1. a) Reprezentăm prin segmente cele două numere. Ce știm despre ele?

• cele două numere nu sunt egale;
• unul dintre numere este mai mic decât celălalt cu 7.

Cum putem spune altfel faptul că unul dintre numere este mai mic decât celălalt?

• unul dintre numere este mai mare cu 7 decât celălalt;
• diferența lor este 7;
• dacă scădem numărul mic din numărul mare, obținem 7;
• dacă scădem din numărul mare numărul mic, obținem 7.

Pe care număr îl reprezentăm primul?

• preferăm să începem cu numărul cel mai mic (în funcție de el, reprezentăm apoi și numărul mai mare).

Numim \({a}\) și \({b}\) cele două numere. Îl considerăm pe \({a}\) numărul cel mic și îl reprezentăm cu un segment (o linie; desenăm și capetele liniei).

Numărul \({b}\) este cu 7 mai mare decât \({a}\). Îl reprezentăm astfel:

• desenăm un segment egal cu \({a}\), apoi acestuia îi mai adăugăm un segment micuț, care va fi diferența egală cu 7.

Am reprezentat prin segmente cele două numere.

b) Să aflăm cele două numere; le vom egala prin scădere.

Știm că suma celor două numere este 53. Evidențiem aceasta pe desen.

Din ce este format numărul 53?

• numărul 53 este format din numerele \({a}\) și \({b}\);
• numărul 53 este format din două segmente mari, egale, la care adăugăm 7.

Dacă un segment mare reprezintă numărul \({a}\), atunci ce reprezintă două segmente mari, egale?

• cele două segmente mari egale reprezintă dublul numărului \({a}\).
• dublul unui număr înseamnă numărul adunat cu el însuși de două ori sau, altfel spus, numărul înmulțit cu 2.

În acest caz, din ce este format numărul 53?

• putem spune că numărul 53 este format din dublul numărului mic \({a}\), la care adăugăm 7.

Putem calcula dublul numărului mic \({a}\)?

• da, efectuăm scăderea 53 minus 7 și aflăm care este dublul numărului mic \({a}\).

După ce aflăm dublul numărului mic \({a}\), putem să calculăm acest număr?

• da, împărțim dublul numărului la 2 și calculăm numărul.

Să recapitulăm tot ce am descoperit până acum referitor la problema noastră. Vrem să calculăm numerele \({a}\) și \({b}\). Cum facem?

• avem nevoie să calculăm cât reprezintă un segment mare.

Cum calculăm cât reprezintă un segment mare?

• eliminăm segmentul mic, cel care reprezintă numărul 7. Vom rămâne cu cele două segmente egale.
• vom calcula cât înseamnă împreună cele două segmente egale.
• împărțim la 2 și aflăm cât înseamnă un segment mare, adică numărul \({a}\).

Cele două segmente mari plus segmentul mic, adică 7, înseamnă 53. După ce eliminăm segmentul mic, cât înseamnă cele două segmente mari?

• cele două segmente mari vor fi egale cu 53 minus 7, adică vor fi egale cu 46.

Să modificăm desenul și să vedem ce obținem scăzând segmentul mic, adică 7.

Am calculat că cele două segmente egale înseamnă 46. Cum calculăm cât înseamnă un segment?

• facem operația de împărțire: 46 împărțit la 2 ne dă 23.
• un segment înseamnă 23, deci numărul a este egal cu 23.
• \({46 : 2=23 \; (numărul \; a)}\)

Cum calculăm numărul \({b}\)?

• numărul \({b}\) este cu 7 mai mare decât a, deci este egal cu 30 (23 plus 7).
• \({23+7=30 \; (numărul \; b)}\)

Am calculat că cele două numere sunt 23 și 30. Cum știm dacă am calculat corect?

• facem proba: 23 plus 30 ne dă 53, deci am calculat corect.
• \({23+30=53 \; (verificare)}\)

Să recapitulăm cum am rezolvat problema:

• am vrut să avem două segmente egale a căror sumă să o știm;
• pentru asta, am scăzut 7 din suma numerelor (diferența dintre cele două numere);
• am obținut dublul numărului mic (cele două segmente egale);
• împărțind la 2, am aflat numărul mic;
• numărul mic plus 7 ne dă numărul mare.

c) Să aflăm cele două numere; le vom egala prin adunare.

