Înainte de a începe rezolvarea, este bine să avem clar răspunsul la câteva întrebări:

• Ce înseamnă \({\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 5}}\) dintr-un întreg?



\({\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 5}}\) dintr-un întreg înseamnă că împărțim întregul în 5 părți egale și considerăm patru părți. Vom citi „patru cincimi” (la numitor scriem numărul total al părților egale, iar la numărător scriem numărul de părți considerate).

• Ce înseamnă \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\) dintr-un întreg?



\({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\) dintr-un întreg înseamnă că împărțim întregul în 2 părți egale și considerăm o singură parte. Vom citi „o doime” sau „o jumătate”.

Să începem să rezolvăm problema. Vom folosi metoda figurativă (grafică), deci vom reprezenta cu ajutorul segmentelor prețul plătit pentru fiecare articol de îmbrăcăminte.

În total s-a plătit suma de \({135 \; \text{de} \; \text{lei}}\) pentru o rochie, un tricou și o eșarfă. Vrem să calculăm cât s-a plătit pentru fiecare. Analizăm datele problemei.

Prețul tricoului este egal cu \({\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 5}}\) din prețul rochiei. Care este mai mic: prețul tricoului sau prețul rochiei?

Prețul rochiei este întregul pe care-l împărțim în 5 părți egale. Prețul tricoului este egal cu 4 dintre aceste părți egale. Rezultă că prețul tricoului este mai mic decât prețul rochiei.

Reprezentăm prețul rochiei prin 5 segmente egale; prețul tricoului este egal cu 4 dintre aceste segmente egale.

Eșarfa este cu \({3 \; \text{lei}}\) mai scumpă decât \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\) din prețul tricoului.

Câte segmente am desenat pentru a reprezenta prețul tricoului? Patru segmente egale.

Câte segmente înseamnă jumătate din prețul tricoului? Două segmente (4 împărțit la 2).

Pentru a reprezenta prețul eșarfei, desenăm două segmente egale și în dreptul lor scriem „+ 3 lei”.

În total s-a plătit suma de \({135 \; \text{de} \; \text{lei}}\). Completăm desenul cu aceste informații.

Analizăm desenul. Din ce este formată suma de \({135 \; \text{de} \; \text{lei}}\)?

Suma totală de \({135 \; \text{de} \; \text{lei}}\) este formată din 11 segmente egale și încă 3 lei.

Ce putem calcula, folosind aceste informații? Putem calcula câți lei înseamnă cele 11 segmente egale. Cum calculăm?

Din suma totală scădem cei 3 lei și aflăm cât înseamnă cele 11 segmente egale.

\({135 -3=132\; \text{de} \; \text{lei}}\)

Am obținut că cele 11 segmente egale înseamnă \({132\; \text{de} \; \text{lei}}\). Putem calcula cât înseamnă 1 segment? Dacă da, cum?

Împărțim 132 la 11 și aflăm câți lei înseamnă 1 segment.

\({132 : 11=12 \; \text{lei}}\)

Am obținut că 1 segment înseamnă \({12 \; \text{lei}}\). Cum calculăm prețul rochiei?

Prețul rochiei înseamnă 5 segmente egale, adică 5 înmulțit cu 12 lei.

\({5 \cdot 12 = 60 \; \text{de}\; \text{lei}}\)

Cum calculăm prețul tricoului?

Prețul tricoului înseamnă 4 segmente egale, adică 4 înmulțit cu 12 lei.

\({4 \cdot 12 = 48 \; \text{de}\; \text{lei}}\)

Cum calculăm prețul eșarfei?

Prețul eșarfei înseamnă jumătate din prețul tricoului plus încă 3 lei. Calculăm cât înseamnă jumătate din prețul tricoului și apoi adunăm 3 lei.

\({48:2+3=24+3=27 \; \text{de}\; \text{lei}}\)

Am obținut că rochia a costat 60 de lei, tricoul a costat 48 de lei, iar eșarfa a costat 27 de lei. Facem proba:

\({60+48+27=135 \; \text{de}\; \text{lei}}\)

Cum altfel am fi putut calcula prețul tricoului? Puteam calcula cât înseamnă 4 cincimi din prețul rochiei.

Cum altfel am fi putut calcula prețul eșarfei? Puteam să scădem din suma totală prețul rochiei și al tricoului.

a) În total sunt 25 de elevi; numărul băieților este egal cu \({40 \%}\) din numărul elevilor.

Calculăm cât înseamnă \({40 \%}\) din 25. Cuvântul „din” îl înlocuim cu operația de înmulțire.

\({40 \% \cdot 25= \frac{\displaystyle \bcancel{40}^{10}}{\displaystyle \cancel{100}_\bcancel{4}} \cdot \cancel{25 }=10}\)

Am obținut că sunt 10 băieți în clasă.

b) Calculăm mai întâi câți băieți practică tenisul.

Sunt 10 băieți, iar \({20 \%}\) din ei practică tenisul. Calculăm cât înseamnă \({20 \%}\) din 10. Cuvântul „din” îl înlocuim cu operația de înmulțire.

\({20 \% \cdot 10= \frac{\displaystyle 2\bcancel{0}}{\displaystyle \bcancel{10}\cancel{0}} \cdot \cancel{10}=2}\)

Am obținut că 2 băieți practică tenisul.

Vrem să calculăm ce procent înseamnă cei 2 băieți în totalul de 25 de elevi ai clasei. Avem \({x \%}\) din 25 este egal cu 2. Îl calculăm pe \({x}\).

