Înmulțirea numerelor naturale

În drumul său spre școală, Radu trece pe lângă o mică livadă cu meri. El a numărat 3 rânduri de meri și pe fiecare rând câte 4 meri. Câți meri sunt în livadă?

Adunăm numărul merilor de pe fiecare rând:

Avem o adunare cu trei termeni, fiecare termen fiind egal cu 4. Pentru operația de adunare în care toți termenii sunt egali (se adună același număr cu el însuși de mai multe ori) se folosește o notație prescurtată, astfel:

Semnul se folosește de obicei în clasele primare; începând din clasa a V-a, se folosește semnul , pentru a se evita confuzia cu necunoscuta x a ecuațiilor. În programare și atunci când folosim calculatorul electronic pentru calcule utilizăm semnul *. Semnul pentru înmulțire poate să lipsească atunci când nu există riscul de confuzie:

Adunarea repetată a aceluiași număr conduce la operația de înmulțire. Numerele care se înmulțesc se numesc factori, iar rezultatul înmulțirii se numește produs.Unul dintre factori este numărul care se adună cu el însuși, iar celălalt ne arată de câte ori se adună numărul respectiv cu el însuși.

Încearcă și tu!

Roxana a cumpărat 3 seturi de globuri pentru bradul de Crăciun, fiecare set având câte 6 globuri. Un set costă 7 lei. Cât au costat cele 3 seturi de globuri? Câte globuri sunt în cele 3 seturi?

Răspuns

Un set de globuri costă 7 lei; pentru a afla cât costă 3 seturi, facem operația de înmulțire (înmulțirea este o adunare repetată - putem aduna 7 lei de 3 ori, dar e mai rapid și elegant să facem înmulțirea 7 înmulțit cu 3). Deci 3 seturi vor costa 21 de lei:

Un set e format din 6 globuri; înseamnă că 3 seturi au 18 globuri (facem operația de înmulțire, 6 ori 3 egal cu 18):

„de ... mai mare (mult) decât ...”

Cuvintele „de ... mai mare (mult) decât...”, „mai mare (mult) de ... decât ...” ne indică operația de înmulțire.

1) Care este numărul de patru ori mai mare decât 8?

Facem operația de înmulțire și obținem că numărul de patru ori mai mare decât 8 este 32.

2) În grădina din fața casei, Nina a plantat 6 bulbi de lalele, iar mama sa a plantat de 3 ori mai mulți bulbi. Câți bulbi au plantat împreună Nina și mama sa?

Să nu confundăm!

Atenție!

Sunt situații în care enunțul problemei conține cuvintele „de ... mai mare (mult) decât...”, dar totuși operația de efectuat nu este înmulțirea, ci împărțirea. De exemplu, numărul de 3 ori mai mare decât este 21. Care este numărul ?

În acest caz, facem operația de împărțire (operația inversă înmulțirii), pentru că numărul pe care trebuie să-l aflăm este de trei ori mai mic decât 21 (21 este trei ori mai mare decât ; înseamnă că este de 3 ori mai mic decât 21). Deci 21 împărțit la 3 este egal cu 7; este egal cu 7.

Pentru a nu cădea în astfel de „capcane”, este foarte important să analizăm bine enunțul problemei și să găsim relația corectă între necunoscuta care se cere și datele care ni se dau.

Încearcă și tu!

Să completăm cu numărul corect!

a) Dublul numărului 45 este ... .

b) Triplul numărului 20 este ... .

Răspuns

a) Cuvântul „dublu” înseamnă „de două ori mai mare”, „de două ori mai mult”. Înseamnă că trebuie să aflăm numărul care este de două ori mai mare decât 45. Pentru aceasta, facem operația de înmulțire, adică 45 ori 2 egal cu 90.

b) Triplu înseamnă „de trei ori mai mult (mare)”. Înseamnă că triplul numărului 20 este numărul de trei ori mai mare decât 20. Facem operația de înmulțire:

Reținem că:

Proprietățile înmulțirii

1) Înmulțirea este comutativă

Produsul a două numere rămâne același, indiferent de ordinea numerelor. Spunem că înmulțirea este comutativă:

De exemplu, să vedem dacă 4 înmulțit cu 5 este egal cu 5 înmulțit cu 4. Înmulțirea este o adunare repetată, deci vom avea:

2) Înmulțirea este asociativă

Dacă avem o înmulțire cu trei sau mai mulți factori, atunci putem să-i asociem (grupăm) cum vrem noi, iar rezultatul nu se modifică (uneori e nevoie să-i grupăm astfel încât să calculăm mai ușor). Spunem că înmulțirea este asociativă:

De exemplu, avem de înmulțit numerele 14, 5 și 2, scrise în această ordine. Putem să înmulțim 14 cu 5 și obținem 70, apoi înmulțim cu 2 și obținem 140. Sau putem înmulți mai întâi numerele 2 și 5 și obținem 10, apoi înmulțim cu 14 și obținem 140. A doua variantă este mai ușoară, pentru că ajungem la înmulțirea cu 10, care este ușoară (se scrie numărul care se înmulțește cu 10 și i se adaugă un 0 la sfârșit).

Putem înmulți mai întâi 14 cu 2, iar rezultatul îl înmulțim cu 5. Obținem tot 140; deci oricum am grupa (asocia) numerele care se înmulțesc, rezultatul rămâne același.

Încearcă și tu!

Să calculăm, folosind proprietățile înmulțirii:

Răspuns

Mai întâi privim cu atenție numerele pe care trebuie să le înmulțim; ne interesează să vedem dacă le putem asocia (grupa) astfel încât să calculăm mai ușor. Ne amintim că înmulțirea este asociativă (adică putem grupa factorii cum vrem, rezultatul nu se schimbă) și comutativă (putem schimba ordinea factorilor, iar rezultatul rămâne același).

De multe ori este folositor să găsim perechi de numere care înmulțite dau rezultatul 10, 100, 1000 etc. (sau un număr care are ultima cifră 0). Asta pentru că un număr natural se înmulțește cu 10, 100, 1000 etc adăugând la dreapta lui un zero, două zerouri, trei zerouri etc.

a) Trebuie să înmulțim numerele 5, 243 și 20. Observăm că avem un număr care are ultima cifră 0 (numărul 20); să vedem dacă-l putem asocia cu un alt număr astfel încât să putem calcula mai ușor. Dacă-l înmulțim cu 243, facem de fapt înmulțirea 243 ori 2 și adăugăm un zero la dreapta rezultatului. Dacă-l înmulțim pe 20 cu 5, obținem 100, un număr care este ușor de înmulțit apoi cu 243 (scriem 243 și adăugăm două zerouri la dreapta lui). Deci e convenabil să grupăm numerele 5 și 20 (înmulțite dau rezultatul 100), apoi înmulțim cu 243:

b) Vrem să găsim un mod de a calcula mai ușor. Numerele 19 și 4 se înmulțesc obișnuit, așa că ne uităm și la al treilea număr, care este 25. Observăm că 4 înmulțit cu 25 dă rezultatul 100, așa că e foarte avantajos pentru noi să înmulțim mai întâi aceste numere. Aplicăm asociativitatea înmulțirii și obținem:

c) Avem de înmulțit numerele 16, 23 și 25. La prima vedere, s-ar părea că va trebui să facem calculele în scris, în mod obișnuit. E adevărat că unul dintre factori este 25; dacă un alt factor ar fi 4, atunci am avea 25 ori 4 egal cu 100 și am mai simplifica din calcule.

Observăm că un factor este 16; el poate fi scris ca 4 ori 4. Folosim comutativitatea și asociativitatea înmulțirii și obținem:

3) Orice număr înmulțit cu 1 rămâne neschimbat

De exemplu, să vedem de ce 3 înmulțit cu 1 ne dă rezultatul 3.

Se mai spune că 1 este element neutru pentru înmulțire.

4) Dacă unul dintre factorii înmulțirii este 0, atunci produsul este 0

Sau putem spune că orice număr înmulțit cu 0 dă rezultatul 0.

Încearcă și tu!

Care este rezultatul?

Răspuns

Orice număr înmulțit cu 0 dă rezultatul 0. Deci vom avea 0 ori 1 egal cu 0; 0 ori 2 egal cu 0; 0 ori 3 egal cu 0 etc. Înseamnă că rezultatul final este 0.

