Rezolvarea subiectului de matematică dat la examenul de definitivat - învățători (2024)

După ce se modifică numărul brioșelor de pe cele două tăvi, pe prima tavă rămân de trei ori mai multe brioșe decât pe cea de a doua tavă.

• Reprezentăm cu un segment numărul brioșelor care au rămas pe cea de-a doua tavă.
• Rezultă că numărul brioșelor care au rămas pe prima tavă îl vom reprezenta folosind trei astfel de segmente.

Vom reprezenta grafic situația inițială. De pe prima tavă s-au luat 17 brioșe, iar de pe cea de-a doua tavă s-au luat 23 de brioșe. În total au fost 100 de brioșe.

• De pe prima tavă s-au luat 17 brioșe - pentru a ajunge la situația inițială, vom adăuga cele 17 brioșe.
• De pe a doua tavă s-au luat 23 brioșe - pentru a ajunge la situația inițială, vom adăuga cele 23 brioșe.

Cele 100 de brioșe sunt reprezentate astfel: 4 segmente egale, plus 17, plus 23. Putem calcula câte brioșe reprezintă un segment?

Din 100 de brioșe, scădem 17, apoi 23 de brioșe și ne rămân brioșele reprezentate de cele 4 segmente egale.

\({100-17-23=83-23=60 \; \text{de} \; \text{brioșe} \; \text{reprezentate} \; \text{prin} \; \text{4} \; \text{segmente} \; \text{egale}}\)

Câte brioșe reprezintă un segment?

\({60:4=15 \; \text{brioșe} \; \text{reprezentate} \; \text{printr-un} \; \text{segment}}\)

Vrem să aflăm câte brioșe au fost inițial pe prima tavă. Pe desen avem 3 segmente egale plus încă 17 brioșe. Un segment înseamnă 15 brioșe.

\({15 \cdot 3+17= 62\; \text{de} \; \text{brioșe} \; \text{au} \; \text{fost}\; \text{pe} \; \text{prima} \; \text{tavă}}\)

Am obținut că pe prima tavă au fost 17 brioșe.

\({[(x-3) \cdot 5+6]:2^2=4}\)

\({\textcolor{#ff4500}{[(x-3) \cdot 5+6]}:4=4}\)

\({(x-3) \cdot 5+6=4 \cdot 4}\)

\({\textcolor{#ff4500}{(x-3) \cdot 5}_{}+6=16}\)

\({(x-3) \cdot 5=16-6}\)

\({\textcolor{#ff4500}{(x-3)} \cdot 5=10}\)

\({x-3=10:5}\)

\({x-3=2}\)

\({x=2+3}\)

\({x=5}\)

Calculăm numărul \({a}\).

\({a=2+\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 5}-\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5}}\)

\({\textcolor{white}{a}=2+\frac{\displaystyle 7-2}{\displaystyle 5}}\)

\({\textcolor{white}{a}=2+\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 5}}\)

\({\textcolor{white}{a}=2+1}\)

\({a=3}\)

Calculăm numărul \({b}\).

\({b=(4-0{,}5):0{,}5}\)

\({\textcolor{white}{b}=\left(4-\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 10}\right):\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 10}}\)

\({\textcolor{white}{b}=\left(4-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\right):\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\)

\({\textcolor{white}{b}=\left(\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 2}-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\right) \cdot \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 1}}\)

\({\textcolor{white}{b}=\frac{\displaystyle 8-1}{\displaystyle \cancel{2}} \cdot \frac{\displaystyle \cancel{2}}{\displaystyle 1}}\)

\({b=7}\)

Calculăm media aritmetică a numerelor \({a=3}\) și \({b=7}\).

\({\frac{\displaystyle a+b}{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle 3+7}{\displaystyle 2}}\)

\({\textcolor{white}{\frac{\displaystyle a+b}{\displaystyle 2}}=\frac{\displaystyle 10}{\displaystyle 2}}\)

\({\frac{\displaystyle a+b}{\displaystyle 2}=5}\)

Media aritmetică a numerelor \({a=3}\) și \({b=7}\) este \({5}\).

