Înainte de a începe rezolvarea, analizăm puțin enunțul:

• Bluzele roșii sunt de două ori mai multe decât cele albe.

Înseamnă că numărul celor albe este jumătate din numărul celor roșii.



• Bluzele galbene sunt cu 10 mai puține decât jumătatea celor roșii.

Deci numărul bluzelor galbene este cu 10 mai mic decât numărul celor albe (pentru că jumătate din numărul bluzelor roșii este egal cu numărul celor albe).



• Ce ne cere problema?

Trebuie să calculăm câte bluze de fiecare culoare s-au adus la magazin. Trebuie să folosim metoda figurativă, deci vom reprezenta numărul bluzelor folosind segmente.



• Folosim metoda figurativă. Înseamnă că vom stabili care necunoscută este potrivită în funcție de care vom reprezenta grafic celelalte necunoscute.

Numărul bluzelor roșii este dat în funcție de numărul bluzelor albe.

Am descoperit că și numărul bluzelor galbene este dat în funcție de numărul bluzelor albe.

Vom reprezenta deci numărul bluzelor albe folosind un segment; celelalte tipuri de bluze le vom reprezenta în funcție de acest segment.



• Este foarte important ca desenul să reprezinte corect și complet datele problemei.

Să începem să rezolvăm problema.

Reprezentăm numărul bluzelor albe folosind un segment. Acesta va fi segmentul-etalon, în funcție de care vom reprezenta celelalte necunoscute.

Numărul bluzelor roșii este de două ori mai mare decât numărul celor albe, deci vom desena de două ori segmentul corespunzător bluzelor albe.

Numărul bluzelor galbene este cu 10 mai mic decât jumătate din numărul celor roșii, adică cu 10 mai mic decât numărul bluzelor albe. Desenăm un segment mai mic decât segmentul-etalon; diferența reprezintă 10 bluze.

Ce putem afla cu ajutorul desenului?

Metoda 1

Observăm că dacă numărul bluzelor galbene ar fi reprezentat cu un segment etalon întreg, atunci am avea 4 astfel de segmente în total; împărțind numărul total la 4, am afla câte bluze reprezintă un astfel de segment.

Facem un artificiu de calcul: adunăm cele 10 bluze care ne lipsesc pentru a avea un segment etalon întreg; numărul total se modifică în mod corespunzător, vom avea 184 de bluze în total. Acum putem afla câte bluze reprezintă un segment etalon. La final, vom scădea cele 10 bluze.

\({174 + 10=184 \; \text{bluze}}\)

Avem 4 segmente de aceeași lungime care în total reprezintă 184 de bluze; împărțim la 4 și aflăm câte bluze reprezintă un singur segment (chiar numărul bluzelor albe).

\({184 :4=46 \; \text{bluze} \; \text{albe}}\)

Scădem cele 10 bluze pe care le-am adunat ca artificiu de calcul și obținem numărul bluzelor galbene.

\({46-10=36 \; \text{bluze} \; \text{galbene}}\)

Numărul bluzelor roșii este de două ori mai mare decât numărul bluzelor albe, deci înmulțim cu 2:

\({46 \cdot 2=92 \; \text{bluze} \; \text{roșii}}\)

Am obținut că sunt 46 de bluze albe, 36 de bluze galbene și 92 de bluze roșii.

Facem proba:

\({46 +36+92= 174\; \text{bluze} \; \text{în} \; \text{total}\; \color{#9acd32}\Large {\textbf{✔}}}\)

Metoda 2

Mai sus, am adunat 10 pentru a obține segmente egale. Problema se poate rezolva și altfel, scăzând 10 pentru a obține segmente egale. Facem un artificiu de calcul, astfel: din cele 3 segmente etalon scădem câte 10, pentru a avea 4 segmente egale cu segmentul care reprezintă numărul bluzelor galbene. Astfel, din total de 174 de bluze scădem 30 și obținem 144. Împărțim la 4 și obținem că sunt 36 de bluze galbene.

Adunăm 10 și obținem că avem 46 de bluze albe. Înmulțim cu 2 și obținem că sunt 92 de bluze roșii.

\({3 \cdot10=30 \; \text{bluze}\; \text{scădem}}\)

\({174 -30=144 \; \text{bluze}}\)

\({144 :4=36 \; \text{bluze} \; \text{galbene}}\)

\({36+10=46 \; \text{bluze} \; \text{albe}}\)

\({46 \cdot 2=92 \; \text{bluze} \; \text{roșii}}\)

Am obținut că sunt 46 de bluze albe, 36 de bluze galbene și 92 de bluze roșii.

Înainte de a începe rezolvarea, este important să ne amintim:

• Cum împărțim un număr la o fracție?

Înmulțim numărul cu fracția răsturnată.



• Cum transformăm o fracție zecimală într-o fracție ordinară?

La numărător scriem fracția zecimală fără virgulă, iar la numitor scriem cifra 1 urmată de atâtea zerouri câte zecimale are fracția zecimală.

Să-l calculăm pe \({n}\). Scriem datele problemei în limbaj matematic.

\({n \cdot \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 7} : \frac{\displaystyle 25}{\displaystyle 14}=1{,}2}\)

Efectuăm calculele.

