Înainte de a începe rezolvarea, este bine să avem clar răspunsul la câteva întrebări:

• Ce înseamnă o cincime dintr-un întreg?



O cincime dintr-un întreg înseamnă că împărțim întregul în 5 părți egale și considerăm o singură parte. Vom scrie \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 5}}\) (la numitor numărul total al părților egale, iar la numărător numărul de părți considerate).

• Ce înseamnă un sfert dintr-un întreg?



Un sfert (sau o pătrime) dintr-un întreg înseamnă că împărțim întregul în 4 părți egale și considerăm o singură parte. Vom scrie \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}}\).

• Care este mai mare: o cincime sau un sfert dintr-un întreg?



Dacă împărțim un întreg în 5 părți egale, obținem o parte mai mică decât dacă împărțim întregul în 4 părți egale. Cu cât numărul părților crește, cu atât ele vor fi mai mici. Rezultă că o cincime este mai mică decât un sfert din întreg.

Să începem să rezolvăm problema.

Miruna a cheltuit trei cincimi din suma sa. Înseamnă că suma pe care a avut-o s-a împărțit în 5 părți egale, Miruna a cheltuit 3 astfel de părți și i-au rămas 2 părți. Să desenăm aceste date, folosind segmente.

Andrei a cheltuit trei sferturi din suma sa. Înseamnă că suma pe care a avut-o s-a împărțit în 4 părți egale, Andrei a cheltuit 3 astfel de părți și i-a rămas 1 parte.

Copiilor le-au rămas sume egale, deci 2 cincimi din suma Mirunei este egal cu 1 sfert din suma lui Andrei. Folosind această informație, vom putea reprezenta grafic suma pe care a avut-o Andrei.

Un întreg este format din 4 sferturi; în cazul nostru, 1 sfert din suma lui Andrei înseamnă două segmente mici ; rezultă că vom folosi 8 segmente mici pentru a reprezenta întrega sumă pe care a avut-o Andrei.

Ambele sume sunt reprezentate folosind același tip de segment; știm cât au avut cei doi copii în total (1300 de lei) și știm numărul segmentelor mici (5 segmente Miruna, 8 segmente Andrei; avem 13 segmente mici în total). Împărțim 1300 la 13 și obținem că 1 segment mic înseamnă 100 de lei.

Suma pe care a avut-o Miruna e reprezentată folosind 5 segmente mici, iar un segment mic înseamnă 100 de lei. Rezultă că Miruna a avut 500 de lei.

Suma pe care a avut-o Andrei e reprezentată folosind 8 segmente mici, iar un segment mic înseamnă 100 de lei. Rezultă că Andrei a avut 800 de lei.

Facem proba: 2 cincimi din 500 de lei înseamnă 200 de lei. Un sfert din 800 de lei înseamnă tot 200 de lei. În total, 500 plus 800 ne dă 1300 de lei.

Metoda 1

O fracție este număr natural dacă și numai dacă este mai mare decât 0 și numărătorul se împarte exact la numitor (altfel spus, dacă numitorul este divizor al numărătorului).

Deoarece numărul \({n}\) este natural (deci pozitiv), rezultă că numerele \({n+2}\) și \({3n+10}\) sunt și ele pozitive, deci fracția este mai mare decât 0.

\({\frac{\displaystyle 3n+10}{\displaystyle n+2} \in ℕ \Longleftrightarrow (n+2) \mid (3n+10) }\)

Vom rescrie fracția dată, astfel încât să avem numărătorul scris în funcție de numitor.

\({\frac{\displaystyle 3n+10}{\displaystyle n+2}=\frac{\displaystyle n+2+n+2+n+2+4}{\displaystyle n+2}}\)

\({\textcolor{white}{\frac{\displaystyle 3n+10}{\displaystyle n+2}}=\frac{\displaystyle 3(n+2)+4}{\displaystyle n+2}}\)

\({\textcolor{white}{\frac{\displaystyle 3n+10}{\displaystyle n+2}}=\frac{\displaystyle 3\cancel{(n+2)}}{\displaystyle \cancel{n+2}}+\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle n+2}}\)

\({\textcolor{white}{\frac{\displaystyle 3n+10}{\displaystyle n+2}}=3+\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle n+2}}\)

Numărul 3 este natural; rezultă că suma \({3+\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle n+2}}\) este număr natural dacă și numai dacă \({\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle n+2}}\) este număr natural.