\({x \% \cdot 25= 2}\)

\({\frac{\displaystyle x}{\displaystyle \cancel{100}_4} \cdot \cancel{25}=2}\)

\({\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 4}=2}\)

\({x=4 \cdot 2}\)

\({x=8}\)

Am obținut că numărul băieților care practică tenisul reprezintă \({8 \%}\) din cei 25 de elevi ai clasei.

a) Lungimea dreptunghiului \({ABCD}\) este \({AD}\), iar lățimea este \({AB}\).

Conform desenului, \({AD=x+1}\), iar lățimea este \({AB=3 \; cm}\).

Îl calculăm pe \({x}\) astfel încât \({AD=2 \cdot AB}\).

\({AD=2 \cdot AB \Longrightarrow x+1=2 \cdot 3 \Longrightarrow x+1=6 \Longrightarrow x=5 \; cm }\)

Am obținut că lungimea dreptunghiului \({ABCD}\) este de două ori mai mare decât lățimea pentru \({x=5 \; cm }\).

b) Aria unui triunghi este egală cu semiprodusul dintre lungimea unei laturi și înălțimea corespunzătoare ei.

Notăm cu \({h}\) înălțimea corespunzătoare laturii \({FH}\) a triunghiului \({FGH}\). Știm că \({FH= 5 \; cm}\). Aplicăm formula de calcul pentru aria acestui triunghi, considerând latura \({FH}\) și înălțimea \({h}\) corespunzătoare:

\({Aria_{FGH}=\frac{\displaystyle FH \cdot h}{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle 5 \cdot h}{\displaystyle 2}}\)

Știm că aria triunghiului \({FGH}\) este egală cu \({13{,}5 \;cm^2}\).

\({Aria_{FGH}=13{,}5 \;cm^2}\)

Rezultă că:

\({\frac{\displaystyle 5 \cdot h}{\displaystyle 2}=13{,}5}\)

\({h=\frac{\displaystyle 13{,}5 \cdot 2}{\displaystyle 5}}\)

\({h=\frac{\displaystyle 27}{\displaystyle 5}}\)

\({h=5{,}4 \; cm}\)

Am obținut că lungimea înălțimii corespunzătoare laturii \({FH}\) este egală cu \({5{,}4 \; cm}\).

c) Perimetrul unui poligon este egal cu suma lungimilor laturilor sale.

Știm că:

\({AB=3\; cm}\)

\({AD=x+1\; cm}\)

Perimetrul dreptunghiului \({ABCD}\) este egal cu:

\({P_{ABCD}=2(AD+AB)=2(x+1+3)=2x+8}\)

Știm că:

\({FH=5\; cm}\)

\({GH=6\; cm}\)

\({FG =x\; cm}\)

Perimetrul triunghiului \({FGH}\) este egal cu:

\({P_{FGH}=x+5+6=x+11}\)

Îl calculăm pe \({x}\) astfel încât cele două perimetre să fie egale:

\({2x+8=x+11}\)

Grupăm termenii, astfel: în membrul stâng termenii care conțin necunoscuta, iar în membrul drept termenii liberi. Trecerea dintr-un membru în celălalt se face schimbând semnul: plus devine minus, iar minus devine plus.

\({2x-x=11-8}\)

\({x=3 \;cm}\)

Perimetrul dreptunghiului \({ABCD}\) este egal cu perimetrul triunghiului \({FGH}\) pentru \({x=3 \;cm}\).

Pentru a rezolva problema, ne amintim:

• piramida patrulateră regulată are baza pătrat;


• volumul piramidei regulate se calculează cu formula:

\({V_{piramida}=\frac{\displaystyle Aria \; bazei \cdot inaltimea \; piramidei}{\displaystyle 3}}\)

• teorema lui Pitagora: într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

Să rezolvăm problema.

Înălțimea piramidei este egală cu \({6{,}5 \; cm}\) (din enunț).

Vom calcula aria bazei piramidei patrulatere regulate. Baza acesteia este pătrat, iar aria pătratului este egală cu latura la puterea a doua. Notăm cu \({x}\) latura acestui pătrat. Vom calcula lungimea lui \({x}\).

Știm că diagonala pătratului este \({6\sqrt{2} \; cm}\); ea formează un triunghi dreptunghic cu două laturi ale pătratului. Catetele acestuia sunt egale cu \({x}\), iar ipotenuza este \({6\sqrt{2} \; cm}\). Aplicăm teorema lui Pitagora pentru a calcula lungimea lui \({x}\).

\({(6\sqrt{2})^2=x^2+x^2}\)

\({72=2x^2}\)

\({x^2=36}\)

\({x=\sqrt{36}=6 \; cm}\)

Am obținut că latura pătratului de la baza piramidei are latura egală cu \({6 \; cm}\). Calculăm aria bazei:

\({Aria \; bazei = 6^2=36 \; cm^2}\)

Calculăm volumul piramidei:

\({V_{piramida}=\frac{\displaystyle Aria \; bazei \cdot inaltimea \; piramidei}{\displaystyle 3}}\)

\({\textcolor{white}{V_{piramida}}=\frac{\displaystyle \cancel{36}^{12} \cdot 6{,}5}{\displaystyle \cancel{3}}}\)

\({\textcolor{white}{V_{piramida}}=12 \cdot 6{,}5}\)

\({\textcolor{white}{V_{piramida}}=78 \; cm^3}\)

Am obținut că volumul piramidei date este egal cu \({78 \; cm^3}\).