Ce rezolvăm azi?
11 februarie 2018
Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici
Fie ABCD un trapez. Prelungirile laturilor AB și CD se intersectează în punctul M. Știind că AB egal cu 8 cm, BC egal cu 20 cm, CD egal cu 12 cm și AD egal cu 4 cm, să se calculeze perimetrul triunghiului MBC.
Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).
***
***
Rezolvare
Perimetrul unui triunghi este egal cu suma lungimilor laturilor sale. Știm că lungimea laturii BC este de 20 cm; trebuie să calculăm lungimile laturilor MB și MC ale triunghiului MBC.
Avem un trapez ABCD; știm că prelungirile laturilor AB și CD se intersectează în punctul M. Înseamnă că AB și CD sunt laturile neparalele, deci AD este paralel cu BC. Aplicăm teorema fundamentală a asemănării; rezultă două triunghiuri asemenea, MAD și MBC. Scriem rapoartele de asemănare (suntem atenți la ordinea scrierii vârfurilor triunghiurilor; triunghiurile MAD și MBC sunt asemenea, adică unghiul M din triunghiul MAD este congruent cu unghiul M din triunghiul MBC; unghiul A din triunghiul MAD este congruent cu unghiul B din triunghiul MBC; unghiul D din triunghiul MAD este congruent cu unghiul C din triunghiul MBC):
Avem un șir de rapoarte egale; folosim faptul că produsul mezilor este egal cu produsul extremilor și calculăm lungimile segmentelor MB și MC:
Acum știm lungimile laturilor triunghiului MBC: BC are lungimea de 20 cm, MB de 10 cm și MC de 15 cm. Perimetrul triunghiului MBC este 45 cm.
Atenție!
Într-o proporție în care termenii sunt diferiți de 0, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.