Fracția \({\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle n+2}}\) este număr natural dacă și numai dacă \({n+2}\) este divizor al lui 4. Divizorii lui 4 sunt \({\pm 1, \pm 2, \pm 4}\). Dintre aceștia, îi excludem pe cei negativi pentru că \({n+2}\) este număr pozitiv (deoarece \({n}\) este număr natural).

\({3+\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle n+2} \in ℕ \Longleftrightarrow \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle n+2} \in ℕ \Longleftrightarrow (n+2) \mid 4}\)

\({D_4=\{-4, 2, -1, 1, 2, 4 \}}\)

\({n \in ℕ \Longrightarrow n+2 > 0 \Longrightarrow \; \text{considerăm} \; D_4=\{1, 2, 4 \}}\)

Îl calculăm pe \({n}\) pentru fiecare divizor din mulțimea \({D_4=\{1, 2, 4 \}}\).

\({n+2=1 \Longrightarrow n=-1 \notin ℕ \; \text{nu} \;\text{convine}}\)

\({n+2=2 \Longrightarrow n=0 \in ℕ \; \color{#9acd32}\Large {\textbf{✔}}}\)

\({n+2=4 \Longrightarrow n=2 \in ℕ \; \color{#9acd32}\Large {\textbf{✔}}}\)

Am obținut că numărul \({A=\frac{\displaystyle 3n+10}{\displaystyle n+2}}\) este număr natural pentru \({n=0}\) sau \({n=2}\) (\({n \in \{0, 2 \}}\)).

Metoda 2

Vom folosi câteva dintre proprietățile divizibilității numerelor naturale:

• \({a \mid a }\)

(orice număr se divide cu el însuși)

• dacă \({a \mid b }\), atunci \({a \mid (b \cdot c) }\)


• dacă \({a \mid (b+c) }\) și \({a \mid b }\), atunci \({a \mid c }\)

(dacă numărul natural \({a }\) divide suma a două numere naturale și, în același timp, îl divide și pe unul dintre numere, atunci \({a }\) îl divide și pe celălalt)

Deoarece \({(n+2) \mid (n+2) }\), rezultă că \({(n+2) \mid 3(n+2) }\), adică \({(n+2) \mid (3n+6) }\).

Rescriem numărătorul fracției date astfel: \({3n+10=3n+6+4 }\).

Deoarece \({(n+2) \mid (3n+6+4) }\) și \({(n+2) \mid (3n+6) }\), rezultă că \({(n+2) \mid 4 }\) (adică \({n+2 }\) este divizor al lui 4).

Deoarece \({n }\) este număr natural, rezultă că \({n+2 }\) este număr natural, deci pozitiv; vom alege doar divizorii mai mari decât 0 ai lui 4. Divizorii lui 4 care sunt mai mari dect 0 sunt 1, 2 și 4.

\({D_4=\{1, 2, 4 \} }\)

Îl calculăm pe \({n}\) pentru fiecare divizor din mulțimea \({D_4=\{1, 2, 4 \}}\).

\({n+2=1 \Longrightarrow n=-1 \notin ℕ \; \text{nu} \;\text{convine}}\)

\({n+2=2 \Longrightarrow n=0 \in ℕ \; \color{#9acd32}\Large {\textbf{✔}}}\)

\({n+2=4 \Longrightarrow n=2 \in ℕ \; \color{#9acd32}\Large {\textbf{✔}}}\)

Am obținut că numărul \({A=\frac{\displaystyle 3n+10}{\displaystyle n+2}}\) este număr natural pentru \({n=0}\) sau \({n=2}\) (\({n \in \{0, 2 \}}\)).

Dreptunghiul are laturile paralele și congruente (egale) două câte două. Cum \({M}\) este mijlocul lui \({AB}\), iar \({AB=50 \;\text{cm}}\), rezultă că el împarte această latură în două părți egale cu \({25 \;\text{cm}}\) fiecare.

Punctul \({N}\) este mijlocul lui \({BC}\), iar \({BC=40 \;\text{cm}}\), rezultă că el împarte această latură în două părți egale cu \({20 \;\text{cm}}\) fiecare.