Pornim tot de la desenul pe care l-am făcut pentru subpunctul b.

La subpunctul anterior am vrut să avem două segmente egale a căror sumă o știm sau o putem calcula. Pentru aceasta, am scăzut 7.

Există un alt mod de a avea două segmente egale, a căror sumă o știm sau o putem calcula?

• dacă am adăuga 7 numărului \({a}\), atunci am avea două numere egale cu numărul mare \({b}\);
• am obține dublul numărului mare.

Ce s-ar întâmpla cu suma numerelor dacă am adăuga 7 numărului mic?

• dacă am adăuga 7 numărului mic \({a}\), suma celor două numere ar crește și ea cu 7;
• am obține că suma numerelor ar fi 53 plus 7, adică 60.
• \({53+7=60}\)
• rezultă că dublul numărului mare \({b}\) este 60.

Dacă dublul numărului mare este 60, cum putem calcula acest număr?

• efectuăm împărțirea 60 împărțit la 2 și obținem că numărul mare este egal cu 30;
• \({60:2=30 \; (numărul \; b)}\)

Am calculat că numărul mare \({b}\) este egal cu 30. Cum calculăm numărul mic \({a}\)?

• din numărul mare scădem 7 și obținem că numărul mic este egal cu 23;
• \({30-7=23 \; (numărul \; a)}\)

Am obținut că cele două numere sunt 23 și 30. Suma lor este 53, așa cum ne spune problema.

Să recapitulăm cum am rezolvat problema:

• am vrut să avem două segmente egale a căror sumă să o știm;
• pentru asta, am adunat 7 la suma numerelor (diferența dintre cele două numere);
• am obținut dublul numărului mare;
• împărțind la 2, am aflat numărul mare;
• numărul mare minus 7 ne dă numărul mic.

! Atunci când egalăm cele două numere prin scădere, obținem dublul numărului mic. Împărțim la 2 și calculăm numărul mic.

! Atunci când egalăm cele două numere prin adunare, obținem dublul numărului mare. Împărțim la 2 și calculăm numărul mare.

d) Calculăm numerele fără să desenăm segmente.

Notăm cu \({a}\) și \({b}\) cele două numere. Unul dintre ele este cu 7 mai mic decât celălalt. Scriem:

\({a=b-7}\)

Suma numerelor este egală cu 53. Scriem:

\({a+b=53}\)

Îl înlocuim pe \({a}\) și obținem:

\({\underbrace{b-7}_{=a}+b=53}\)

\({2b-7=53}\)

\({2b=53+7}\)

\({2b=60}\)

\({b=\frac{\displaystyle 60}{\displaystyle 2}}\)

\({b=30}\)

Îl calculăm pe \({a}\):

\({a=b-7}\)

\({a=30-7}\)

\({a=23}\)

Am obținut că cele două numere sunt 23 și 30. Suma lor este 53, așa cum se spune în enunț, iar diferența este 7.

! Am considerat \({a=b-7}\) și l-am înlocuit pe \({a}\) în suma \({a+b=53}\). În acest caz, \({a}\) este numărul mic, iar \({b}\) este numărul mare. L-am calculat mai întâi pe numărul mare.

! Deoarece în problemă nu se precizează numele numărului mic și numărului mare, puteam scrie:

• \({a=b+7}\); în acest caz, \({a}\) este numărul mare, iar \({b}\) este numărul mic.
• sau \({b=a+7}\); în acest caz, \({a}\) este numărul mic, iar \({b}\) este numărul mare.
• sau \({b=a-7}\); în acest caz, \({a}\) este numărul mare, iar \({b}\) este numărul mic.

2. a) Egalăm sumele prin scădere.

Cine are cea mai mică sumă de bani?

• Cristina.

Cum reprezentăm prin desen suma de bani a Cristinei?

• desenăm un segment (desenăm o linie, apoi desenăm capetele liniei).

Cum reprezentăm prin desen suma de bani a Alinei?

• Alina are cu 23 de lei mai mult decât Cristina;
• desenăm un segment egal cu suma de bani a Cristinei, la care mai adăugăm un segment mic, care reprezintă diferența de 23 de lei.