\({n \cdot \frac{\displaystyle \cancel{5 }}{\displaystyle \cancel{7 }} \cdot \frac{\displaystyle \cancel{14 }^2}{\displaystyle \cancel{25 }_5}=\frac{\displaystyle \cancel{12 }^6}{\displaystyle \cancel{10 }_5}}\)

\({n \cdot \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5} = \frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 5}}\)

\({n = \frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 5} : \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5}}\)

\({n = \frac{\displaystyle \cancel{6 }^3}{\displaystyle \cancel{5 }} \cdot \frac{\displaystyle \cancel{5 }}{\displaystyle \cancel{2 }}}\)

\({n = 3}\)

Înainte de a începe rezolvarea, este important să ne amintim:

• Ce este triunghiul dreptunghic?

Triunghiul dreptunghic are un unghi drept (are măsura egală cu \({90^{\circ}}\)). Laturile unghiului drept sunt catetele triunghiului, iar cea de-a treia latură a triughiului, care se opune unghiului drept, se numește ipotenuză.



• Cum se calculează aria triunghiului dreptunghic?

Aria triunghiului dreptunghic se calculează cu formula:

\({A= \frac{\displaystyle cateta1 \cdot cateta2}{\displaystyle 2}}\)



• Teorema lui Pitagora

Teorema lui Pitagora: Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei.



• Ce este tripletul pitagoreic?

Tripletul pitagoreic este un set de 3 numere pozitive întregi \({a}\), \({b}\) și \({c}\) astfel încât \({a^2 + b^2=c^2}\). Dacă \({(a, b, c)}\) este un triplet pitagoreic, atunci și \({(na,nb,nc)}\) este un triplet pitagoreic, oricare ar fi \({n}\) număr natural. Cel mai cunoscut triplet pitagoreic este \({(3,4,5)}\).

Dacă lungimile laturilor unui triunghi formează un triplet pitagoreic, atunci triunghiul este dreptunghic.



• Ce este perimetrul unui triunghi?

Perimetrul unui triunghi este egal cu suma lungimilor laturilor triunghiului.

a) Arătăm că lungimile laturilor triunghiului \({ABC}\) formează un triplet pitagoreic.

Arătăm că \({AB^2+AC^2=BC^2}\) (teorema lui Pitagora).

\({3^2+4^2=9+16=25=5^2}\) \({\Longrightarrow \bigtriangleup ABC \; \text{dreptunghic,} \; \text{cu} \; BC \; \text{ipotenuză}}\) \({\Longrightarrow \bigtriangleup ABC \; \text{dreptunghic} \; \text{în} \; A}\)

b) Aplicăm formula ariei pentru triunghiul dreptunghic:

\({A= \frac{\displaystyle cateta1 \cdot cateta2}{\displaystyle 2}}\)

\({\bigtriangleup ABC \; \text{dreptunghic} \; \text{în} \; A}\), \({AB=4 \;\text{cm,}\; AC=3 \;\text{cm} \;\text{- catete}}\)

\({A_{\bigtriangleup ABC}= \frac{\displaystyle AB \cdot AC}{\displaystyle 2}}\)

\({A_{\bigtriangleup ABC}= \frac{\displaystyle 4 \cdot 3}{\displaystyle 2}}\)

\({A_{\bigtriangleup ABC}= \frac{\displaystyle 12}{\displaystyle 2}}\)

\({A_{\bigtriangleup ABC}=6 \;\text{cm}^2}\)

Atenție! Este necesar să scriem corect unitatea de măsură.

c) Perimetrul triunghiului este egal cu suma lungimilor laturilor sale. În cazul triunghiului \({ADE}\), știm din enunț că \({ED=10 \;\text{cm}}\) și \({AD=8 \;\text{cm}}\). Trebuie să calculăm lungimea laturii \({AE}\).

Privim cu atenție desenul și datele din enunț. Știm că \({A}\) este punctul de intresecție al segmentelor \({DB}\) și \({EC}\); de asemenea, am demonstrat că unghiul \({BAC}\) are măsura de \({90^{\circ}}\). Rezultă că \({DB}\) este perpendiculară pe \({EC}\), deci unghiul \({EAD}\) este de \({90^{\circ}}\). Înseamnă că triunghiul \({ADE}\) este dreptunghic în \({A}\).

Știm lungimile catetei \({AD}\) și ipotenuzei \({ED}\); aplicăm teorema lui Pitagora pentru a afla lungimea catetei \({AE}\).

Scriem rezolvarea.

$$ \left. \begin{array}{ll} DB \cap EC=\{ A \} \\ \bigtriangleup ABC \; \text{dreptunghic} \; \text{în} \; A \end{array} \right \} \Longrightarrow \sphericalangle EAD= 90^{\circ} \Longrightarrow \bigtriangleup ADE \; \text{dreptunghic} \; \text{în} \; A $$

\({ED=10 \;\text{cm}}\)

\({AD=8 \;\text{cm}}\)

Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul \({ADE}\) dreptunghic în \({A}\).

\({EA^2=ED^2-AD^2}\)

\({EA^2=10^2-8^2}\)

\({EA^2=100-64}\)

\({EA^2=36}\)

\({EA=\sqrt {36} }\)

\({EA}\) este latura unui triunghi, deci lungimea ei este un număr pozitiv; rezultă că \({EA = 6 \;\text{cm}}\) .

Calculăm perimetrul triunghiului \({ADE}\) .

\({P_{\bigtriangleup ABC}= AE+ED+AD=6+10+8=24 \;\text{cm}}\)