Înainte de a începe rezolvarea problemei, ne amintim câteva proprietăți ale trapezului oarecare:

• suma măsurilor unui trapez este de \({360^{\circ}}\) (suma măsurilor unghiurilor unui poligon convex cu 4 laturi este de \({360^{\circ}}\))
• aria unui trapez se calculează cu formula:

\({A_{\text{trapez}}=\frac{\displaystyle (B+b) \cdot h}{\displaystyle 2}}\),

unde \({B \; \text{- baza} \, \text{mare}}\), \({b \; \text{- baza} \; \text{mică}}\) și \({h \; \text{înălțimea} \; \text{trapezului}}\).

Trapezul isoscel are câteva proprietăți în plus față de trapezul oarecare:

• trapezul isoscel are laturile neparalele congruente (egale)
• trapezul isoscel are două perechi de unghiuri congruente (este vorba de unghiurile alăturate bazelor)
• dacă din vârfurile corespunzătoare bazei mici coborâm cele două înălțimi pe baza mare, obținem un dreptunghi, iar pe baza mare obținem două segmente congruente, așa cum se vede în figura de mai jos:

Începem rezolvarea problemei.

a) Desenăm un trapez isoscel, cu bazele \({AB}\) și \({CD}\) (în enunț ni se spune că aceste două segmente sunt paralele, deci sunt baze); avem grijă să notăm baza mare cu \({AB}\).

Deoarece trapezul \({ABCD}\) este isoscel, rezultă că unghiurile și \({ADC}\) și \({DCB}\) sunt congruente; la fel, unghiurile \({DAB}\) și \({ABC}\) sunt congruente.

Deoarece trapezul este un poligon cu 4 laturi, rezultă că suma măsurilor unghiurilor sale este egală cu \({360^{\circ}}\). Scriem suma măsurilor unghiurilor trapezului, apoi înlocuim unghiurile congruente. Obținem că două unghiuri alăturate unei laturi neparalele sunt suplementare, adică suma lor este egală cu \({180^{\circ}}\).

$$ \left. \begin{array}{ll} ABCD \; \text{trapez} \; \text{isoscel,} \; AB \parallel CD \Longrightarrow \sphericalangle ADC \equiv \sphericalangle DCB \; \text{și} \; \sphericalangle DAB \equiv \sphericalangle CBA \\ \sphericalangle ADC + \sphericalangle DCB + \sphericalangle CBA + \sphericalangle DAB = 360^{\circ} \end{array} \right \} \Longrightarrow 2 \cdot \sphericalangle ACD+2 \cdot \sphericalangle DAB= 360^{\circ} $$

\({ 2(\sphericalangle ACD+\sphericalangle DAB)= 360^{\circ}}\)

\({ \sphericalangle ACD+\sphericalangle DAB= 180^{\circ}}\)

Din enunț, știm că măsura unghiului \({ADC}\) este de 3 ori mai mare decât măsura unghiului \({DAB}\). Scriem această relație:

\({\sphericalangle ADC =3 \cdot \sphericalangle DAB}\)

Relația \({ \sphericalangle ACD+\sphericalangle DAB= 180^{\circ}}\) devine:

\({ 3 \cdot \sphericalangle DAB+\sphericalangle DAB= 180^{\circ}}\)

\({ 4 \cdot \sphericalangle DAB= 180^{\circ}}\)

\({ \sphericalangle DAB= 180^{\circ} : 4}\)

\({ \sphericalangle DAB= 45^{\circ}}\)

Am obținut că măsura unghiului \({ DAB}\) este egală cu \({45^{\circ}}\).

b) Pentru a calcula aria trapezului, trebuie să știm lungimile bazelor și lungimea înălțimii trapezului. Lungimea bazei mari o știm (\({AB=8 \; \text{cm}}\)).

Calculăm lungimea bazei mici (lungimea laturii \({CD}\)).