Să reprezentăm prin desen câți bani au fiecare dintre cele două fete, apoi să evidențiem totalul.

Să analizăm desenul și să spunem din ce este format totalul de 75 de lei.

• totalul de 75 de lei este format din două segmente egale plus 23 de lei.

Ce reprezintă cele două segmente egale, doar ele?

• dublul sumei pe care o are Cristina.

Putem calcula câți lei înseamnă doar cele două segmente egale, adică dublul sumei Cristinei? Dacă da, cum facem?

• da, putem calcula.
• din totalul de 75 de lei, scădem 23 de lei și obținem dublul sumei Cristinei (adică de două ori suma de bani pe care o are Cristina).
• \({75-23=52 \;de\;lei}\)

Am calculat că dublul sumei Cristinei este egal cu 52 de lei. Putem calcula câți bani are Cristina? Dacă da, cum facem?

• da, putem calcula.
• împărțim pe 52 la 2 și aflăm ce sumă de bani are Cristina (aflăm ce sumă de bani reprezintă un segment).
• \({52: 2=26 \;de\;lei \;(Cristina)}\)

Cristina are 26 de lei. Ce sumă de bani are Alina?

• Alina are cu 23 de lei mai mult decât Cristina.
• \({26+23=49 \;de\;lei \;(Alina)}\)

Am obținut că Alina are 49 de lei, iar Cristina are 26 de lei. Verificăm dacă am calculat corect:

• \({26+49=75 \;de \;lei \;(în \;total)}\)

b) Egalăm sumele prin adunare.

Există un alt mod de a obține segmente (sume) egale, al căror total îl știm sau îl putem calcula?

• Alina are cu 23 de lei mai mult decât Cristina.
• dacă suma de bani a Cristinei ar crește cu 23 de lei, atunci cele două fete ar avea sume de bani egale;
• în total, ar avea dublul sumei de bani pe care o are Alina acum.

În acest caz, ce s-ar întâmpla cu suma totală?

• ar crește tot cu 23 de lei.

Să mărim suma de bani a Cristinei, prin adăugarea unui segment egal cu cel care reprezintă 23 de lei. Câți bani ar avea fetele în total?

• \({75+23=98 \;de \;lei \;(în \;total)}\)

Ce reprezintă cei 98 de lei?

• dublul sumei de bani pe care o are Alina.

Ce putem calcula acum?

• calculăm câți bani are Alina.
• împărțim pe 98 la 2 și obținem că Alina are 49 de lei;
• \({98:2=49 \;de \;lei \;(Alina)}\)

Putem calcula câți bani are Cristina?

• da, Cristina are cu 23 de lei mai puțin decât Alina.
• \({49-23=26 \;de \;lei \;(Cristina)}\)

Am obținut același rezultat ca în cazul primei metode pe care am aplicat-o: Cristina are 26 de lei, iar Alina are 49 de lei.

Observăm că, dacă egalăm numerele prin scădere, aflăm mai întâi numărul mic.

Observăm că, dacă egalăm numerele prin adunare, aflăm mai întâi numărul mare.

3. Metoda 1 Egalăm sumele prin scădere.

Să comparăm numărul oilor și numărul cailor.

• numărul cailor este mai mic decât numărul oilor;
• exprimarea „dacă scădem numărul cailor din numărul oilor” ne indică faptul că oile sunt mai multe decât caii, sau, altfel spus, sunt mai puțini cai decât oi.

Care este diferența dintre numărul oilor și numărul cailor?

• diferența este egală cu 50;
• sunt cu 50 de oi mai multe decât cai;
• altfel spus, sunt cu 50 de cai mai puțini decât oi

Câte animale sunt în total?

• 148.

Să reprezentăm prin desen numerele celor două specii de animale. Vom folosi segmente. Începem cu numărul oilor sau cu numărul cailor?

• începem cu numărul mai mic;
• caii sunt mai puțini decât oile, deci vom reprezenta mai întâi numărul cailor.

Reprezentăm printr-un segment numărul cailor. Segmentul îl desenăm ca o linie căreia îi adăugăm cele două capete (margini).

Cum reprezentăm numărul oilor?

