Ce este paralelogramul
În acest articol
Ne amintim
Înainte de a începe, e bine să ne amintim unghiurile formate de o secantă și două drepte paralele:
Ce este paralelogramul
Din mulțimea patrulaterelor convexe, le alegem pe cele care au laturile opuse paralele două câte două. Pe acestea le numim paralelograme.
Paralelogramul este patrulaterul convex cu laturile opuse paralele.
Reținem! Pentru putea vorbi de un paralelogram, trebuie să avem:
laturile opuse să fie paralele două câte două.
Cum scriem în limbaj matematic?
Cum desenăm un paralelogram
Dacă vrem să desenăm un paralelogram oarecare, atunci este suficient să folosim rigla și putem aplica metoda de mai jos. Dacă vrem să desenăm un paralelogram care să respecte anumite condiții, atunci s-ar putea să avem nevoie și de compas - vezi un exemplu aici.
Vom desena folosind liniatura caietului de matematică.
folosind liniatura caietului, desenăm un segment orizontal care va fi o latură a paralelogramului; stabilim capetele segmentului, pe care le notăm cu A și B, de exemplu. Acestea sunt vârfuri ale paralelogramului;
din vârful A coborâm pe liniatura caietului câte pătrățele vrem noi; alegem să coborâm 4 pătrățele de exemplu;
mergem la dreapta sau la stânga tot pe liniatura caietului, câte pătrățele vrem noi; alegem să mergem la stânga 3 pătrățele, de exemplu; marcăm punctul în care am ajuns pentru că acesta este un vârf al paralelogramului.
unim vârful A cu noul vârf descoperit; acum avem două laturi ale paralelogramului;
din B coborâm pe liniatura caietului tot atâtea pătrățele cât am coborât din A, adică 4 pătrățele, în cazul nostru;
mai înainte am mers la stânga 3 pătrățele, deci vom merge tot la stânga, tot 3 pătrățele; marcăm punctul în care am ajuns, pentru că acesta este cel de-al patrulea vârf al paralelogramului.
unim vârful B cu noul vârf descoperit; acum avem trei laturi ale paralelogramului;
unim cele două vârfuri nou descoperite; acum avem și cea de-a patra latură a paralelogramului;
denumim ultimile vârfuri pe care le-am construit C și D.
Alt mod de a desena un paralelogram folosind definiția acestuia:
❖ desenăm două drepte paralele (orizontale, de exemplu) pe care le intersectăm cu alte două drepte paralele (oblice, de exemplu). Cele 4 puncte de intersecție (în care se întâlnesc) sunt cele 4 vârfuri ale paralelogramului. Această medodă folosește definiția paralelogramului.
Alte moduri de a desena un paralelogram folosesc proprietățile acestuia și le vom cerceta aici.
Exemple - cum desenăm un paralelogram
Exemplu 1: Știm lungimile a două laturi alăturate și unghiul dintre ele
Desenează paralelogramul ABCD, știind că AB este de 4 cm, BC este de 6 cm și ∢A este de 120°.
Analizăm
Observație | În primul rând este nevoie să stabilim ce sunt segmentele a căror lungime se dă în enunț: laturi sau diagonale. De asemenea, este nevoie să stabilim de la început ce sunt unghiurile a căror măsură se dă în enunț: unghiuri ale paralelogramului, unghiuri formate de cele două diagonale sau unghiuri formate de o diagonală cu două laturi opuse. Pentru asta, putem să ne folosim de notația paralelogramului sau putem face repede o schiță a unui paralelogram, cu mâna liberă, notăm vârfurile și vedem care sunt laturile, care sunt diagonalele etc.
Vedem că AB și BC sunt laturi alăturate, iar ∢A este un unghi al paralelogramului.
Ni se dau lungimile laturilor alăturate; înseamnă că AB și CD sunt opuse și egale cu 4 cm, iar BC și AD sunt opuse și egale cu 6 cm. Unghiurile opuse sunt egale, deci și ∢C are 120°. Unghiurile alăturate au suma de 180° (sunt suplementare), deci ∢B și ∢D sunt de 60° fiecare (180 minus 120).
Desenăm
Am folosit raportor desenat de Clker-Free-Vector-Images și riglă (modificată) desenată de OpenClipart-Vectors de la Pixabay.