Știm lungimea bazei mari și diferența dintre cele două baze. Rezultă că \({CD=6 \; \text{cm}}\).

$$ \left. \begin{array}{ll} AB=8 \; \text{cm} \\ AB-CD=2 \; \text{cm} \end{array} \right \} \Longrightarrow CD=8-2=6 \; \text{cm} $$

Calculăm lungimea înălțimii trapezului.

Fie \({DE \perp AB}\), cu \({E \in AB}\) și \({CF \perp AB}\), cu \({F \in AB}\). \({DE }\) și \({CF}\) sunt înălțimi în trapezul \({ABCD}\), deci \({DE \equiv CF}\). Rezultă că triunghiurile \({AED}\) și \({BFC}\) sunt dreptunghice în \({E}\), respectiv în \({F}\). Mai mult, aceste triunghiuri sunt congruente (cazul ipotenuză-catetă sau ipotenuză-unghi). Rezultă că \({AE \equiv BF}\).

\({DE \perp AB, E \in AB}\) \({\Longrightarrow DE \; \text{înălțime}\; \text{în} \; \text{trapezul} \; ABCD}\) \({\Longrightarrow \triangle AED \; \text{dreptunghic}\; \text{în} \; E}\)

\({CF \perp AB, F\in AB}\) \({\Longrightarrow CF \; \text{înălțime}\; \text{în} \; \text{trapezul} \; ABCD}\) \({\Longrightarrow \triangle CFB \; \text{dreptunghic}\; \text{în} \; F}\)

$$ \left. \begin{array}{ll} AB \equiv BC \; \text{laturi}\; \text{neparalele}\; \text{în}\; \text{trapezul}\; \text{isoscel}\\ DE \equiv CF \; \text{înălțimi}\; \text{în}\; \text{trapez} \end{array} \right \} \overset{I.C.}{\Longrightarrow} \triangle AED \equiv \triangle CFB \Longrightarrow AE \equiv BF $$

Diferența dintre cele două baze este egală cu \({AE +BF}\). Rezultă că \({AE +BF=2 \; \text{cm}}\), deci \({AE =BF=1 \; \text{cm}}\).

$$ \left. \begin{array}{ll} AB-CD=AE+BF=2 \; \text{cm} \\ AE \equiv BF \end{array} \right \} \Longrightarrow AE =BF=1 \; \text{cm} $$

Triunghiul \({AED}\) este dreptunghic în \({E}\). Unghiul \({DAB}\) este de \({45^{\circ}}\); rezultă că triunghiul este isoscel, deci \({AE=DE}\) (catete ale triunghiului). Știm că \({DE}\) este înălțimea a trapezului; am calculat că \({AE =1 \; \text{cm}}\). Rezultă că înălțimea trapezului are lungimea de \({1 \; \text{cm}}\). Acum putem calcula aria trapezului \({ABCD}\).

$$ \left. \begin{array}{ll} \triangle AED \; \text{dreptunghic}\; \text{în} \; E \\ m(\sphericalangle DAB)=45^{\circ} \end{array} \right \} \Longrightarrow \triangle AED \; \text{isoscel} \Longrightarrow AE \equiv DE \Longrightarrow DE=1 \; \text{cm} $$

Am calculat că înălțimea trapezului este \({DE=1 \; \text{cm}}\).

Acum putem calcula aria trapezului.

\({A_{\text{trapez}}=\frac{\displaystyle (B+b) \cdot h}{\displaystyle 2}}\)

\({\textcolor{white}{A_{\text{trapez}}}=\frac{\displaystyle (8+6) \cdot 1}{\displaystyle 2}}\)

\({\textcolor{white}{A_{\text{trapez}}}=\frac{\displaystyle 14}{\displaystyle 2}}\)

\({A_{\text{trapez}}=7 \; \text{cm}^2}\)

Am obținut că aria trapezului \({ABCD}\) este egală cu \({7 \; \text{cm}^2}\) (avem grijă să scriem corect unitatea de măsură pentru arie).