Desenăm dreptunghiul \({ABCD}\); avem grijă să notăm vârfurile unul după celălalt și ținem cont de faptul că \({AB}\) are lungimea mai mare decât \({BC}\).

a) Vom calcula aria triunghiului \({CMN}\). Observăm că triunghiul \({CMN}\) are un unghi obtuz (mai mare de \({90^{\circ}}\)).

Formula ariei triunghiului:

\({A_ {\bigtriangleup}=\frac{\displaystyle \text{latura} \; \cdot \;\text{înălțimea} \; \text{coresp.}}{\displaystyle 2}}\)

Latura \({CN}\) a acestuia este jumătate din \({BC}\), adică \({20 \;\text{cm}}\). Putem încerca s-o folosim pentru calcularea ariei triunghiului. Ce putem spune despre înălțimea corespunzătoarea acestei laturi?

\({CN}\) este latură a unghiului obtuz \({MCN}\), deci înălțimea corespunzătoare ei va fi în afara triunghiului și va intersecta latura \({CN}\) pe prelungirea ei. Prelungind latura \({CN}\), obținem latura dreptunghiului, care are unghiul \({ABC}\) drept. Înseamnă că \({MB}\) este înălțimea triunghiului \({CMN}\) corespunzătoare laturii \({CN}\). Știm sau putem calcula lungimea lui \({MB}\)? Am observat mai sus că este de \({25 \;\text{cm}}\). Acum putem calcula aria triunghiului CMN.

Scriem rezolvarea.

\({M \;\text{mijlocul} \;\text{lui} \;AB \Longrightarrow MB=\frac{\displaystyle AB}{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle 50}{\displaystyle 2}=25 \;\text{cm}}\)

\({N \;\text{mijlocul} \;\text{lui} \;BC \Longrightarrow CN=\frac{\displaystyle BC}{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle 40}{\displaystyle 2}=20 \;\text{cm}}\)

\({ABCD \;\text{dreptunghi} \Longrightarrow AB \perp BC \Longrightarrow MB \perp CN}\)

\({\sphericalangle MCN >90^{\circ} \Longrightarrow \bigtriangleup CMN \;\text{obtuzunghic} \Longrightarrow \text{înălțimea} \;\text{corespunzătoare} \; \text{laturii} \; CN \;\text{este}\; MB}\)

\({A_ {\bigtriangleup CMN}=\frac{\displaystyle CN \; \cdot \;MB}{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle \cancel{20}^{10} \cdot 25}{\displaystyle \cancel{2}}=250 \;\text{cm}^2}\)

Atenție! Trebuie să scriem corect unitatea de măsură.

b) Trebuie să calculăm ce procent din aria dreptunghiului \({ABCD}\) reprezintă aria triunghiului \({CMN}\).

Aria triunghiului \({CMN}\) este \({250 \;\text{cm}^2}\). Calculăm aria dreptunghiului \({ABCD}\) (aria dreptunghiului este egală cu produsul dintre lungimea și lățimea acestuia).

\({A_{ABCD}=AB \cdot BC = 50 \cdot 40= 2000 \;\text{cm}^2}\)

Trebuie să calculăm ce procent reprezintă \({250 \;\text{cm}^2}\) din \({2000 \;\text{cm}^2}\) (la procent nu vom avea unitate de măsură). Când avem de calculat un procent sau o fracție din total, cuvântul „din” îl înlocuim cu simbolul înmulțirii.

Reformulăm: 250 este \({x\%}\) din 2000.

Cuvântul „este” îl înlocuim cu semnul =, iar cuvântul „din” înseamnă operația de înmulțire.

\({250}\) \({\color{red}\underbrace{\color{black}\text{este}}_{\displaystyle \color{red}=} }\) \({x\%}\) \({\color{red}\underbrace{\color{black}\text{din}}_{\displaystyle \color{red}înmulțire} }\) \({2000}\)

\({250=x\% \cdot 2000}\)

Îl calculăm pe \({x}\).

\({250=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle \cancel{100}} \cdot 20\cancel{00}}\)

\({250=20x}\)

\({x=\frac{\displaystyle 25\cancel{0}}{\displaystyle 2\cancel{0}}}\)

\({\textcolor{white}{x}=12{,}5}\)

Am obținut că aria triunghiului \({CMN}\) este \({12{,}5 \%}\) din aria dreptunghiului \({ABCD}\).