5) Înmulțirea este distributivă față de adunare și față de scădere

Elena și Ovidiu vor să planteze trandafiri în grădină; Elena a cumpărat 3 trandafiri, iar Ovidiu 5 trandafiri. Fiecare trandafir a costat 8 lei. Copiii vor să afle cât au costat toți trandafirii. Să vedem cum au calculat:

Elena a aflat mai întâi câți trandafiri sunt în total, apoi a calculat cât au costat aceștia;

Ovidiu a aflat mai întâi cât au costat trandafirii cumpărați de Elena, apoi cât au costat cei cumpărați de el; la final a aflat cât au costat în total toți trandafirii;

cei doi copii au scris rezolvarea într-o singură expresie.

Elena și Ovidiu au calculat în două moduri și au obținut același rezultat: asta pentru că atunci când avem de înmulțit un număr cu o sumă, înmulțim acel număr cu fiecare termen al sumei. Acestă proprietate se numește distributivitatea înmulțirii față de adunare :

Înmulțirea este distributivă și față de scădere. Să vedem un exemplu.

Andrei are câțiva stupi. Anul acesta a vândut 90 kg de miere de salcâm, cu prețul de 20 de lei pentru 1 kg. Deja a primit banii pentru 50 kg; ce sumă de bani mai are de primit?

metoda 1: aflăm pentru ce cantitate de miere urmează să primească bani, apoi înmulțim această cantitate cu prețul mierii pe kilogram;

metoda 2: aflăm mai întâi ce sumă de bani trebuie să primească pe toată cantitatea de miere pe care o vinde, apoi aflăm ce sumă de bani a primit deja; prin scădere, aflăm ce sumă de bani urmează să primească;

scriem rezolvarea într-o singură expresie, pentru a observa mai ușor proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de scădere.

Am obținut același rezultat, indiferent de metoda aleasă. Privim rezolvarea scrisă într-o singură expresie și observăm că atunci când avem de înmulțit un număr cu o diferență, înmulțim numărul respectiv mai întâi cu descăzutul, apoi cu scăzătorul. Este important să păstrăm ordinea descăzut - scăzător, pentru că scăderea numerelor naturale nu este comutativă.

Încearcă și tu!

Calculați rapid, folosind proprietățile înmulțirii:

Răspuns

a)

Enunțul ne spune să folosim proprietățile înmulțirii, astfel vom calcula mai rapid. Ne amintim proprietățile înmulțirii și le analizăm pe rând, pentru cazul nostru (punctul a)).

înmulțirea este comutativă - în exemplul în cazul nostru, nu ne ajută;

înmulțirea este asociativă - avem doar doi factori, deci nu ne ajută această proprietate;

orice număr înmulțit cu 1 rămâne același - niciunul dintre factori nu este 1;

orice număr înmulțit cu 0 dă rezultatul 0 - niciunul dintre factori nu este 0;

înmulțirea este distributivă față de adunare și față de scădere - pentru a putea folosi această proprietate, avem nevoie ca unul dintre factori să fie scris sub forma unei sume sau a unei diferențe (adică să avem un număr înmulțit cu o paranteză, iar în paranteză să avem o adunare sau o scădere); noi avem o înmulțire ai cărei factori sunt 255 și 99. Putem scrie pe vreunul dintre ei ca sumă sau diferență, astfel încât să ajungem la o situație avantajoasă?

Am obținut că putem calcula rapid dacă scriem numărul 99 ca diferență (100 minus 1), apoi aplicăm distributivitatea înmulțirii față de scădere. Rezultatul este 25245.

b)

Observăm că, dacă scriem numărul 101 ca 100 plus 1 și aplicăm proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de adunare, atunci calculele se simplifică foarte mult:

Dacă vreți să susțineți funcționarea și dezvoltarea mathema.ro, puteți contribui prin donație. Aceasta nu elimină reclamele existente, dar îmi permite să accelerez dezvoltarea website-ului și să acopăr costurile de funcționare.

Nume titular: GEORGIU LIVIA-NICOLETA

IBAN: RO20BTRLRONCRT0287588001

SWIFT: BTRLRO22

Mulțumesc! ❤️

Puteți citi și ...

Factor comun