• oile sunt mai multe decât caii;
• desenăm mai întâi un segment egal cu cel pentru reprezentarea cailor, apoi mai adăugăm un segment mic, pentru diferența de 50.

Cu ajutorul acoladei, evidențiem numărul total de animale de pe câmp.

Ne uităm pe desen. Din ce este format numărul 148 (numărul total de animale)?

• din două segmente egale, care înseamnă dublul numărului cailor, plus în că 50.

Ce putem calcula cu datele pe care le avem și cu ajutorul desenului?

• putem calcula dublul numărului cailor, adică vom afla câte animale înseamnă cele două segmente egale.
• pentru asta, din 148 scădem 50 și obținem 98.
• \({148-50=98 \;(dublul \;cailor)}\)

Am aflat că dublul numărului cailor este 98. Ce mai putem calcula?

• putem calcula numărul cailor. Împărțim pe 98 la 2 și aflăm că sunt 49 de cai pe câmp.
• \({98 :2=49 \;(cai)}\)

Cum calculăm câte oi sunt?

• avem două variante: la numărul cailor adăugăm 50, pentru că sunt cu 50 mai multe oi, sau din numărul total scădem numărul cailor:
• \({49+50=99 \;(oi)}\)
• sau \({148-49=99 \;(oi)}\)

Verificăm dacă am rezolvat corect:

• adunăm numărul cailor cu numărul oilor; dacă obținem 148, înseamnă că am rezolvat corect:
• \({49+99=148 \;(animale)}\) - corect

Metoda 2 Egalăm sumele prin adunare.

Există un alt mod de a obține segmente egale, al căror total îl știm sau îl putem calcula?

• presupunem că numărul cailor crește cu 50; în total ar fi 198 de animale, iar numărul cailor ar fi egal cu numărul oilor;

\({148+50=198 \;(animale)}\)

• acesta este un artificiu de calcul pentru a egala cele două numere.

Acum putem calcula câte oi sunt?

• da, împărțim numărul total la 2 și aflăm că sunt 99 de oi:
• \({198 : 2=99 \;(oi)}\)

Cum aflăm câți cai sunt?

• avem două variante: scădem 50 din numărul oilor, pentru că sunt cu 50 mai multe oi, sau din numărul total scădem numărul oilor:
• \({99-50=49 \;(cai)}\)
• sau \({148-99=49 \;(cai)}\)

Am obținut că pe câmp sunt 49 de cai și 99 de oi. Rezultatul este același, indiferent de metoda folosită.

Observăm că, dacă egalăm numerele prin scădere, aflăm mai întâi numărul mic.

Observăm că, dacă egalăm numerele prin adunare, aflăm mai întâi numărul mare.

★ Reprezentăm prin desen numărul copiilor din clasă.

Care este mai mic: numărul fetelor sau numărul băieților?

• Dacă scădem numărul fetelor din numărul băieților, obținem 3.
• Scădem din numărul băieților - înseamnă că sunt mai mulți băieți decât fete.
• Altfel spus, sunt mai puține fete.

Ce reprezentăm mai întâi: numărul fetelor sau numărul băieților?

• Începem cu numărul mai mic, deci reprezentăm mai întâi numărul fetelor.
• Desenăm un segment - o linie căreia îi desenăm capetele (marginile). Astfel este reprezentat numărul fetelor.
• Pentru numărul băieților, mai desenăm un segment egal cu cel pe care l-am folosit pentru numărul fetelor, iar apoi adăugăm un segment mai mic, pentru că băieții sunt cu 3 mai mulți decât fetele.

Metoda 1. Egalăm cele două numere prin scădere.

Privim desenul. Din ce este format numărul total al copiilor?

• din două segmente egale plus 3; cele două segmente egale semnifică dublul numărului fetelor.

Cum calculăm dublul numărului fetelor?

• efectuăm scăderea 25 minus 3.

\({25-3=22 \;(dublul \;numărului \;fetelor)}\)

Cum calculăm numărul fetelor?

• împărțim la 2 dublul numărului fetelor:

\({22:2=11 \;(fete)}\)

Cum calculăm numărul băieților?