Exemplu 2: Știm lungimile diagonalelor și unghiul dintre ele
Desenează paralelogramul MNPQ, știind că MP este de 8 cm, NQ este de 6 cm și ∢MON este de 75°, MP ⋂ NQ = {O}.
Analizăm
Observație | În primul rând este nevoie să stabilim ce sunt segmentele a căror lungime se dă în enunț: laturi sau diagonale. De asemenea, este nevoie să stabilim de la început ce sunt unghiurile a căror măsură se dă în enunț: unghiuri ale paralelogramului, unghiuri formate de cele două diagonale sau unghiuri formate de o diagonală cu două laturi opuse. Pentru asta, putem să ne folosim de notația paralelogramului sau putem face repede o schiță a unui paralelogram, cu mâna liberă, notăm vârfurile și vedem care sunt laturile, care sunt diagonalele etc.
Vedem că MP și NQ sunt diagonale, iar ∢MON este un unghi dintre diagonale.
Ni se dau lungimile diagonalelor; diagonalele paralelogramului se înjumătățesc, adică punctul O este mijlocul lui MP (MO egală cu OP egal cu 4 cm) și O este mijlocul lui NQ (NO egală cu OQ egal cu 3 cm).
Desenăm
Am folosit raportor desenat de Clker-Free-Vector-Images și riglă (modificată) desenată de OpenClipart-Vectors de la Pixabay.
Exemplu 3: Știm lungimile laturilor și lungimea unei diagonale
Desenează paralelogramul ABCD, știind că AB este de 3 cm, BC este de 5 cm și AC este de 7 cm.
Analizăm
Observație | În primul rând este nevoie să stabilim ce sunt segmentele a căror lungime se dă în enunț: laturi sau diagonale. Pentru asta, putem să ne folosim de notația paralelogramului sau putem face repede o schiță a unui paralelogram, cu mâna liberă, notăm vârfurile și vedem care sunt laturile și care sunt diagonalele.
Vedem că AB și BC sunt laturi alăturate, iar AC este o diagonală a paralelogramului. Înseamnă că AB și CD sunt egale (opuse) și au 3 cm fiecare, iar BC și AD sunt egale și au 5 cm fiecare.
Desenăm
Am folosit riglă (modificată) și compas desenate de OpenClipart-Vectors de la Pixabay.
Dacă vrem ca BC să fie de 5 cm, avem o infinitate de posibilități pentru punctul C. La fel, dacă vrem ca AC să fie de 7 cm, avem o infinitate de posibilități pentru punctul C. Cum alegem punctul C astfel încât să îndeplinească simultan două condiții: BC să fie de 5 cm și AC să fie de 7 cm?
Vom desena cercuri. Toate punctele de pe cerc sunt egal depărtate de centrul acestuia (segmentul care unește centrul cercului cu orice punct de pe cerc se numește rază). Mai întâi, vom desena un cerc cu centrul în B și cu raza de 5 cm (condiția ca BC să fie de 5 cm). Apoi vom desena un cerc cu centrul în A și cu raza de 7 cm (condiția ca AC să fie de 7 cm). Punctul în care cele două cercuri se intersectează este punctul C pe care-l căutăm noi - punctul care îndeplinește ambele condiții.
Obținem două posibilități pentru punctul C; alegem o variantă, pe care o vrem.
Alte moduri de a desena un paralelogram folosind proprietățile acestuia:
❖ desenăm două segmente inegale care au același mijloc. Capetele segmentelor sunt vârfurile paralelogramului. Această metodă folosește proprietatea paralelogramului de a avea diagonalele cu același mijloc.
❖ desenăm două segmente paralele și congruente. Capetele acestora sunt vârfurile paralelogramului. Această metodă folosește proprietatea paralelogramului de a avea aceleași două laturi opuse paralele și congruente (egale).
Te felicit că ai avut răbdarea să lucrezi exemplele din acest articol. Te invit să urmărești mathema.ro și pentru alte articole care ți-ar putea folosi.
Puteți citi și ...
Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex
Cum desenăm un cub folosind două pătrate egale
Dacă vreți să susțineți funcționarea și dezvoltarea mathema.ro, puteți contribui prin donație. Aceasta nu elimină reclamele existente, dar îmi permite să accelerez dezvoltarea website-ului și să acopăr costurile de funcționare.
Nume titular: GEORGIU LIVIA-NICOLETA
IBAN: RO20BTRLRONCRT0287588001
SWIFT: BTRLRO22
Mulțumesc! ❤️