Factor comun

Proprietățile înmulțirii (comutativitate, asociativitate, înmulțirea cu 1 și cu 0, distributivitatea față de adunare și scădere) sunt foarte importante și se folosesc în multe exerciții și probleme. Acest articol are ca punct de pornire faptul că înmulțirea este distributivă față de adunare și de scădere:

Exemplu

Cristina a cumpărat de la piață 3 kilograme de mere roșii și 2 kilograme de mere galbene. Știind că un kilogram de mere costă 5 lei, cât au costat merele cumpărate de Cristina?

Rezolvare

Putem afla cât au costat toate merele cumpărate prin două metode: aflăm cât au costat merele roșii și cât au costat merele galbene și apoi adunăm rezultatele sau aflăm câte kilograme de mere a cumpărat Cristina în total, iar cantitatea o înmulțim cu prețul unui kilogram.

Orice metodă am alege, obținem același rezultat: merele au costat 25 de lei. Înseamnă că:

Avem o adunare ai cărei termeni sunt două produse. Numerele care se înmulțesc se numesc factori, iar rezultatul înmulțirii se numește produs; observăm că 5 este un factor comun celor două produse care se adună (adică este factor și în primul produs, și în cel de-al doilea). Egalitatea de mai sus înseamnă că am scos pe 5 factor comun; el se înmulțește cu suma celorlalți doi factori necomuni.

Scoaterea factorului comun este strâns legată de proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de adunare și scădere:

Dacă termenii unei adunări sau scăderi sunt scriși sau se pot scrie ca produse de doi sau mai mulți factori, dintre care unul este comun tuturor produselor (adică se găsește în fiecare produs), atunci factorul respectiv se numește factor comun. Pentru simplificarea calculelor, putem să scoatem factorul comun. Spunem că „scoatem factor comun pe ...” sau „dăm factor comun pe ...”. Atunci când scoatem factor comun, îl înmulțim întotdeauna cu o paranteză în care avem suma sau diferența (operația inițială) celorlalți factori ai produselor inițiale. Termenii din paranteză rezultă prin împărțirea celor inițiali la factorul comun (împărțire exactă).

Putem scoate factor comun în cazul termenilor (adunării sau scăderii) care se pot scrie ca produs de doi sau mai mulți factori, iar unul dintre acești factori este comun fiecărui produs (apare în fiecare produs). Când scoatem factor comun între doi sau mai mulți termeni, împărțim fiecare termen la factorul comun.

Cum ne verificăm?

După ce am scos factor comun, cum verificăm dacă am lucrat corect?

1) Desfacem paranteza, adică folosim proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de adunare și scădere:

2) Numărul termenilor din paranteză este egal cu numărul termenilor din care am scos factorul comun:

Alte exemple

Să scoatem factorul comun, apoi să calculăm:

Rezolvare

a) Avem suma a două produse: 15 înmulțit cu 12 (primul produs, primul termen al adunării) și 15 înmulțit cu 5 (al doilea produs, al doilea termen al adunării). 15 este factor comun:

Să analizăm!

Putem să scoatem și alt factor comun?

Răspuns

Da. Avem o adunare cu doi termeni, iar fiecare termen este un produs de doi factori. Scriem (descompunem) acești factori sub forma unor produse: 15 se poate scrie ca 3 înmulțit cu 5, iar 12 se poate scrie ca 3 înmulțit cu 4; 4 se poate scrie ca 2 înmulțit cu 2 (doar primul produs îl poate avea pe 2 ca factor, deci 2 nu poate fi factor comun). Suma poate fi scrisă astfel:

Avem trei variante pentru scoaterea factorului comun: 3, 5 sau 15; rezultatul este același.

b) Avem o sumă cu trei termeni, iar fiecare termen este un produs de doi factori. Factorul comun este 2017:

Să analizăm!

Putem să scoatem și alt factor comun?

Răspuns

Da. Numerele 6, 140 și 14 sunt factori ai celor trei produse care se adună; ele sunt numere pare, deci pot fi scrise astfel: 6 este egal cu 2 înmulțit cu 3, 140 este egal cu 2 înmulțit cu 70 și 14 este egal cu 2 înmulțit cu 7. Rezultă că 2 este factor comun:

Rezultatul este același.

O altă variantă este să scoatem factor comun 2 înmulțit cu 2017:

c) Scoatem pe 271 factor comun:

Cum facem când termenii adunării (scăderii) nu sunt sub formă de produs?

Exemplu

De exemplu, avem suma numerelor 35 și 21. E o adunare ușoară, putem calcula foarte repede chiar în minte. E și un bun exemplu pentru a arăta cum se scoate factor comun atunci când termenii adunării nu sunt scriși sub formă de produs.

Avem nevoie să scriem termenii sumei sub formă de produs. 35 este egal cu 5 înmulțit cu 7, iar 21 este egal cu 7 înmulțit cu 3. Înseamnă că 7 este factor comun:

Am obținut rezultatul 56; dacă am fi făcut adunarea 35 plus 21, tot 56 am fi obținut. Deci am lucrat corect.

Încearcă și tu!

Să scoatem factorul comun și apoi să calculăm:

Răspuns

Avem o adunare și o scădere; termenii sunt numere pare, adică se împart exact la 2. Înseamnă că fiecare termen poate fi scris ca 2 înmulțit cu un număr. Să vedem: 104 poate fi scris ca 2 înmulțit cu 52; 72 poate fi scris ca 2 înmulțit cu 36, iar 22 poate fi scris ca 2 înmulțit cu 11. Rezultă că 2 este factor comun:

Cum facem când avem o expresie algebrică (avem litere în locul numerelor)?

Exemplu

Avem două numere naturale și astfel încât ; să calculăm

Rezolvare

Trebuie să facem legătura între ceea ce știm (suma numerelor și este 8) și ceea ce ni se cere.

Observăm că putem să scoatem factor comun 4; ajungem astfel la suma numerelor și care știm că este egală cu 8.

Am obținut că

Încearcă și tu!

Știm că și sunt două numere naturale astfel încât . Să calculăm .

Răspuns

Mai întâi trebuie să ne amintim că semnul pentru înmulțire poate să lipsească atunci când în locul numerelor folosim litere și nu există riscul de confuzie:

Știm că există o relație între numerele naturale și pe care trebuie s-o folosim pentru a calcula . Observăm că putem să scoatem factor comun:

Am obținut că .

Dacă vreți să susțineți funcționarea și dezvoltarea mathema.ro, puteți contribui prin donație. Aceasta nu elimină reclamele existente, dar îmi permite să accelerez dezvoltarea website-ului și să acopăr costurile de funcționare.

Nume titular: GEORGIU LIVIA-NICOLETA

IBAN: RO20BTRLRONCRT0287588001

SWIFT: BTRLRO22

Mulțumesc! ❤️

Puteți citi și ...

Înmulțirea numerelor naturale