralelogramului putem folosi?

Răspuns: Putem folosi proprietatea referitoare la diagonale: diagonalele paralelogramului se înjumătățesc.

Să scriem în limbaj matematic.

ABCD paralelogram ⇒ AO = OC = \({AC \over 2}\) = 3 cm și BO = OD = \({BD \over 2}\) = 5 cm

Calculăm perimetrul triunghiului AOB.

P_AOB = AB + OB + OC = 5 + 5 + 3 = 13 cm

P_AOB = 13 cm

8) Ce teoreme importante am folosit pentru rezolvarea problemei? E important să le identificăm clar și să le ținem minte pentru când vom mai rezolva probleme la geometrie.

Răspuns: 1. Într-un paralelogram, laturile opuse sunt congruente (egale) și 2. Într-un paralelogram, diagonalele se înjumătățesc.

Exemplu 4

Fie paralelogramul ABCD în care E este mijlocul laturii BC, iar F este simetricul lui A față de E.

a) Arătați că punctele D, C, F sunt coliniare;

b) Arătați că ariile triunghiurilor AFC și ACD sunt egale.

Ipoteză

ABCD paralelogram

E - mijlocul lui BC

F - simetricul lui A față de E

Concluzie

a) D, C și F - coliniare

b) A_AFC = A_ACD

Demonstrație

a) Mai întâi citim enunțul și explicăm fiecare noțiune nouă. De exemplu, în cazul nostru avem de explicat ce înseamnă simetricul unui punct față de alt punct și ce înseamnă puncte coliniare.

1) Ce înțelegem prin simetricul lui A față de F?

Răspuns: Stabilim punctul F astfel încât E să fie mijlocul segmentului AF. Pentru aceasta, prelungim segmentul AE cu un segment egal cu acesta, astfel încât E să fie între A și F. Punctul F se numește simetricul lui A față de E.

2) Ce sunt punctele coliniare?

Răspuns: Punctele coliniare sunt puncte care se află pe aceeași dreaptă.

3) Cum putem arăta că 3 puncte sunt coliniare?

Răspuns: Putem arăta că unghiul cu vârful în punctul din mijloc are 180°. În cazul nostru, arătăm că ∢DCF = 180°.

4) Acum putem să facem desenul.

BE ≡ (E mijlocul lui BC)

≡ EF (F simetricul lui A față de E)

∢AEB = ∢ (opuse la vârf)

Din 1, 2 și 3 ⇒ △ABE ≡ △ (cazul L.U.L.) ⇒ ∢ABC ≡ ∢ 4

ABCD paralelogram ⇒ ∢ ABC și ∢ suplementare 5

Din 4 și 5 ⇒ ∢BCF și ∢ suplementare ⇒ D, C și F coliniare

b) Să arătăm că ariile triunghiurilor AFC și ACD sunt congruente (egale).

1) Cum crezi că putem arăta acest lucru?

Răspuns: Pentru că cele două triunghiuri au o latură comună, cercetăm dacă se poate aplica teorema: „mediana unui triunghi împarte triunghiul în două triunghiuri cu ariile egale”. Cercetăm dacă AC este mediană pentru DF în triunghiul AFD, adică cercetăm dacă CF și CD sunt egale.

2) Cum putem arăta că două segmente sunt congruente (egale)?

Răspuns: Le încadrăm ca laturi omoloage în două triunghiuri despre care știm sau putem arăta că sunt congruente.

Arătăm că CD ≡ . Pentru asta, arătăm că △ABE ≡ △ (știm din ipoteză că AB și CD sunt egale, pentru că ABCD este paralelogram).

- mijlocul lui BC ⇒ BE ≡ 1

F - simetricul lui A față de E ⇒ AE ≡ 2

∢ ≡ ∢CEF (opuse la vârf) 3

Din 1, 2 și 3 ⇒ △ABE ≡ △ (L.U.L.) ⇒ AB ≡ . 4

AB ≡ (ABCD paralelogram) 5

Din 4 și 5 ⇒ ≡ CF ⇒ mediană în △AFC ⇒ A_AFC = A_ACD

A_AFC = A_ACD

!!! Ce teoreme importante am folosit pentru rezolvarea problemei? E important să le identificăm clar și să le ținem minte pentru când vom mai rezolva probleme la geometrie.

Răspuns: 1. Simetricul lui X față de Y este Z astfel încât Y să fie mijlocul lui XZ și 2. Puncte coliniare - formează unghi de 180° și 3. Proprietatea medianei de a împărți triunghiul în două triunghiuri cu arii egale.

Provocare! Privește desenul. Ce alt paralelogram avem, în afară de ABCD? Explică.

Puteți citi și ...

Ce este patrulaterul?

Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex

Despre mediatoare

Cum desenăm un cub folosind două pătrate egale

Dacă vreți să susțineți funcționarea și dezvoltarea mathema.ro, puteți contribui prin donație. Aceasta nu elimină reclamele existente, dar îmi permite să accelerez dezvoltarea website-ului și să acopăr costurile de funcționare.

Nume titular: GEORGIU LIVIA-NICOLETA

IBAN: RO20BTRLRONCRT0287588001

SWIFT: BTRLRO22

Mulțumesc! ❤️