• din numărul total al copiilor scădem numărul fetelor:

\({25-11=14 \;(băieți)}\)

• sau adunăm 3 la numărul fetelor:

\({11+3=14 \;(băieți)}\)

Metoda 2. Egalăm cele două numere prin adunare.

Privim desenul. Există un alt mod de a avea segmente egale, a căror sumă o știm sau o putem calcula?

• dacă mărim cu 3 numărul fetelor, atunci numărul băieților ar fi egal cu numărul fetelor; în total ar fi 28 de copii.

\({25+3=28 \;(copii)}\)

Putem calcula numărul băieților în acest caz?

• da, împărțim 28 la 2:

\({28:2=14 \;(băieți)}\)

Cum calculăm numărul fetelor?

• din numărul total al copiilor scădem numărul băieților:

\({25-14=11 \;(fete)}\)

• sau scădem 3 din numărul băieților:

\({14-3=11 \;(fete)}\)

Am obținut că în clasa aIII-a B sunt 11 fete și 14 băieți. Verificăm:

\({11+14=25 \;(copii)}\) - corect

Observăm că, dacă egalăm numerele prin scădere, aflăm mai întâi numărul mic.

Observăm că, dacă egalăm numerele prin adunare, aflăm mai întâi numărul mare.

★ Reprezentăm prin segmente cele două vârste.

Cine are vârsta mai mică? Cine e mai tânăr?

• fiul.

Începem să reprezentăm prin desen vârsta cea mai mică, adică vârsta fiului. Desenăm o linie și capetele acesteia.

Reprezentăm prin segment și vârsta mamei, astfel: mai întâi, desenăm un segment egal cu vârsta fiului, apoi mai adăugăm un segment corespunzător celor 25 de ani pe care mama îi are în plus față de fiul său. Evidențiem cu ajutorul unei acolade suma vârstelor.

Metoda 1. Egalăm cele două vârste prin scădere.

Suma vârstelor celor doi este formată din două segmente egale plus 25. Cele două segmente egale pot fi considerate ca fiind dublul vârstei fiului. Dacă scădem cei 25 de ani, rămâne dublul vârstei fiului.

\({61-25=36 \;(ani)}\)

Calculăm vârsta fiului.

\({36:2=18 \;(ani \; fiul)}\)

Calculăm vârsta mamei.

\({18+25=43 \;(ani \; mama)}\)

sau \({61-18=43 \;(ani \; mama)}\)

Metoda 2. Egalăm cele două vârste prin adunare.

Un alt mod de a obține segmente egale este să adunăm la vârsta fiului 25 de ani. Acum obținem două segmente egale cu vârsta mamei, deci dublul vârstei mamei.

\({61+25=86 \;(ani)}\)

Calculăm vârsta mamei.

\({86:2=43 \;(ani \; mama)}\)

Calculăm vârsta fiului.

\({43-25=18 \;(ani \; fiul)}\)

sau \({61-43=18 \;(ani \; fiul)}\)

Verificăm dacă am calculat corect. Suma vârstelor trebuie să fie 61 de ani.

\({18+43=61 \;(ani)}\) - corect

Observăm că, dacă egalăm numerele prin scădere, aflăm mai întâi numărul mic.

Observăm că, dacă egalăm numerele prin adunare, aflăm mai întâi numărul mare.

★ Reprezentăm prin segmente cele două numere.

Este posibil ca cele două numere să fie egale?

• Nu. Diferența lor este 14, deci unul dintre ele este cu 14 mai mare decât celălalt. Altfel spus, unul dintre ele este mai mic cu 14 decât celălalt număr.

Începem să reprezentăm prin desen numărul mic. Desenăm o linie și capetele acesteia.

Pentru a reprezenta prin desen numărul cel mare, desenăm un segment egal cu cel corespunzător numărului mic. Apoi adăugăm un segment mic pentru a evidenția diferența dintre cele două numere.

Metoda 1. Egalăm cele două numere prin scădere.

Suma celor două numere este formată din două segmente egale plus 14. Cele două segmente egale reprezintă dublul numărului mic. Calculăm dublul numărului mic sau, altfel spus, cât înseamnă cele două segmente egale.

\({110-14=96 \;(dublul \; numărului \; mic)}\)

Calculăm numărul mic.

\({96:2=48 \;(numărul \; mic)}\)

Calculăm numărul mare.

\({110-48=62 \;(numărul \; mare)}\)

sau \({48+14=62 \;(numărul \; mare)}\)

Metoda 2. Egalăm cele două numere prin adunare.

Un alt mod de a obține segmente egale este să mărim cu 14 numărul mic. Acum obținem două segmente egale cu numărul mare, deci dublul numărului mare.

\({110+14=124 }\)

Calculăm numărul mare.

\({124:2=62 \;(numărul \; mare)}\)

Calculăm numărul mic.

\({110-62=48 \;(numărul \; mic)}\)

sau \({62-14=48 \;(numărul \; mic)}\)

Verificăm dacă am calculat corect. Suma numerelor trebuie să fie 110.

\({62+48=110}\) - corect

Observăm că, dacă egalăm numerele prin scădere, aflăm mai întâi numărul mic.

Observăm că, dacă egalăm numerele prin adunare, aflăm mai întâi numărul mare.

Analizăm datele problemei

• Cine are mai mulți bani, Andreea sau Ionuț?

Dacă Andreea i-ar da lui Ionuț 23 de lei, atunci ar avea sume egale. Deci Andreea are mai mulți bani decât Ionuț. Altfel spus, Ionuț are mai puțini bani decât Andreea.

• Câți bani au în total?

În total, cei doi au 60 de lei.

Metoda 1

• Dacă Andreea i-ar da lui Ionuț cei 23 de lei, câți bani ar avea fiecare?

Ar avea sume egale.





• Putem calcula exact suma pe care ar avea-o fiecare?

Da, 60 împărțit la 2 ne dă 30 de lei. Fiecare ar avea 30 de lei.

\({60: 2=30 \; de \; lei}\)

• Dacă Andreea i-ar da lui Ionuț 23 de lei, i-ar rămâne 30 de lei. Ce sumă are Andreea?

30 plus 23 ne dă 53 de lei. Andreea are 53 de lei.

\({30+23=53 \; de \; lei}\)

• Dacă Ionuț ar primi 23 de lei, ar avea 30 de lei. Ce sumă are Ionuț?

30 minus 23 ne dă 7 lei. Ionuț are 7 lei.

\({30-23=7 \; lei}\)

Metoda 2

• Să analizăm problema mai în profunzime.
• Câți bani are în plus Andreea față de Ionuț? Altfel spus, care este diferența dintre cele două sume?

Diferența este cumva egală cu cei 23 de lei? Să vedem pe desen. Dacă Andreea ar avea cu 23 de lei mai mult decât Ionuț, după ce i-ar da acestuia cei 23 de lei, ar rămâne cu o sumă mai mică decât a lui Ionuț. Cei 23 de lei care sunt în plus s-ar muta de la Andreea la Ionuț, iar sumele pe care le au cei doi tot nu ar fi egale. Știm că sumele ar trebui să devină egale, deci diferența nu este de 23 de lei.






Diferența dintre sumele celor doi este egală cu dublul lui 23, adică este egală cu 46 de lei. Observăm desenul de mai jos, pentru a înțelege mai ușor.







Altfel spus, Andreea are cu 46 de lei mai mult decât Ionuț. Împreună au 60 de lei. Vrem să aflăm ce sumă are fiecare. Putem calcula prin adunare sau prin scădere, așa cum procedat la problemele anterioare.

• Egalăm sumele de bani prin scădere. Din total scădem suma pe care o are Andreea în plus față de Ionuț și vom afla dublul sumei de bani pe care o are Ionuț.





\({60-46=14 \; lei}\)

\({14:2=7 \; lei \; Ionuț}\)

\({7+46=53 \; lei \; Andreea}\)



• Altfel: egalăm sumele de bani prin adunare. La suma totală adunăm 46 de lei și obținem dublul sumei pe care o are Andreea.





\({60+46=106 \; lei}\)

\({106:2=53 \; lei \; Andreea}\)

\({53-46=7 \; lei \; Ionuț}\)

• Am obținut că Andreea are 53 de lei, iar Ionuț are 7 lei. Verificăm dacă am calculat corect.

\({53+7=60 \; de \; lei \; - \; corect}\)